1、2016 届江西师范大学附属中学高三上学期第一次月考数学（理）试题一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 , ,则 ( )2|10Mx22|log()l3,NxxZMNA. B. C. D.0,11,02.等差数列 中， ， ，则 的前 8 项的和为( )na3548anaA.32 B.64 C.108 D.1283.已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是( )130.713.6b2log0.5cA. B. C. D.caac4.已知 ， ， ，则 =( )(,2)x(,)|A. B.5 C.
2、D.5155.平面向量 满足 ，且 ， ，则 在 方向上的投影为( ),ab()2)ab|2a|4baA. B.2 C. D.3 36.在 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，其中 ，若函数 c()fx的极大值是 ，则 的面积等于( )314xcosABCA.1 B. C.2 D.3237.已知 ， ，则 sincos2=( )tan()267,6A. B. C. D.255558.下列说法中正确的是( )A.若命题 ： ， ，则 ： ， .pxR210xpxR210xB.命题：“若 ，则 或 ”的逆否命题是：“若 且 ，则 ”.2121xC.“ ”是“ 为偶函数”的充要条件.sin
3、yD.命题 p：若 ，则 是 的充分不必要条件；命题2(,)(,)abk2kabq：若幂函数 的图像过点 ，则 .则 是假命题.fxR(,)1(4)2f()pq9.先将函数 的图像上所有点向右平移 个单位，再向上平移 1 个单()cos2)16位后得到函数 的图像，则下列正确的是( )ygxA. 的周期是 B. 是奇函数()fx2(12fxC. 的图像关于点 对称 D. 在区间 上单调递增()gx7(,0)12()gx0,310.已知 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，若 ，则 是( ) 2siniabcBABCA.等边三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形11
4、.定义在 R 上的函数 满足 ，其中 是 的导函数， 为自然对()fx()1()ffx()fxfe数的底数，则下列正确的是( )A. B.22(1)()effe2015201562016()()fefC. D.216 5e12.已知定义在 R 上的函数 是偶函数，当 时， ，()yfx0x2sin ,01 ()13 ,xf若关于 x的方程 （ ） ，有且仅有 6 个不同实数根，则实数 的2()()0fxafb,aRa取值范围是( )A. B. C. D.34,74,73(4,)(,)273(,)2二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知函数 是定义在 R 上的奇
5、函数，其图像是一条连续不断的曲线，且()fx，则 _.1(2f(2016)f14.在正方形 ABCD 中，M 是 BD 的中点，且 ，函数AMmBnD(,)R的图象为曲线 ，若曲线 存在与直线 垂直的切线（ 为自()1xfeayxe然对数的底数），则实数 a 的取值范围是_.15.等比数列 n中， 、 是关于 x 方程 的两个根，其中点 在直线1520bxc(,)cb上，且 ，则 的值是_.1yxc320td316.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 为 AB 的中点.以 A 为圆心，AE 为半径，作弧交 AD 于点 F.若 P 为劣弧 AF上的动点，则的最小值为 _.PCD三、
6、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分 12 分）已知数列 满足 .na123naa*()N（1 ）求数列 的通项公式 ；n（2 ）令 ， ，求证： .2nba*()N12nnTb 32nT18.（本小题满分 12 分）如图， 是圆 的直径， 是圆 上异于 A、B 的一个动点， 垂直于圆 所在的平ABOCODCO面， ， ， DCE1B4（1 ）求证： 平面 ；AD（2 ）若 ，求平面 与平面 所成的锐二面角的E余弦值19.（本小题满分 12 分）已知某校的数学专业开设了 A、B、C 、D 四门选修课，甲、乙、丙 3 名学生必须且
7、只需选修其中一门（1）求这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率；（2）若甲和乙要选同一门课，求选修课 A 被这 3 名学生选修的人数 X 的分布列和数学期望20.（本小题满分 12 分）如图，设椭圆 C： 的离心率 ，椭圆 C 上一点 M 到左、右两个21(0)xyab12e焦点 、 的距离之和是 41F2（1 ）求椭圆 C 的方程；（2 ）直线 与椭圆 C 交于 P、Q 两点，P 点位于第一象限，:lxA、B 是椭圆上位于直线两侧的动点，若直线 AB 的斜率为 ，求12四边形 APBQ 面积的最大值.21.（本小题满分 12 分）已知函数 , = .()afx()gx2ln)m（1）当 ，
8、存在 x0 ，e （e 为自然对数的底数） ，使 ，求实数 a 的m1 00()gxf取值范围；（2）当 时，设 ，在 的图象上是否存在不同的两点 Aa()()Hfxg()Hx，B ，使得 ?请说明理由.1(,)xy2(,)12x121212)()x请考生从 22、23 题中任选一题作答；如果多做，则按所做的第一题计分。22.(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图， 的 半径为 6， 线段 与 相交 于点 、 ，OABOCD， ， 与 相交于 点 .4ACBDE（1）求 长；（2）当 时， 求证： .E23.(本小题满分 10 分)选修 45：坐标系与参数方程在极坐标系 Ox 中
