1、2015-2016 学年度第一学期高三期中调研测试数 学 试 题（全卷满分 160 分，考试时间 120 分钟）201511注意事项：1 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方2试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应位置）1已知集合 ， ，则 AB= |2Ax|321Bx2已知复数 z满足 （ i为虚数单位） ，则 z= 1i3命题“ ”的否定是 ,snR4若 ，则 si2,325设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为 xy052xy32zxy6已知双曲线 的一条渐近
2、线与直线 平行，则实数 21a0a7在 中，若 ， ， ，则 的值是ABC2BC5ABCAB 8已知函数 ，则不等式 的解集为 (0)()1xef2()fxf9将函数 图象上每一点的横坐标变为原的sin)(,fA2 倍（纵坐标不变） ，然后把所得图象上的所有点沿 x 轴向右平移 3个单位，得到函数的图象，则 siyx()f10已知直线 与圆 相交于 两点，若 ，30y22:(0)Oxyr,MN3ON则圆的半径 r11若 轴是曲线 的一条切线，则 x()ln3fxkk12已知定点 ，动点 N在单位圆 上运动，以 OM， N为邻边作平行四1,2M21xy边形 ，则点 到直线 距离的取值范围是 OP
3、4013 中， ， 若椭圆 以 为长轴，且过点 ，则椭圆 的离心ABCtan3BEABCE率是 14实数 、 、 满足 ，则 的最大值为 bc225bc2687abc二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15 （本小题满分 14 分）设函数 ()sin)cos464fxx（1）求 的单调增区间；（2）若 ，求 的值域(0,)x()yfx16 （本小题满分 14 分）在 ABC中，角 ， ， C的对边分别为 a， b， c，向量 ，(cos,in)2Cm，且 (sin,co)2/mn（1）求角 的大小；（2）若 ，求 Ata的值2ab17 （本
4、小题满分 14 分）如图，已知椭圆 ，离心率为 过原点的直线与椭圆2:1(0)xyCab12交C于 ， 两点（ ， 不是椭圆 的顶点） 点 在椭圆 上，且 ABDCADB（1）若椭圆 的右准线方程为： ，求椭圆 的方程；4x（2）设直线 、 的斜率分别为 、 ，求 的值DA1k21k18 （本小题满分 16 分）有一块三角形边角地，如图中 ，其中 （百米） ， （百米） ，ABC86AC某市为迎接 2500 年城庆，欲利用这块地修一个三角形形状的草坪（图中60A）供市民休闲，其中点 在边 上，点 在边 上规划部门要求 的面EFEFEF积占 面积的一半，记 的周长为 （百米） BCl（1）如果要
5、对草坪进行灌溉，需沿 的三边安装水管，求水管总长度 的最小值；l（2）如果沿 的三边修建休闲长廊，求长廊总长度 的最大值，并确定此时 、 的l位置 FE CBAyxODBA（18 题图）（17 题图）19 （本小题满分 16 分）已知直线 与圆 相交，截得的弦长为 20xy2:40Cxym25（1）求圆 的方程；C（2）过原点 作圆 的两条切线，与抛物线 相交于 、 两点（异于原点） 证明：O2MN直线 与圆 相切；MN（3）若抛物线 上任意三个不同的点 P、 Q、 R，且满足直线 PQ和 R都与圆 相切，2yx C判断直线 QR与圆 的位置关系，并加以证明C20 （本小题满分 16 分）已知
6、函数 33()|fxxa()R（1）解关于字母 的不等式 ；a21)ff（2）若 ，求 的最小值；0()fx（3）若函数 有两个零点 ，试判断 的符号，同时比较 与 的12,12()fx12()fxa大小，并说明理由2015-2016 学年度第一学期高三期中调研测试数 学 试 题（全卷满分 40 分，考试时间 30 分钟）20151121 （本小题满分 10 分）已知矩阵 ，属于特征值 4 的一个特征向量为 ，求 2aAb 232A22 （本小题满分 10 分）3 个女生，4 个男生排成一排，记 表示相邻女生的个数，求随机变量 的概率分布及XX数学期望23 （本小题满分 10 分）如图，已知直
7、三棱柱 中，1ABC， ， ， ABC341（1）求 的长1（2）在线段 存在点 ，使得二面角 大小的余弦值为 ，求 的值1P1AC31BP24 （本小题满分 10 分）已知 （ ） 0()()()nknkFxCfx*N（1）若 ，求 的值；kf215 （23 题图）ACAB11CP（2）若 （ ， ， ） ，求证：()kxf01n!(1)2()nnFx2015-2016 学年度第一学期高三期中调研测试数 学 试 题 参 考 答 案201511一、填空题1 ,2 22 3 ,sin1R 4 73 59 6 71458 (,) 90 10 11 2e 12 13 3 62,1445二、解答题15
