1、2016 届广东省华南师大附中高三 5 月测试数学（文）试题一、选择题1若集合 ， ， ，则满足条件的实数 的个数有0,13xA21,xAx（ ）A 个 B 个 C 个 D 个34【答案】C【解析】试题分析：由题 ，则 或 ，则满足条件的实数 的个20x2x数有 个 3【考点】集合中元素的特性2若复数 ，则 等于（ ）2zi10zA B C Dii42i63i【答案】D 【解析】试题分析：，选 d 15102 322izzi iii【考点】复数的运算3已知一组具有线性相关关系的数据 ， ， ， 其样本点1,xy2,nxy的中心为 ，若其回归直线的斜率的估计值为 ，则该回归直线的方程为（ 2,
2、.）A B1.yx1.23yxC D2540.6【答案】C【解析】试题分析：由题意可设回归直线为 ，由于回归直线过样本点的1.2yxb中心为 ，2,3故有 ，解得 ，故该回归直线的方程为 .故选 C1.b5.41.254yx【考点】回归直线4图中的小网格由大小相等的小正方形拼成，则向量 （ ）CAA B C D123e123e123e【答案】B【解析】试题分析：由题意可知： 121212539, C3ACeBeeA故选 B【考点】平面向量的正交分解5 莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的10 17
3、两份之和，问最小 份为（ ）1A B C D303566【答案】A【解析】试题分析：设五个人所分得的面包为（其中 ） ；22adad， ， ， ， ， 0d则 5120aa(） （ ） （ ） （ ） ， ；由 ，得17（ ）323416add（ ） ； ，所以，最小的 1 分为 故选 A0523a【考点】等差数列的性质6已知函数 的图象如图所示， ，则cosfxxA23f（ ）fA B C D23122312【答案】A【解析】试题分析：由图象可得最小正周期为 所以 ， ，cos2fxx32cossin23fA选 A2cossin623fA【考点】函数 的图像和性质fxx7阅读程序框图，如果输
4、出的函数值在区间 内，则输入的实数 的取值范围1,42x是（ ）A B C ,22,11,2D 【答案】B【解析】试题分析：由程序框图可得分段函数： 2.2()xf， ， 或 令 ，则 ，满足题意；1,42x2,1x故答案为 B.【考点】程序框图8设变量 ， 满足 ，若直线 经过该可行域，则xy518023xy20kxy的最大值为（ ）kA B C D1 45【答案】A【解析】试题分析：直线 过定点 ，20kxy2（ ， ）作可行域如图所示，由 得 52180xy 24B（ ， ）当定点 和 点连接时，斜率最大，此时 则 的最大值为 （ ， ） （ ， ） 4210k， k1故选 A 【考点】
5、简单的线性规划9已知直三棱柱 的 个顶点都在球 的球面上，若 ，1CA63A， ， ，则球 的表面积为为（ ）C42A B C 15310169D 60【答案】C【解析】试题分析：由题意，三棱柱 为直三棱柱，底面 为直角1CAA三角形，把直三棱柱 补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的1直径，所以外接球半径为 2213413则三棱柱 1 外接球的表面积是 故选 CCA224169Rcm【考点】几何体的外接球10函数 的图象大致是（ ）sin3xy【答案】C【解析】试题分析：函数 的定义域为sin3xyR，函数为奇函数()sini3xf fx，函数在原点右侧，靠近原点处单调增.1cof故选
6、C【考点】函数的图像和性质11过双曲线 （ ， ）的左焦点 （ ） ，作圆21xyab0abF,0c的切线，切点为 ，延长 交双曲线右支于点 ，若 ，224xy2F则双曲线的离心率为（ ）A B C 10105102D 2【答案】C【解析】试题分析： 2 24aaOFcEFc， ，由题 可知， 为 的中点，2,P210 2 4 42|a aPFc ce， ， ， ， 故选 C【考点】双曲线的离心率12已知函数 ，对区间 上的任意 ， ，且 ，都有3fxa0,11x212x成立，则实数 的取值范围为（ ）1212fxaA B C D0, 4,0,44【答案】B【解析】试题分析：对区间 上的任意