9、，直线 C1 的极坐标方程为 ，M 是 C1 上任意一点，点 P 在射线sin2OM 上，且满足 ，记点 P 的轨迹为 C2|OPM（1 ）求曲线 C2 的极坐标方程；（2 ）求曲线 C2 上的点到直线 的距离的最大值cos()424.(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 .(|2|3|fxax()|1|2gx（1）解不等式 ；g（2）若对任意 ，都存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.1R2R12()fgxa参考解析一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 , ,则 ( )2|10
10、Mx22|log()l3,NxxZMNA. B. C. D.0,11,0【答案】A【命题意图】本题旨在考查集合的运算、函数的定义域、解不等式，属容易题.【解析】 , , ，选 A.|1x|21,0NxxZ0,1N2.等差数列 中， ， ，则 的前 8 项的和为( )na3548anaA.32 B.64 C.108 D.128【答案】B【命题意图】本题主要考查等差数列的前 n 项和，性质，属容易题.【解析】 , ，选 B.486621aa18368()()842aaS3.已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是( )130.713.b2log0.5cA. B. C. D.cc【答案】A【命题
11、意图】本题考查幂（或指数函数）和对数函数的单调性，属容易题.【解析】 ，由 在 R 上单调递增，得 ，又1350.6()b13yx1350.6()b130.7a， ，故选 A.22loglccab4.已知 ， ， ，则 =( )(,)ax(,)|A. B.5 C. D.5105【答案】D【命题意图】本题考查向量共线向量定理、模长计算和坐标运算，属容易题.【解析】 ，选 D.ab(1)204xx|(2,1)|ab5.平面向量 满足 ，且 ， ，则 在 方向上的投影为( ), )1ab4baA. B.2 C. D.3 3【答案】C【命题意图】本题旨在考查向量的数量积运算、投影的概念.【解析】 ，选
12、 C.282|cos,12|cos,2abbaba6.在 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，其中 ，若函数 ()fx的极大值是 ，则 的面积等于( )314xcsABCA.1 B. C.2 D.323【答案】B【命题立意】本题综合导数的极值的知识考查解三角形的有关知识.【解析】 ，易知 ，3()1)(4fxx1()=()cos2fxfA极 大从而 ，选 B.sin,sin32ASbcA7.已知 ， ，则 23sincs2=( )ta()67,6A. B. C. D.5555【答案】C【命题立意】本题考查三角恒等变形、涉及公式的逆用、角的变换，体现简化计算的思想，属中等题.【解析】
13、, ,06tan()265sin()cos()36原式 ，选 C. 1(cos3sin3221i8.下列说法中正确的是( )A.若命题 ： ， ，则 ： ， .pxR0xpxR210xB.命题：“若 ，则 或 ”的逆否命题是：“若 且 ，则 ”.21121xC.“ ”是“ 为偶函数”的充要条件.sinyD.命题 p：若 ，则 是 的充分不必要条件；命题2(,)(,)abk2kabq：若幂函数 的图像过点 ，则 .则 是假命题.fxR(,)1(4)2f()pq【答案】B【命题立意】本题考查命题、充要条件和逻辑等有关知识，综合题较强.【解析】A 选项错误， ： ， ；px210xC 选项错误， 是
14、 的充分不必要条件；2sinyD 选项错误，命题 p、q 均为真，则 为真命题.()q9.先将函数 的图像上所有点向右平移 个单位，再向上平移 1 个单()cos)16fx4位后得到函数 的图像，则下列正确的是( )ygA. 的周期是 B. 是奇函数()fx2(12fxC. 的图像关于点 对称 D. 在区间 上单调递增()g7(,0)1()gx0,3【答案】D【命题立意】本题考查三角函数的图像变换以及性质，属中等题.【解析】 的周期显然是 ，A 错； 是偶函数，B 错；()fx()cos211fxx，一个对称中心是 ，C 错； D 是正确的.2()cos3g7,10.已知 中，角 A、B、C
15、的对边分别是 a、b、c，若 ，则 是( ) 2siniabcABCA.等边三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形【答案】C【命题立意】本题重点考查正、余弦定理和基本不等式求最值，难度中等【解析】 ，22sinsini/ababcRCBAR2si2ab故 (当且仅当 )，此时 ，故选 C. 注：排除法也可以.1C11.定义在 R 上的函数 满足 ，其中 是 的导函数， 为自然对fx(1()ffx()fxfe数的底数，则下列正确的是( )A. B.22(1)()effe2015201562016()()fefC. D.216 5e【答案】B【命题立意】本题考查导数的运算及构造
