1、高三年级模拟考试一、填空题：1已知集合 ，集合 , 且 ，则实数 的值为 2 1,2A13BaABa2已知复数 为纯虚数，则实数 的值为 1 ()ibi b3一个算法的流程图如下图所示，则输出 Y 的结果为 11 4上图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定 60 分以上( 含 60)为考试合格，则这次考试的合格率为 0.72 5袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 2 只白球，2 只黄球，从中一次随机摸取 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 2/3 6设直线 m、n 和平面 ,下列四个命题中，正确的是 .（请写出所有正确命、题的序号）若 若n/,/则 /,/, 则nmn若 若m则,
2、 /,则7设函数 ，则 的最小值为 -1 211()4)(, xxf()fx8把函数 的图象沿 x 轴向左平移 m 个单位（ ） ，所得函cosin2f0数的图象关于直线 对称，则 m 的最小值是 8x49若双曲线 的左焦点在抛物线 的准线上，则 p 的值为 4 2163yp2ypx10已知函数 ，且 ，则 2()cos()fn()1)naf12310aaI1While I6Y2I+1II+2End WhilePrint Y O 20 40 60 80 100 分数/分频 率组 距0.0020.0040.0080.0120.024(第 4 题图）-100 .11过圆 x2y 21 上一点 P
3、作圆的切线与 x 轴和 y 轴分别交于 A，B 两点，O 是坐标原点，则 |OBA的最小值是 3 12 已知 ABC 中，3( ) 4 2，则 -7 . CA CB AB AB tanAtanB13已知函数 ，若存在非零实数，使得 ，则2,fxabR12ftt的最小值为 24ab16514.已知等比数列 的首项为 ，公比为 ，其前 项和记为 ，又设na431nS， 的所有非空子集中的最小元素的和为 ，13521,48nnB(,2)NnBT则 2016 的最小正整数 为 45 0ST二、解答题：本大题共六小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15
4、（本题满分 14 分）在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 已知 .ABCCabc3os24C（1 ）求 ；（2 ）当 ，且 时，求 .sin2ca37b解：（1）由已知可得 .所以 . 1sin42sin8因为在 中， ，所以 . ABCsin014sinC（2 ）因为 ，所以 . 2caii28A因为 是锐角三角形，所以 ， . ABC2cos4C52cos8A所以 . sini()sininA1144378由正弦定理可得： ，所以 . 37siiaB说明:用余弦定理也同样给分.16 （本题满分 14 分）如图, 是边长为 的正方形， 平面 ， ， .ACD3DEABCDEF/A
5、F3(1)求证： 平面 ；（2）设点 是线段 上一个动点，试确定点 的位置，MBM使得 平面 ，并证明你的结论 ./EF16.(1)证明：因为 平面 ，所以 . AC因为 是正方形，D所以 ，因为 BBD从而 平面 . （2 ）当 M 是 BD 的一个三等分点，即 3BMBD 时，AM 平面 BEF 取 BE 上的三等分点 N，使 3BNBE，连结 MN，NF，则 DEMN，且 DE3MN，因为 AFDE，且 DE3 AF，所以 AFMN，且 AFMN，故四边形 AMNF 是平行四边形 所以 AMFN，因为 AM 平面 BEF，FN 平面 BEF， 所以 AM平面 BEF 17 （本题满分 1
6、4 分）甲方是一农场，乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润 （元）x与年产量（吨）满足函数关系 .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 元（以20xt s下 为赔付价格）.s（1）将乙方的年利润 （元）表示为年产量（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的w年产量；A BCDFE（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 （元），在乙方按照获得最大20.yt利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格 是多少？s解：（1）因为赔付价格为 元/吨，所以乙方的实际年利润为
7、：s 200wts因为 ，（也可利用导数）221020wtts所以，当 时，w 取得最大值 .21ts所以乙方获得最大利润的年产量 （吨）.210ts（2）设甲方净收入为 元，则 .将 代人上式，得到甲方净收v2tt210s入 与赔付价格 之间的函数关系式： .vs234v又 232355108108ss令 ，得 .当 时， ；当 时， ，vsv20v所以， 时， 取得最大值.v因此甲方向乙方要求赔付价格 （元/吨）时，获最大净收入.2018 （本题满分 16 分）如图，椭圆 的中心在原点，左焦点为 ，右准线方程为： ；C1(, )F4x（1 ）求椭圆 的标准方程；（2 ）若椭圆 上点 到定点
8、 的距离的最小值为 1，求 的值及点 的N(, 0)Mm2)mN坐标；（3 ）分别过椭圆 的四个顶点作坐标轴的垂线，围成如图所示的矩形， 是所围成的C AB、矩形在 轴上方的两个顶点；若 是椭圆 上两个动点，直线 与椭圆的另一个xPQ、 COPQ、交点分别为 ；且有直线 的斜率之积等于直线 的斜率之积，试探求四1PQ、 O、 、边形 的面积是否为定值，并说明理由1 ly xOQ1P1QPB AF2F1解析：（1）设椭圆的方程为： ，为半焦距；21 (0)xyab由题意可得： ， ；解得： ，从而有 ；c242223bac椭圆 的方程为： C213xy（2）设 ，由定点 ，考虑距离的平方；(,