8、解：（1） 3()sin)cossincos3sin()46424fxxxx4 分 223kk 1088kk， Z ()fx的单调增区间为： 10,()3Z 7 分（2） )4,0 4x 3sin()1243x ()fx的值域为： 3(,2 14 分16解：（1） /mn 22cosin0C 3 分 整理得： ，解得： 1cos2C或2coss0Ccos10co (0,) 3 7 分（2） 222cos3cabab 2ab 2 0 3 7cb 10 分 14 分22791cos7bA(0,)Atan3A17解：（1） 24cea，解得： 21ac 3b椭圆方程为：214xy6分（2）法（一）
9、设 ， ，则 ， ， 在椭圆上1(,)Axy2(,)Dy1(,)BxyAD 212xyab121212122()()0xab 11 分210ADBkabce234a134ADk 14 分21ADk12ADk法（二） 设 0(,)xy， 1(,)x，则 0(,)Bxy则 ，下同法（一）22012 2100110()ADB xby bak a18解：（1）设 Ex（百米） 2AEFABCS 1sinsin22AFABC 8， 6 4x 0846x 8x 2 分 AEF中，222()cos4xx 244,8lx 5 分2246lx，当且仅当 26x时取“=” min6 8 分（2）由（1）知：224
10、,8lxx令 24,8tx 224(6)()1xxt列表得： (,26) (26,8)t 0 A极小值 46A且 4x时， 10t； 8x时， 1t，则 ,1t 12 分27lt在 6,上单调增 当 时， max8l， 此时 8,3EF 答：水管总长度 l的最小值为 百米；当点 E在 A处，点 F在线段 AC的中点时，长廊总长度 l的最大值为 18 百米 16 分19解：（1） (0,2)C 圆心 到直线 20xy的距离为 |042|5d，截得的弦长为 5 2225()1r 圆 C的方程为： 4 分221xy（2）设过原点的切线方程为： kx，即 0y 2|1k，解得： 3k过原点的切线方程为
11、： 3y，不妨设 3x与抛物线的交点为 M，则23yx，解得： (,)M，同理可求： (,)N 直线 :3Ny 7 分圆心 (0,)C到直线 N的距离为 1 且 r 直线 与圆 C相切； 9 分 （3）直线 QR与圆 相切证明如下：设 222(,)(,)Pabc，则直线 PQ、 R、 的方程分别为： 0xya， ： ()0acxy； ： ()0bcxy Q是圆 C的切线 2|1()b，化简得： 22(1)3aa PR是圆 C的切线，同理可得： 22(1)30aca 12 分则 ,bc为方程 22(1)30ax的两个实根 223,1abcbc圆心到直线 QR的距离为：222 423|()141(
12、)bcad ra直线 与圆 C相切 16 分20解：（1） 2(1)()ff 21)5a，即 2410a，解得： 3 分 33a（2） 3,()|1|21xfxxa 2,()61xfxa设 260a，则 6，若 0，则 1a，当 1x时， ()fx，当 1时， ()fx， 在 上单调减，在()fx,)上单调增，故函数 ()f有最小值 1a； 6(,)分若 6a，则 1a，当 x时， ()0fx，当 6ax时， ()0fx，当x时， ()0fx，又 ()f 是连续函数， 在 上单调减，在()f,)上单调增，故函数 ()fx有最小值 2()163af；(,)6a 619a综上可得： 9 分min1
13、0()6()9afxa（3）由（2）知，当 0时， )fx，函数 (fx在 R上单调递增，至多只有一个零点，不合题意；当 10a时， min()fx10a，不可能有两个零点； 11 分若 ， ，则 ，1,()10,fa()10fa则 ()fx在 ， 分别有一个零点，不妨设 1x ， ，0,(,)a2x2xa且 132x132xa 2123()ax又 ， 12，23222123 31()1 01xxx又 ()f在 0,上单调递减， 12()(ff，即 12()afx16 分 数 学 试 题 参 考 答 案21由条件， ，解得 5 分1243ab38261ab3b ， 10 分2A27910A22 的可能取值有X0,3； ； 6 分4357()PA24357()APX3571()APX随机变量 的概率分布为：答：数学期望为 10 分 1723 （1）以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，1,ABC,xyz 1At则 ， ， ， ，(0,)(,4)t(3,0)t(,40)C1(0,4)At1(3,4)BC，即 ，解得 ，即 的长为 311126t241()0377E0 2 3P417
