1、2016 届江苏省苏州中学高三上学期第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1若 （i 是虚数单位）是实数，则实数 a 的值是_2已知集合 A=x|x1 ，B=x|x 22x0 ，则 AB=_3命题“若实数 a 满足 a2，则 a24”的否命题是_命题（填“ 真”、 “假”之一） 4在如图所示的算法流程图中，若输入 m=4，n=3，则输出的 a=_5把一个体积为 27cm3 的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为 1cm3 的 27 个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为_6在约束条件 下，则 的最小值是_7设 ， 是空间两个不
2、同的平面，m，n 是平面 及 外的两条不同直线从“mn；n ； m” 中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_（用代号表示） 8在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A、B 分别是双曲线 的左、右焦点，ABC 的顶点 C 在双曲线的右支上，则 的值是 _9已知点 A（0，2）抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，准线为 l，线段 FA 交抛物线与点 B，过 B 做 l 的垂线，垂足为 M，若 AMMF ，则 p=_10若函数 ，则函数 y=f（f（ x） ）的值域是_11在直三棱柱中，ACBC，AC=4，BC=CC 1=2，若用平行于三棱柱 A1B1C1ABC 的某
3、一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小 值为_12已知椭圆 ，A 、B 是其左右顶点，动点 M 满足 MBAB，连接 AM 交椭圆与点 P，在 x 轴上有异于点 A、B 的定点 Q，以 MP 为直径的圆经过直线 BP、MQ 的交点，则点 Q 的坐标为_ 13在三角形 ABC 中，过中线 AD 中点 E 任作一直线分别交边 AB，AC 与 M、N 两点，设 则 4x+y 的最小值是_14设 mN，若函数 存在整数零点，则 m 的取值集合为_二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）如图，平面
4、PAC平面 ABC，点 E、F 、O 分别为线段 PA、PB 、AC 的中点，点 G 是线段 CO 的中点，AB=BC=AC=4，PA=PC=2 求证：（1）PA平面 EBO；（2）FG平面 EBO16 （14 分）已知函数 （1）设 ，且 ，求 的值；（2）在ABC 中，AB=1 ， ，且ABC 的面积为 ，求 sinA+sinB 的值17 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，如图，已知椭圆 E： 的左、右顶点分别为 A1、A 2，上、下顶点分别为 B1、B 2设直线 A1B1 的倾斜角的正弦值为，圆 C 与以线段 OA2 为直径的圆关于直线 A1B1 对称（1）求椭圆 E 的离心率；
5、（2）判断直线 A1B1 与圆 C 的位置关系，并说明理由；（3）若圆 C 的面积为 ，求圆 C 的方程18 （16 分）心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则 x 天后的存留量 ；若在 t（t 4）天时进行第一次复习，则此时存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计） ，其后存留量 y2 随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为 ，存留量随时间变化的曲线如图所示当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”（1）若 a=1，t=5 ，求“二次复习最佳时机点 ”；（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求 a
6、的取值范围19 （16 分）已知各项均为正数的等差数列a n的公差 d 不等于 0，设 a1，a 3，a k 是公比为q 的等比数列b n的前三项，（1）若 k=7，a 1=2；（i）求数列a nbn的前 n 项和 Tn；（ii）将数列a n和b n的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列c n，设其前 n 项和为 Sn，求 的值（2）若存在 mk，mN *使得 a1，a 3，a k，a m 成等比数列，求证 k 为奇数20 （16 分）已知函数 ，其中 a 是实数设 A（x 1，f （x 1） ） ，B（x 2，f（x 2） ）为该函数图象上的两点，且 x1x 2（）指出函数 f（x）的单调
