1、20152016 学年度高三正月两校联考数学（理）试卷（命题：揭阳一中）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1. 设集合 ，则 等于( )2 2|1,|3,MyxRNxyxRMNA. B. C. D.3,312已知 i 是虚数单位，则 ( )2015iA B C D1i2i12i12i3设函数 的导函数 ，则数列 的前 n 项和是（ ()mfxa()fx()Nfn）A B C D1n21n-1+14已知平面向量 若 则实数 的值为 （ (,)(,5,)abc()/,akbck）A2 B C D2445若 ，则 的最小值是（ ）4log(3)logababA B C
2、D67363736. 下列叙述中正确的是（ ）A若 ，则“ ”的充分条件是“ ”,abcR20axbc240bacB若 ，则“ ”的充要条件是“ ”C命题“对任意 ，有 ”的否定是“存在 ，有 ”x2xR2D是一条直线， 是两个平面，若 ，则 ,l/7ABC 中，已知 cosA=135，sinB= ，则 cosC 的值为（ ）A. 651 B. 6 C. 651或 D. 6518设抛物线 28yx的焦点为 F，准线为， P为抛物线上一点， PAl， 为垂足，如否是1 , ,10nqp开始输入 a结束输出apq1n果直线 AF斜率为 3，那么 PF（ ）A 4 B8 C 83 D 169 利用一
3、个球体毛坯切削后得到一个四棱锥 PABCD，其中底面四边形 ABCD 是边长为 1的正方形，PA=1，且 ，则球体毛坯体积的最小值应为 （ ）PA平 面A B C D23438233210若定义在 R 上的减函数 ，对任意的 ，不等式yfx,abR)2()2(bfaf成立，则当 时， 的取值范围是( )14A 1,4 B. , C. 1,2 D. 1,2(11.甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得 1 分，否则乙得 1 分，先积得 3 分者获胜得所有 12 张游戏牌，并结束游戏比赛开始后，甲积 2 分，乙积 1 分，这时因意外事件中断游戏，
4、以后他们不想再继续这场游戏，下面对这 12 张游戏牌的分配合理的是（ ）A甲得 9 张，乙得 3 张 B甲得 6 张，乙得 6 张 C甲得 8 张，乙得 4 张 D甲得 10 张，乙得 2 张12. 已知 ，且 在（-1, 1内有且仅1,(,0(),xfx()gxfmx有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是（ ）A B91(,2(0,41(,2(0,4C D33第卷 （非选择题 共 90 分）二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13. 执行程序框图，如果输入 ，那么输出 an14. 设 7254361634527773, 1,ACBC则 B15. 已知双曲线 C
5、的离心率为 2，左、右焦点为 ，点 A 在 C 上，12,F若 ，则 。12|F1cosAF16. 数列 的首项 ,na112,na2,1nabN则数列 的通项公式 = bb三、解答题（共 70 分）17 （本题满分 12 分）在ABC 中，a、b、c 分别是A、B、 C 的对边长，已知a、b、c 成等比数列，且 a2c 2ac bc，求A 的大小及 的值sinbc18 （本题满分 12 分）某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表）和频率分布直方图（如图） 分组 频数 频率0，50 n1 0.15（50，100 n2 0.25（100，150 n3 0.30（150
6、，200 n4 0.20（200，250 n5 0.10将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（1）求 的值13,a（2）求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都高于 100 个且另 1 天的日销售量不高于 50 个的概率；（3）用 X 表示在未来 3 天里日销售量高于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 19(本小题满分 12 分) 已知四棱锥 PABCD 的三视图如下图所示，E 是侧棱 PC 上的动点（1）是否不论点 E 在何位置，都有 BDAE？证明你的结论；（2）若点 E 为 PC 的中点，求二面角 DAEB 的大小.20. （本题满分
