1、桂林市第十八中学 2013级高三第一次月考数学(理)第 I卷一.选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合 , ,则 ( )|410Mx|410NxMNA.1,4 B.-1,-4 C.0 D.2.已知复数 21iiz( 为虚数单位),则 z等于( )A. 3 B. 1i C.13i D.12i3.设 A,B是两个集合,则 是 的( )“AB“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.在等差数列 na中,已知 3810a,则 573a=( )A.10 B.18 C.20 D.285.设 si2
2、0156,函数 ,0xff,则 21log6f( )A. 4 B.4 C.16D.66.三棱锥 S-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱 SB的长为( )422 23侧侧侧侧侧侧DA CBA.21 B.42 C. 38 D.167.直线 0yx与圆 121yx相交于 A,B两点,则弦|AB|=( )A. 2 B. 32 C. D. 28.给出一个如图所示的流程图,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等, 则这样的 x 值的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.49.点 A,B,C,D均在同一球面上,且 AB,AC,AD两两垂直,且 AB=1,AC=2,AD=3,则该球的表面积为
3、( )A. B. C. 71472D. 14310.函数 lnfxx的图像是( )11.已知 12,F分别是椭圆的左,右焦点,现以 2F为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点 M,N,若过 1的直线 1M是圆 的切线,则椭圆的离心率为 ( )A. 3 B. 3 C. D. 3212.定义在 (0,)2上的函数 fx, 是它的导函数,且恒有 tanfxfx成立.则( )A.3()6ffB.)1(cos2)6(3ffC.2(4D. 4第 II卷二.填空题:本大题共 4小题,每小题 5分.13.已知向量 , ,若存在实数 ,使得 ab,则实数 为27a24b_.14.已知变量 ,xy满足约束条
4、件5021xy,则 2zxy的最大值是_.15.若204210204 .)1( axa)(R，则 _()()(3021 a .(用数字作答)16.数列 n中, 1,且对所有 *nN,满足 212na ,则 35a_.三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 12分)如图所示,在四边形 ABCD中,D=2B,且 AD=1,CD=3,3cosB.求ACD 的面积;若 2C,求 AB的长.18.(本小题满分 12分)某班 50位学生 2015届中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示,其中成绩分组区间是:40,50）,50,60）,60,70）,70,80）,80,90）
5、,90，100.求图中 x的值;从成绩不低于 80分的学生中随机选取 2人,这2人中成绩在 90分以上（含 90分）的人数记为 ,求 的数学期望.19.(本小题满分 12分)已知正方体 的棱长为 2, 是 AC的中点,E 是线段 上一点,且1ABCDO1DO.1EO求证: 1AC;若平面 CDE平面 1,求 的值,并求二面角 E-CD-A的余弦值.20.(本小题满分 12分)如图,已知点 1,2A是离心率为 2的椭圆 C:21yxab( 0)上的一点,斜率为 2的直线 BD交椭圆 C于 B,D两点,且 A,B,D三点互不重合.求椭圆 C的方程;求证:直线 AB,AD的斜率之和为定值.21.(本
6、小题满分 12分)设函数 2ln1fxax( 为常数).若函数 y在区间1,+)上是单凋递增函数,求实数 a的取值范围;若函数 f有两个极值点 12,且 12x,求证: 210lnfx.请考生在第 22,23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时请写清题号.22.(本小题满分 10分)选修 4-4:坐标系与参数方程.极坐标系的极点为直角坐标系 的原点,极轴为 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单xOyx位相同,已知曲线 C的极坐标方程为 .2cosin求 C的直角坐标方程;直线 ( 为参数)与曲线 C交于 A,B两点,与 轴交于 E,求|EA|+|EB|.12:3xtyt y23