7、区间；（）若函数 f（x）的图象在点 A，B 处的切线互相垂直，且 x20，证明：x 2x11；（）若函数 f（x）的图象在点 A，B 处的切线重合，求 a 的取值范围三、选做题.在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题 20 分，共 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 4-1：几何证明选讲21如图，过圆 O 外一点 M 作圆的切线，切点为 A，过 A 作 APOM 于 P（1）求证：OM OP=OA2；（2）N 为线段 AP 上一点，直线 NB 垂直直线 ON，且交圆 O 于 B 点过 B 点的切线交直线 ON 于 K求证：OKM=90B.选修 4shy;-2：矩
8、阵与变换22已知矩阵 M= 有特征值 1=4 及对应的一个特征向量 （1）求矩阵 M；（2）求曲线 5x2+8xy+4y2=1 在 M 的作用下的新曲线方程C.选修 4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系 xoy 中，已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） 以直角坐标系原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为cos（ ）=2（）求直线 l 的直角坐标方程；（）点 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 距离的最大值D.选修 4-5：不等式选讲24不等式选讲设 x，y，z 为正数，证明：2（x 3+y3+z3）x 2（y+z）+y 2（x+z）
9、+z 2（x+y） 四.【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤25如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧面与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB AC，M、N、P 分别是 CC1、BC、A 1B1 的中点（1）求证：PNAM ；（2）若直线 MB 与平面 PMN 所成的角为 ，求 sin 的值26一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得 1 分，反面向上得 2 分（1）设抛掷 5 次的得分为 ，求 的分布列和数学期望 E；（2）求恰好得到 n（nN *）分的概率江苏省苏州中学高三（上）第一次月考数学试卷一、
10、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分来源:Z#xx#k.Com1若 （i 是虚数单位）是实数，则实数 a 的值是1【考点】复数的基本概念 【专题】计算题【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质化简 ，由虚部等于 0，求出 a 值【解答】解： = = 是实数，a= 1，故答案为：1【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数2已知集合 A=x|x1 ，B=x|x 22x0 ，则 AB=x|x0 【考点】并集及其运算 【专题】计算题【分析】根据不等式的解法，B=x|0x2，然后根据
11、并集的定义“由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合叫做并集 ”进行求解即可【解答】解：根据不等式的解法，易得 B=x|0x2，又有 A=x|x 1，则 AB=x|0x 故答案为：x|x0【点评】本题考查并集的运算，注意结合数轴来求解，属于容易题3命题“若实数 a 满足 a2，则 a24”的否命题是真命题（填“ 真”、 “假”之一） 【考点】命题的否定；命题的真假判断与应用 【专题】计算题【分析】利用否命题的形式写出否命题，利用复合命题 p 或 q 有真则真，判断出否命题是真命题【解答】解：命题的否命题为：“若实数 a 满足 a2，则 a24”a2a 24a 24否命题为真命题故
12、答案为：真【点评】本题考查命题的否命题：是将条件，结论同时否定，注意否命题与命题的否定的区别4在如图所示的算法流程图中，若输入 m=4，n=3，则输出的 a=12【考点】程序框图 【专题】阅读型【分析】m=4， n=3，i=1，a=4 ，不满足条件 n 整除 a，执行循环体，依此类推，当i=3，a=12，满足条件 n 整除 a，退出循环体，从而得到 a 的值【解答】解：m=4 ，n=3，i=1，a=4，不满足条件 n 整除 a，执行循环体i=2，a=8，不满足条件 n 整除 a，执行循环体i=3，a=12，满足条件 n 整除 a，退出循环体故此时 a 的为 12，故答案为：12【点评】算法和程
13、序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题5把一个体积为 27cm3 的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为 1cm3 的 27 个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 【考点】等可能事件的概率 【专题】计算题【分析】根据正方体的结构，计算出带有红漆的小木块的个数，利用公式求出即可【解答】解：由正方体的结构及锯木块的方法，知不带红漆的只有中间一块故至少一面带有红漆的木块有 26 个所以从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为故答案为【点评】本题考查根据实际情况求事件发生的概率，概率与几何体结合考查，是近几
