1、2015-2016 学年江苏省南京市金陵中学河西分校高三（上）期中数学模拟试卷（3）一、填空题：1已知全集 U=R，集合 A=x|2x3，B=x|y= ，则集合 AUB= 2若 a，bR ，i 为虚数单位，且（ a+i）i=b+i，则 a+b= 3同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为 3 的倍数的概率是 4某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部在 13 秒与 18 秒之间，大于或等于 14 秒的为良好，由测试结果得到的频率分布直方图如图，则该班百米测试中成绩良好的人数有人 5已知函数 y=sin（x+ ） （ 0， ）的图象如图所示，则 f（0）= 6如图是一个算法的流程图，若输入 x=2
2、，则输出 k 的值是 7将函数 的图象先向左平移 ，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，则所得到的图象对应的函数解析式为 8已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B ，C 所对的边，若 a=1，b= ，A+C=2B，则 sinC= 9在ABC 中， =2 ， =m +n ，则 mn= 10等差数列a n前 9 项的和等于前 4 项的和若 a10，S k+3=0，则 k= 11在ABC 中，B=120 ，AB= ，A 的角平分线 AD= ，则 AC= 12若函数 f（x）= ，若 f（f（ ） ）=4 ，则 b= 13已知函数 f（x）= 若存在实数 b
3、，使函数 g（x）=f（x） b 有两个零点，则 a 的取值范围是 14已知函数 ，分别给出下面几个结论：f（x）是奇函数；函数 f （x） 的值域为 R；若 x1x2，则一定有 f（x 1） f（x 2） ； 函数g（x）=f（x）+x 有三个零点其中正确结论的序号有 （请将你认为正确的结论的序号都填上）二、解答题：15在斜三角形 ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c（1）若 2sinAcosC=sinB，求 的值；（2）若 sin（2A+B）=3sinB，求 的值16已知 cos（ ）= ，sin（+ ）= ，其中 0 （1）求 sin2 的值；（2）求 cos（+ ）的
4、值17已知函数 f（x）=ax 2（5a 1）x+3a+1 （a R） （1）若 f（x）在区间1，+）上是单调增函数，求 a 的取值范围； （2）在（1）的条件下，若函数 f（x）在区间1 ，5上有零点，求 a 的取值范围18如图，有一块圆心角为 90，半径为 2 的扇形钢板，计划将此钢板切割成顶部为等腰梯形的形状，最终变成图的形状，OMCD，垂足为 M（1）设MOD=，以 为自变量，将五边形 OADCB 的面积 S 表示成 的函数关系式；（2）设 t=cossin，求 t 的取值范围；用仅含 t 的式子表示五边形 OADCB 的面积 S，并求出 S 的最大值及取得最大值时 的值19已知等差
5、数列a n的前 n 项和为 Sn，公差 d0，且 S3+S5=50，a 1，a 4，a 13 成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）若从数列a n中依次取出第 2 项、第 4 项、第 8 项，第 2n 项，按原来顺序组成一个新数列b n，记该数列的前 n 项和为 Tn，求 Tn 的表达式20已知函数 f（x）=x 3+ax2a2x+2，aR（1）若 a0 时，试求函数 y=f（x）的单调递减区间；（2）若 a=0，且曲线 y=f（x）在点 A、B（A、B 不重合）处切线的交点位于直线 x=2 上，证明：A、B 两点的横坐标之和小于 4；（3）如果对于一切 x1、x 2、x 30，1，总
6、存在以 f（x 1） 、f（x 2） 、f （x 3）为三边长的三角形，试求正实数 a 的取值范围2015-2016 学年江苏省南京市金陵中学河西分校高三（上）期中数学模拟试卷（3）参考答案与试题解析一、填空题：1已知全集 U=R，集合 A=x|2x3，B=x|y= ，则集合 AUB= x| 2x1 【考点】交、并、补集的混合运算【分析】化简集合 B，求出 UB，再计算 AUB【解答】解：全集 U=R，集合 A=x|2x3，B=x|y= =x|x 1，UB=x|x1AUB=x|2x1故答案为：x| 2x12若 a，bR ，i 为虚数单位，且（ a+i）i=b+i，则 a+b= 0 【考点】复数
7、相等的充要条件【分析】先化简复数，再利用复数相等则实部与实部等，虚部与虚部等，解出 a、b，可得结果【解答】解：a，bR，i 为虚数单位，且（ a+i）i=b+i，1+ai=b+i根据复数相等的定义可知 a=1，b=1则 a+b=11=0故答案为：03同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为 3 的倍数的概率是 【考点】相互独立事件的概率乘法公式；等可能事件的概率【分析】根据题意，同时抛掷两个骰子，共 66=36 种情况，而向上的点数之积为 3 的倍数必须至少有一个骰子向上的点数为 3 的倍数，即 3 或 6，其情况数目，由等可能事件的概率，计算可得答案【解答】解：根据题意，同时抛掷两个骰子，共 6
8、6=36 种情况，而向上的点数之积为 3 的倍数必须至少有一个骰子向上的点数为 3 的倍数，即 3 或 6，其情况数目为 42+62=20 种，则向上的点数之积为 3 的倍数的概率 = ，故答案为 4某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部在 13 秒与 18 秒之间，大于或等于 14 秒的为良好，由测试结果得到的频率分布直方图如图，则该班百米测试中成绩良好的人数有人 47 【考点】频率分布直方图【分析】由题意求出成绩大于或等于 14 秒的频率与频数即可【解答】解：由题意，成绩大于或等于 14 秒的人数为：50（10.06）=47 人故答案为：475已知函数 y=sin（x+ ） （ 0，