9、)Nxy(,0)Mm则 ；22y223(1)4xx223mx二次函数的图象对称轴为 ；由椭圆方程知： ； 由题设知： ；分类讨论：048m当 即 时，在 时有 ；214xm22in31MNm解得： ，不符合题意，舍去；34当 即 时，由单调性知：在 时有 ；42m12x2min41解得： 或 （舍） ；综上可得： 的值为 2，点 的坐标为 N(,0)（3）由椭圆方程可知：四条垂线的方程分别为： 、 ；则 、2x3y(2, 3)A；(2, )B ；设 、 ，则有 ；34OABk1(, )Pxy2(, )Qxy12OPQykx由题意可得： （*） ，而点 均在椭圆上，有 、21 、22113()4
10、x；223(1)4xy将（*）式平方并代入可得： ，即 ； 222111969(4)xyx214x若 ，则 分别是直线 与椭圆的交点；()a12x11PQ、 、 、 OAB、四个点的坐标分别为：、 、 、 ；6(2, )6(, )6(, )26(, )2四边形 的面积为 1P43若 ，则可设直线 的方程为： ；()b12xQ211()yx化简可得： ；2121212()()0yxyx原点 到直线 的距离为 ，而OP1221()()yxd；2211()()PQxy 221211121OPQSdxyxyyx；22211 133()()3()3444根据椭圆的对称性，该四边形 也是关于 成中心对称；
11、1PQO四边形 的面积为 ，即为定值 ；1PQOS3综上所述：四边形 的面积为定值，该定值为 1 419（本题满分 14 分）已知函数 ,其中 是实数.设 , 为该函20()ln,xafa1(,)Axf2()Bxf数图象上的两点,且 .12()指出函数 的单调区间;()fx()若函数 的图象在点 处的切线互相垂直,且 ,求 的最小值;AB20x21x()若函数 的图象在点 处的切线重合,求 的取值范围.f a解: 函数 x的单调递减区间为 ,1,单调递增区间为 , 由导数的几何意义可知,点 A 处的切线斜率为 1fx,点 B 处的切线斜率为2fx,故当点 A 处的切线与点 B 处的切垂直时,有
12、 21f. 当 0时,对函数 fx求导,得 2fx. 因为 12x,所以 11, 所以 1220,0xx. 因此 12121x 当且仅当 x= =1,即 123且 时等号成立. 所以函数 ()f的图象在点 ,AB处的切线互相垂直时, 1x的最小值为 1 当 120x或 210x时, 12fxf,故 20. 当 时,函数 ()f的图象在点 处的切线方程为 2111yxax,即 211yxa 当 20时,函数 ()f的图象在点 2xf处的切线方程为 22lnyxx,即 22ln1y. 两切线重合的充要条件是 122lnxa由及 120x知, 10x. 由得, 21111lnlnax. 设 21 1
13、l(0)hxx, 则 110. 所以 1hx是减函数. 则 0ln2, 所以 la. 又当 1(,)x且趋近于 1时, 1hx无限增大,所以 的取值范围是 ln2. 故当函数 ()fx的图像在点 ,AB处的切线重合时, a的取值范围是 ln21, 20 （本小题满分 16 分）定义数列 ： ，当 时， 其中 。na12n1,2,.narkN0r（1） 当 时， 。0r123nnSa求： ；求证：数列 中任意三项均不能够成等差数列。2n（2） 是否存在正整数 M 对一切 及 ，不等式 恒成立，如N0rMankk12果存在求出 M 的最小值，如果不存在说明理由。解：（1）当 时，计算得数列的前 8
14、 项为：1，1，2，2，4，4，8，8.从而猜出数0r列 、 均为等比数列。2ka2()k ，数列 、 均为等比12121,kkkaa21ka2()kN数列， 。2k ，13521()kS ()k1k，1212 32kkka12,.31nSNk证明（反证法）：假设存在三项 是等差数列，即,(,)mnpSmnp成立。2nmpS因 均为偶数，设 ， ， ， （ ） ，, 121121,N 即 ，11()()(),nmpnmp112nmpm而此等式左边为偶数，右边为奇数，这就矛盾。（2） ， ， 是首项为212kkarar22()kkarr2kar，公比为 2 的等比数列， 。1r 1)又 ， ，
15、是首项为21()kkkr2121(kkrr21kr，公比为 2 的等比数列， 。1r 121(2)kkar 1121()()kkkarr21()()2kk，2111()()kkrrr 21112()()2knnkkka r 。11()()nrrr 42 ， 。 。042124kka存在 M=4， （这里要说明存在大于 3 的值，比如 值为 ）2,0nr3721.【 选做题 】在下面 A、B、C、D 四个小题中只能选做两题，每小题 10 分，共 20 分B选修 42：矩阵与变换(本小题满分 10 分)已知矩阵 ，求矩阵 M 的特征值和特征向量32MB矩阵 的特征多项式为 ，2)(f由 ，解得 或
16、 ， 2()0f1当 时，对应的一个特征向量为 ，1当 时，对应的一个特征向量为 ， 212C选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在极坐标系中，已知曲线 ： 与曲线 ： 交于不同的两点1C22Csin()24，求线段 的长度,ABC曲线 化为直角坐标方程为 ， 124xy+=曲线 化为直角坐标方程为 2 0-圆心到直线的距离为 ， 2所以 4()AB=-=【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分解答时应写出文字证明、说明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出 名学生组成代表队，比3赛规则是：按
17、“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不能参加两盘单打比赛若每盘比赛中高一、高二获胜的概率分别为 34,7按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？若单打获胜得 分，双打获胜得 分，求高一年级得分 的概率发布列和数学期望2322 先安排参加单打的队员有 种方法，再安排参加双打的队员有 种方法，2A12C所以，高一年级代表队出场共有 种不同的阵容 13C 的取值可能是 ，0,2345,7649648(0),(2),(3)4PP67(4),(),3P的概率发布列为023457P643986234所以， ()0257434E+23.在数列 和 中， ，其中 且 ，nab*,(1),nababnN2a*N设 ，试问在区间 上是否存在实数 b 使bR12323, ,AB1,得 若存在，求出 b 的一切可能的取值及相应的集合 C，若不存在，请说CB明理由