14、年高考的一个热点，即考查了概率的基础知识，也考查了立体几何的空间想像能力，学习时要注意这两个知识点之间的衔接6在约束条件 下，则 的最小值是 【考点】简单线性规划 【专题】计算题【分析】根据题意先做出可行域，要求 的最小值，也就是（1，0）这个点到可行域的最小距离，过这个点向可行域做垂线，垂线的长度就是距离【解答】解：由题意知，需要先画出可行域，要求 的最小值，也就是（1，0）这个点到可行域的最小距离，过这个点向可行域做垂线，垂线的长度就是距离d=故答案为： 【点评】本题考查线性规划的问题，是一个线性规划的基础题，在解题时注意要求的距离在哪里，这是解题的关键，注意选择出来，有时不是这种特殊的位
15、置7设 ， 是空间两个不同的平面，m，n 是平面 及 外的两条不同直线从“mn；n ； m” 中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：（或） （用代号表示） 【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 【专题】证明题【分析】分析本题中的条件，四个条件取三个，有四种组合，由于本题是一开放式题答案不唯一，故选取其一即可【解答】解：观察发现，与是正确的命题，证明如下：证，即证若 mn，n，m ，则 ，因为 mn，n，则 m 或m ，又 m 故可得 ，命题正确；证，即证若 n，m， ，则 mn ，因为 m， 则 m 或m ，又 m 故可得 mn，命题正确故
16、答案为： （或） 【点评】本题考查平面与平面之间的位置关系，由于本题是一个开放式的问题，只须取其中之一即可，做题时要注意题目的不同要求作出合理判断8在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A、B 分别是双曲线 的左、右焦点，ABC 的顶点 C 在双曲线的右支上，则 的值是 【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题【分析】首先由正弦定理，可得 = ，进而根据双曲线的几何性质，可得|AB|=2c=4，|CB| |CA|=2a=2；代入 中，可得答案【解答】解：根据正弦定理：在ABC 中，有 = ；又由题意 A、B 分别是双曲线 的左、右焦点，则|AB|=2c=4，且ABC 的顶点 C 在双曲线的右支上
17、，又可得|CB|CA|=2a=2；故则 = = = ；故答案为： 【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意点 C 在双曲线的右支上，则有|CA|CB|，即|CB|CA|=2a，这是一个易错点9已知点 A（0，2）抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，准线为 l，线段 FA 交抛物线与点 B，过 B 做 l 的垂线，垂足为 M，若 AMMF ，则 p= 【考点】直线与圆锥曲线的关系 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由抛物线的定义可得 BM=BF，又 AMMF ，根据直角三角形斜边的中点是外心可得故 B 为线段 AF 的中点，求出 B 的坐标代入抛物线方程求得 p 值【解答】解：由抛物
18、线的定义可得 BM=BF，F（ ） ，又 AMMF，故 B 为线段 AF的中点，B（ ） ，把 B（ ） 代入抛物线 y2=2px（ p0）得，1=2p ，p= ，故答案为 【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断 B 为线段 AF 的中点，是解题的关键，属于中档题10若函数 ，则函数 y=f（f（ x） ）的值域是【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数的值域 【专题】计算题；分类讨论【分析】讨论 x 的正负，代入相应的解析式，然后求出函数 f（x）的值域，再代入相应的解析式，求出 y=f（f（x） ）的值域，即可求出所求【解答】解：设 x0，则 f（ x）
19、=2 x（0，1）y=f（f（x） ）=f（2 x）当 x（0，1）时 f（x）= 2x（1， ）设 x0，则 f（x）= 2x（1，0）y=f（f（x） ）=f（2 x）当 x（1，0）时 f（x）=2 x（ ，1）综上所述：y=f（f（x） ）的值域是故答案为：【点评】本题主要考查了指数函数的值域，以及复合函数的值域问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题11在直三棱柱中，ACBC，AC=4，BC=CC 1=2，若用平行于三棱柱 A1B1C1ABC 的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小 值为 24【考点】棱柱的结构特征 来源 :学*科*网【专题】探究型【分析】由图形可以看出，拼接的方法有两种，一种是过 AB，AC，A 1B1，A 1C1 的中点截此三棱柱可拼接成一个长方体，其底面是边长为 2 的正方形，高是 2， ；另一种是过BC，BA ，B 1C1，B 1A1 中点截此三棱柱拼接成一个长方体，此长方体高为 2，底面是边长分别为 1，4，表面积易求