16、函数思想，函数的单调性以及不等式思想，属中等偏难题.【解析】 ，()()1xhef()()10xhefx是增函数， ， ，即 A、B 错误；x220165hC、 D 一对一错，对于 C: ，ff两边同时加 ，2e得 ，故选 C.22()(1)()(ffefefe12.已知定义在 R 上的函数 是偶函数，当 时， ，()yfx0x2sin ,01 ()13 ,xf若关于 x的方程 （ ） ，有且仅有 6 个不同实数根，则实数 的2()()0fxafb,aRa取值范围是( )A. B. C. D.34,74,73(4,)(,)273(,)2【答案】C【命题立意】本题考查分段函数的图像，换元法，涉及
17、数形结合、方程、转化思想，属难题.【解析】 的图像如图所示， ，当 时， 的()fx(,1)(0,1,)(AA1x()fx最大值是 2,；当 时， 的最小值是 0， 是部分图像的渐近线.0)fx32x设 ，依题意，符合题意有两种情况：()tf(1) ，此时 ，则 ；12,3,127(,4)at7(4,)a(2) ， ，此时 ，则(0t2()t 3t；综上， ，选 C.7,)a74,)(,)2a二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知函数 是定义在 R 上的奇函数，其图像是一条连续不断的曲线，且(fx，则 _.1()2f(016)f【答案】0.【命题立意】本题考查
18、对称性、周期性，属容易题.【解析】由已知 ，对称中心 ，则 ， .1=2x对 (0,)2T(016)(0ff14.在正方形 ABCD 中，M 是 BD 的中点，且 ，函数AMmBnD,)R的图象为曲线 ，若曲线 存在与直线 垂直的切线（ 为自()1xfea(yxe然对数的底数），则实数 a 的取值范围是_.【答案】 (,)【命题立意】本题旨在考查向量共线、导数的几何意义，导数及其应用，有一定综合性【解析】B、D、M 三点共线得 ，由题可得 ，由于曲线 C 存在与直1mn()xfea线 垂直的切线，则 有解，即 有解， .yxxea1xa115.等比数列 na中， 、 是关于 x 方程 的两个根
19、，其1520bc中点 在直线 上，且 ，则 的值是_.(,)cbyxc30td3a【答案】3.【命题立意】本题考查定积分的计算，等比数列的性质，属易错题.【解析】 ， 10，于是 ， ，323001|9ctdtb2109x23159a， ，从而 ， .1515,a15,a3a16.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 为 AB 的中点.以 A 为圆心，AE 为半径，作弧交 AD 于点 F.若 P 为劣弧 AEF上的动点，则 的最小值为 _.PCD【答案】 .52【命题立意】本题考查平面向量数量积，最值，意在考查分析能力，转化能力，中等题.【解析】以点 为坐标原点，建立如图的平面直角
20、坐标系，则 )2,(， ),0(D，设 )20)(sin,(coP，si,2C， )sin2,co(PD，2si4coD)in(cos5)n(5（其中 5） ，当 1i时， C取得最小值 2.三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分 12 分）已知数列 满足 .na123naa*()N（1 ）求数列 的通项公式 ；n（2 ）令 ， ，求证： .2nb*()N12nTb 32nT【命题意图】考查数列的求和；求通项公式【解析】 （1） ，123naa1231()naa两式相减得 ，又 ， .6 分()n1*()N（2 ） )3245
21、212Tnn12 分13()n18.（本小题满分 12 分）如图， 是圆 的直径， 是圆 上异于 A、B 的一个动点， 垂直于圆 所在的平ABOCODCO面， ， ， DCE1B4（1 ）求证： 平面 ；AD（2 ）若 ，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值E【命题意图】考查立体几何中线面关系的判定和性质；空间向量知识的运用及二面角的计算【解析】 （1）DC面 ABC，DCBC，又AB 是 的直径，ACBCOAACDC=C， 面 ACD，BC 平面 ACD,D又DC/EB，DC= EB，四边形 BCDE 是平行四边形，DE/BC DE平面 ACD. 4 分（2 ）如图，以 C 为原点建立空间
22、直角坐标系，则 2,0,10,2,0.2,1ADBE， 6 分E设平面 ADE 的一个法向量 ，则1,nxyz，令 得 8120nxzEy 1,02分设平面 ABE 的一个法向量 ，2,nxyz，1200nABxEz令 得 ，10 分x2,1，所求余弦值为 .12 分2112cos 63n 2619.（本小题满分 12 分）已知某校的数学专业开设了 A、B、C 、D 四门选修课，甲、乙、丙 3 名学生必须且只需选修其中一门（1）求这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率；（2）若甲和乙要选同一门课，求选修课 A 被这 3 名学生选修的人数 X 的分布列和数学期望【命题意图】考查古典概率，离散型
23、随机变量的分布列和期望【解析】 （1）3 名学生选择的选修课所有不同选法有 43=64 种；（2 分）各人互不相同的选法有 种，互不相同的概率： 5 分34A18AP（2） 选修课 A 被这 3 名学生选修的人数 X：0，1，2， 3，6 分， ， ，29(0)416PX23()6PX2()4621(3)46PX所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 96610 分数学期望 EX= 12 分.(注:不列表格不扣分)3420.（本小题满分 12 分）如图，设椭圆 C： 的离心率 ，椭21(0)xyab12e圆 C 上一点 M 到左、右两个焦点 、 的距离之和是 4F2（1 ）求椭圆 C 的方程；