9、 ）的图象如图所示，则 f（0）= sin 【考点】由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式【分析】根据函数的图象，求出周期，利用周期公式求出 ，当 x= 时，y 有最小值1，以及 ，求出 即可得函数解析式，从而代入 x=0 即可计算得解【解答】解：由图象知函数 y=sin（ x+）的周期为 2（2 ）= = ，= 当 x= 时，y 有最小值1，因此 +=2k （k Z） ，= y=sin（ x+ ） ，f（ 0）=sin 故答案为：sin 6如图是一个算法的流程图，若输入 x=2，则输出 k 的值是 4 【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 x，k 的值，
10、当 x=122，k=4，满足条件 x100，退出循环体，从而求出最后 k 的值即可【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=2，k=0x=321=5，k=1，不满足条件 x100，执行循环体；x=351=14，k=2，不满足条件 x100，执行循环体；x=3141=41，k=3，不满足条件 x100，执行循环体；x=3411=122，k=4，满足条件 x100，退出循环体，输出 k=4故答案为：47将函数 的图象先向左平移 ，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，则所得到的图象对应的函数解析式为 【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】先求函数 的图象先向
11、左平移 ，图象的函数表达式，再求图象上所有的点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，则所得到的图象对应的函数解析式【解答】解：将函数 的图象先向左平移 ，得到函数 的图象，将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，则所得到的图象对应的函数解析式为：故答案为：8已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B ，C 所对的边，若 a=1，b= ，A+C=2B，则 sinC= 1 【考点】正弦定理【分析】先根据 A+C=2B 及 A+B+C=180求出 B 的值，再由正弦定理求得 sinA 的值，再由边的关系可确定 A 的值，从而可得到 C 的值确定最后答案【解答】解
12、：由 A+C=2B 及 A+B+C=180知，B=60，由正弦定理知， ，即 ；由 ab 知，AB=60，则 A=30，C=180AB=90，于是 sinC=sin90=1故答案为：19在ABC 中， =2 ， =m +n ，则 mn= 6 【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】由已知 = = ，从而 = ，由此能求出 mn 的值【解答】解：在ABC 中， =2 ， = = ， = = （ ）= + ， = ， =3 2 ， =m +n ，m=3，n= 2mn=6故答案为：610等差数列a n前 9 项的和等于前 4 项的和若 a10，S k+3=0，则 k= 10 【考点】等差数列的性
13、质；等差数列的前 n 项和【分析】由已知结合等差数列的性质可求得 a7=0，而 a1+a13=2a7=0，由求和公式可得 a1+ak+3=0，可求 k 的值【解答】解：由题意可得，S 9=S4S9S4=a5+a6+a7+a8+a9=0由等差数列的性质可得，5a 7=0a7=0， a1+a13=2a7=0Sk+3= （k+3 ）=0a1+ak+3=0k+3=13k=10故答案为：1011在ABC 中，B=120 ，AB= ，A 的角平分线 AD= ，则 AC= 【考点】余弦定理的应用【分析】利用已知条件求出 A，C，然后利用正弦定理求出 AC 即可【解答】解：由题意以及正弦定理可知： ，即 ，
14、ADB=45，A=18012045，可得 A=30，则 C=30，三角形 ABC 是等腰三角形，AC=2 = 故答案为： 12若函数 f（x）= ，若 f（f（ ） ）=4 ，则 b= 【考点】分段函数的应用；函数的值【分析】由函数 f（x）= ，f（f（ ） ）=4，构造关于 b 的方程，解得答案【解答】解：函数 f（x）= ，f（ ） = ，若 1，即 b ，则 f（f（ ） ）=f（ ）= =4，解得：b= （舍去） ，若 1，即 b ，则 f（ f（ ） ）=f（ ）= =4，解得：b= ，综上所述：b= ，故答案为：13已知函数 f（x）= 若存在实数 b，使函数 g（x）=f（x）
15、 b 有两个零点，则 a 的取值范围是 a|a 0 或 a1 【考点】函数的零点【分析】由 g（x）=f（x）b 有两个零点可得 f（x）=b 有两个零点，即 y=f（x）与 y=b 的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求 a 的范围【解答】解：g（x）=f（x）b 有两个零点，f（ x）=b 有两个零点，即 y=f（x）与 y=b 的图象有两个交点，由 x3=x2 可得，x=0 或 x=1当 a1 时，函数 f（x）的图象如图所示，此时存在 b，满足题意，故 a1 满足题意当 a=1 时，由于函数 f（x）在定义域 R 上单调递增，故不符合题意当 0a1 时，函数
16、 f（x ）单调递增，故不符合题意a=0 时，f （x）单调递增，故不符合题意当 a0 时，函数 y=f（x）的图象如图所示，此时存在 b 使得，y=f（x）与 y=b 有两个交点综上可得，a0 或 a1故答案为：a|a0 或 a114已知函数 ，分别给出下面几个结论：f（x）是奇函数；函数 f （x） 的值域为 R；若 x1x2，则一定有 f（x 1） f（x 2） ； 函数g（x）=f（x）+x 有三个零点其中正确结论的序号有 （请将你认为正确的结论的序号都填上）【考点】函数的零点；函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【分析】利用奇函数的定义进行验证 ；当 x0 时，可求其值域，由 知当 x0 时，可求 f（x）值域，x=0 时，f（x）=0，从而可判断；由知若 x1x2，则不一定有 f（x 1）f（x 2） ； 由知 f（x）的图象与 y=x 有三个交点，故可判断