7、 12 分）已知椭圆 : 的一个焦点为 ,E210xyab130F而且过点 .13,2H（1）求椭圆 的方程； E（2）设椭圆 的上下顶点分别为 , 是椭圆上异于12AP的任一点,直线 分别交 轴于点 ,若直线1A12,PxNM与过点 的圆 相切,切点为 .证明：线段 的长OT,MNGTOT为定值,并求出该定值.21 （本题满分 12 分）已知函数 22()lnfxax(常数 0)a.（1）当 时，求曲线 yf在 1处的切线方程；（2）讨论函数 f在区间 2,e上零点的个数（ e为自然对数的底数）.（请在第22、23、24题中任选一题解答，满分10分）22已知 AB是圆 O的直径， C为圆 上
8、一点， CD AB于点 D，弦 BE与 CD、 AC 分别交于点M、 N，且 MN = MC（1）求证： MN = MB；（2）求证： OC MN。.xy 1A2ATGPMO N23 在直角坐标系 xOy中，圆 21:+=4Cxy，圆 2:-+=4xy（1 ）在以 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 12,C的极坐标方程，并求出圆 12,C的交点坐标（用极坐标表示）（2 ）求圆 与圆 的公共弦的参数方程24.已知函数 ()2fxa（1）若不等式 的解集为 ，求实数 a 的值；623x（2）在（1）的条件下，若存在实数 使 成立，求实数 的取值范围.n()mf(n)fm201520
9、16 学年度高三正月联考数学（理）试卷答案一、选择题（60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C A B D D A B D C A A二、填空题（20 分）13. 4 14. 128 15. 16. 112n三、解答题（70 分）17解：（1）a、b、c 成等比数列，b 2ac又 a2c 2acbc ，b 2+c2a 2bc在ABC 中，由余弦定理得 cosA ， A60（6 分）cb1（2）解法一：在ABC 中，由正弦定理得 sinB ，b 2ac，A60 ，sin sin60 （12 分）2sini60bBca32解法二：在ABC 中，由面积公式得
10、bcsinA acsinB12b 2ac，A60，bcsinAb 2sinB sinA （12 分）sinbBc318.（1）解：由频率分布直方图，得： = , = （2 分）1a0.53a0.45（2）解：设 A1表示事件“日销售量高于 100 个”，A 2表示事件“日销售量不高于 50 个”，B 表示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量高于 100 个且另 1 天销售量不高于 50个”P（A 1）=0.30+0.20+0.10=0.6，P（A 2）=0.15，故所求概率：P（B）=0.60.60.152=0.108（5 分）（3）解：依题意，X 的可能取值为 0，1，2，3，且
11、 XB（3，0.6）（6 分）P（X=0）= P（X=1）=303.6.4c210.0.8cP（X=2）= P（X=3）= （10 分）213X 的分布列为X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216EX=30.6=1.8（12 分）19 解：(1) 不论点 E 在何位置，都有 BDAE. 证明如下：由三视图可知，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PC底面ABCD，且 PC2. （1 分） 连结 AC，ABCD 是正方形，BDAC. （2 分）PC底面 ABCD，且 BD平面 ABCD，BDPC. （3 分）又ACPCC，BD平面 PAC. （4
12、分）不论点 E 在何位置，都有 AE平面 PAC.不论点 E 在何位置，都有 BDAE. （5 分）(2) 解法 1：在平面 DAE 内过点 D 作 DFAE 于 F，连结 BF. （6 分）ADAB1，DEBE ，AEAE ，12 12 2 3RtADERtABE，从而ADFABF，BFAE.DFB 为二面角 DAEB 的平面角（9 分）在 RtADE 中，DF ADDEAE 1 23, BF .又 BD ，在DFB 中，由余弦定理得 cos DFB63 63 2221F，DFB ， 即二面角 DAEB 的大小为 .（12 分）23 23解法 2：如图，以点 C 为原点，CD，CB，CP 所