7、.(本小题满分 10分)选修 4-5:不等式选讲.已知 ,不等式 的解集为 M.|1|fxx4fx求 M;当 时,证明: .,abM2|ab桂林市第十八中学 2013级高三第一次月考答案一.选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D A C C C B D C B B A A解析:6.由已知中的三视图可得 SC平面 ABC,且底面ABC 为等腰三角形,在ABC 中 AC=4，AC边上的高为 ,23故 BC=4,在 RtSBC 中,由 SC=4,可得 ,故选 B.42S9.三棱锥 A-BCD的三条侧棱两两互相垂直,所以把它扩展为长方体,它也外接于球,对角线的长为球的
8、直径, ,它的外接球半径是 ,外接球的表面积是 .22131d1421410.函数的定义域为 或 ,可排除选项 A,D;又函数 在其单调区间内都是0xfx增函数,排除 C,即只有选项 B正确,故选 B.11.如图,易知 , , ,故 ,所以有2MFc1212FM13c,可解得离心率.13ac3cO F2F1M12.由 得 ,构造函数 ,tanfxfxcossin0fxfxcosFxfx则 ,故 单调递增,有 .0Fcos6633Ff二.填空题题号 13 14 15 16答案 659(理)2004 (文)24561解析:16.由 ,得 ,两式相除得 .212na 2121na 21na三.解答题
9、17.解：因为D=2B, ,所以 .3cosB21coscos3DB因为 ,所以 ,所以ACD 的面积 .0D2in1in2SADC在ACD 中, ,所以 .2 cs2ACAC因为 , ,所以 ,得 AB=4.3BsiiB3iniB18.解：由 300.006+100.01+100.054+10x=1，得 x=0. 018.(理)由题意知道:不低于 80分的学生有 12人,90 分以上的学生有 3人随机变量 的可能取值有 0,1,2; ; ,29160CP1932CP21CP .E 0 1 2P 69(文)由题意知道成绩在50,60)的学生有 3个,分别设为 ;成绩在60,70)的学生123,
10、A有 5个,分别设为 .随机选取两人有 ,12345,B, , , ,1234525B435B4, , 11,AA122A28种情况.3123435,2人成绩都在60,70)的有 ,123145, , 10种情况.3425,B3454故概率为 .0819.解: , , 面 .ACDO1AC1DO 面 , .11(理)AC平面 ,ACDE,要使平面 CDE平面 ,只需 DE平面 ,11CDO即需 DE ,(DEAC,DE平面 ,由 ,则 ,在 Rt 中,11221,16OD , , , , .23E126363EO1DE以 DA,DC, 分别为 x,y,z轴建立直角坐标系,则 D(0,0,0),
11、C(0,2,0),O(1,1,0),.10,设平面 EDC的法向量为 ,则有 ,得2,3Emxyz0mDEC,002xyz得 ,令 ,得 .又平面 CDA的法向量为 ,设 E-CD-A的y1z,01 01n平面角为 ,故 .2cos|mn(文)由 ,则 ,在 Rt 中, , ,12DO1DO1623DE,163E , , .12E,易知 , ,3CDEOCDOCVSh14DOCABDS123h故 .921.解：(理)即 在1,+)上恒成立,2 01xaf即 在区间1,+)上恒成立.2ax 在区间1,+)上的最大值为4, .4(文)当 时, , ,4221 01xxf ,)x单调递增.fx 在区
12、间(1,+)上有两个不相等的实数根,2 01ax即方程 在区间(1,+)上有两个不相等的实数根.记 ,则有 ,解得 .2ga102g12a , , , .12x12x220x .22ln1xf令 , ,只须证 .2ln1xxG02x1ln2Gx,(观察 , 猜测2ln1G1)22l0xx令 ,下证2ln1gx22ln10xgx,令 ,得 , .列表得:26x0135235x21,x2,xg- 0 + 极小 , ,所以 ,所以 ,所以 在012ln0gx0Gxx上单调递减,所以 ,故 ,故2102G1ln2.210ln2fx20.解：由题意,可得 ,代入 得 ,又 ,cea1,2A21ab22a
13、bc解得 , ,所以椭圆 C的方程 .2ab4yx证明:设直线 BD的方程为 ,又 A,B,D三点不重合, ,设 ,yxm0m1Dxy,2Bxy则由 得 ,所以 ,24xm22402864所以 . , ,设直线 AB,AD的斜率分别12x21x为 , ,ABkD则;122112 1 0AB xmxxmxyx 所以 ,即直线 AB,AD的斜率之和为定值.0DAk22.由 得 ,得直角坐标方程为2cosin2cosin,2xy即 ;21将 的参数方程代入曲线 C的直角坐标方程,化简得 ,点 E对应的参数 210t,设点 A,B对应的参数分别为 ,则 , ,所以0t12t12t1,12|45EABt t23.解:解不等式: , 或 或 ,|1|x2xx124得 或 或 ,得 ,即 .12x,M需证明: ,2486abab只需证明 ,160即需证明 .22证明: ,故 , ,所以 ,所以原不等式成立.,422240a