13、在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系（6 分）则 D(1,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(0,0,1)，从而 (0,1,0) ， (1,0,1)， (1,0,0)， (0，1,1) DAEBAE设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为11,nxyz， 22,nxyz由 10ADE10，取 1,0n由 2nB2xyz，取 2,（10 分）设二面角 DAEB 的平面角为 ，则121cos2n，（11 分） ，即二面角 DAEB 的大小为 （12 分） 23 2320(1)解法一:由题意得 , ,解得 ,（3 分）2ab214b24,1ab所以椭圆 的方程为 .4
14、 分E4xy解法二:椭圆的两个焦点分别为 ,123,0F由椭圆的定义可得 ,所以 , ,（3 分）12712|4aPF2a1b所以椭圆 的方程为 .4 分E4xy（2）解法一:由(1)可知 ,设 ,120,1A0Pxy直线 : ,令 ,得 ;直线 : ,令 ,得1P0yxN2A01yx; （6 分） 设圆 的圆心为 ,则0MxG01xhy2r,220001124xhhyyy22041xOhy（10 分）22 20 0021xOTGr y而 ,所以 ,所以 ,2014xy220041xy20241OT所以 ,即线段 的长度为定值 .12 分|TOT解法二:由（）可知 ,设 ,12,A0Pxy直线
15、 : ,令 ,得 ;1P0yx001N直线 : ,令 ,得 ;（6 分）20Mxy则 ,（8 分）而 ,所以 ,20|11xxOMNyy204220041xy所以 ,（10 分）由切割线定理得 （1120|4 2|OTMN分）所以 ,即线段 的长度为定值 .12 分|TT221解:（1）当 1a时， ()lnfxx， 2()fx. (1)0f.又 ()f，1 分曲线 yf在点 1处的切线方程为 y2 分 （2） 22lnx，22()axx ax.因为 0， a，于是当 0时， ()0f，当 时， ()0f.所以 ()f在 ,上是增函数，在 ,上是减函数. 5 分所以 2max()l1).fa
16、6 分讨论函数 ()fx的零点情况如下 2ln10a，即 ae时，函数 ()fx无零点，在 2(1,)e上也无零点；7 分当 ，即 时，函数 在 0,内有唯一零点 a，而 2e， ()fx在 21,内有一个零点；9 分当 2(l，即 e时，由于 (1)f， 2()ln1)0f 422)()faa，当 2e时，即 ea时，21e， 0fe，由单调性可知，函数 ()fx 在 ,内有唯一零点 1x、在 2(,)内有唯一零点 2x满足， ()x在 21,e内有两个零点； 10 分当 0ae时，即 a时， 0f，而且221()0f e， ()由单调性可知，无论 2ae还是 2，x在 ,内有唯一的一个零点
17、，在 2,e内没有零点，从而 ()fx在 1,内只有一个零点；12 分综上所述，有：当 0ae时，函数 ()fx无零点；当 ae或2时，函数()fx有一个零点；当2时，函数 有两个零点.22. 证明：（1）连结AE，BC，AB是圆O的直径，AEB=90，ACB=90MN=MC，MCN=MNC又ENA=MNC，ENA=MCNEAC=DCB，EAC=EBC， MBC=MCB，MB=MCMN=MB 5分（2）设OCBE=F，OB=OC，OBC=OCB由(1)知，MBC=MCB，DBM=FCM又DMB=FMCMDB=MFC，即MFC=90OCMN 10分23解：圆 1C的极坐标方程为 =2，圆 2C的
18、极坐标方程为 =4cos，解 =24cos得 ,3，故圆 1与圆 交点的坐标为 2,-3 5 分注：极坐标系下点的表示不唯一（2 ） （解法一）由 cos=inxy，得圆 1与圆 2交点的直角坐标为 1,-3故圆 1C与圆 2的公共弦的参数方程为 =-3xty（或参数方程写成 =xy） 10 分（解法二）将 x代入 cosiny，得 s1，从而 1cos于是圆 1与圆 2的公共弦的参数方程为 =-tan3xy24.解：(1)由 得 ，|2|6xa|2|6,26xaxa即 5分3,3,1a（2）由()知 令()|f()().fn则24,1()|1|,2nnn 的最小值为 4，故实数 m的取值范围是 10分() 4,)