7、， ，且 ，都有0,11x212x成立，1212fxfx函数 在区间 上,fx ，3fxa 2在区间 上恒成立231x0,.故选 B4a【考点】函数的综合应用【名师点睛】本题考查函数的单调性，数字代替.解释正确理解题意，将问题转化为函数的单调性问题及在指定区间上的最值问题是解题的关键二、填空题13已知向量 ， ，则 cos,in46a2sin,4cos3bab【答案】 2【解析】试题分析： 1cos,in2si,4cos2incos4incos4246363ab【考点】向量数量积的运算14若命题“ ，使得 ”为假命题，则实数 的取值范0Rx200xmm围是 【答案】 2,6【解析】试题分析：命
8、题“ ，使得 ” 为假命题，则其0x2030x命题“ ，使得 ”为真，则 ，pRx23m2430m解得 2,6m【考点】命题的否定15设 是数列 的前 项和，且 ， ，则 nSna21a1nnSn【答案】 或 13S【解析】试题分析：当 时， 或1n21121,aSaa，由 可得12a1nS，即数列 是以 或 ，111nnnSnS1a12Sa以 为公差的等差数列，则 或nS或11213nnS3nS【考点】数列的通项16如图，为了测量河对岸 、 两点之间的距离，观察者找到一个点 ，从 点可AC以观察到点 、 ；找到一个点 ，从 点可以观察到点 、 ；找到一个点 ，DA从 点可以观察到点 、 ；并
9、测量得到一些数据： ， ，CD23， ， ， ， ，则 、D4510548.197560A两点之间的距离为 （其中 取近似值 ）cos3【答案】 10AB【解析】试题分析：依题意知，在 中， 由正弦定理得ACD30在 中， ，由正弦定理得452,3CDsinBE4560Ei在 中，由余弦定理 AB22 10ACABCcos10【考点】解三角形三、解答题17已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，且 ， ， 成等比数列nanS21a2S4（）求数列 的通项公式；na（）设 （ ） ，求数列 的前 项和 12nnbnbn【答案】 （） ;（）a21n【解析】试题分析：（）由已知 ， ， 及 可得
10、，则数列 的1a2S4d1ana通项公式易求；（） ，显然利用裂项相消法求和21nbnn试题解析：（）由 ， ， 成等比数列得 a2S4214Sa化简得 ，又 ，解得2116dd故数列 的通项公式 （ ）n 12nn（）由（）得 12nb1135721n n21n【考点】等差数列的通项公式，裂项相消法求和18某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出盒该产品获利润 元；未售出的产品，每盒亏损 元根据历史资料，得到开学季5030市场需求量的频率分布直方图，如图所示该同学为这个开学季购进了 盒该产品，160以 （单位：盒， ）表示这个开学季内的市场需求量， （单位：元）
11、x12x y表示这个开学季内经销该产品的利润（）根据直方图估计这个开学季内市场需求量 的平均数和众数；x（）将 表示为 的函数；yx（）根据直方图估计利润不少于 元的概率480【答案】 （）这个开学季内市场需求量 的众数是 ，平均数 ；x150153x（） ；804,16062xy（）知利润不少于 元的概率 .9p【解析】试题分析：（）由频率直方图可得到需求量为 ， ， ， ，1035170各段的频率，由此可估计这个开学季内市场需求量 的平均数和众数；（）利190 x用分段函数写出函数 的解析式；y（）利用频率分布直方图可求出利润不少于 4800 元的概率试题解析：（）由频率直方图得到：需求量
12、为 的频率 ，0.52.1需求量为 的频率 ，13需求量为 的频率 ，53需求量为 的频率 ，7.0.需求量为 的频率 ，97这个开学季内市场需求量 的众数是 ，x15这个开学季内市场需求量 的平均数：10.30.2.3.290.153x（） 每售出 盒该产品获利润 元，未售出的产品，每盒亏损 元，00当 时， ，651684yxx当 时，102x884,106xy（） 利润不少于 元，8，解得0x20由（）知利润不少于 元的概率41.09p【考点】 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；众数、中位数、平均数19如图，四棱锥 ，侧面 是边长为 的正三角形，且与底面垂直，CDA2底面 是
13、的菱形， 为 的中点60C（）求证： ；CDA（）求点 到平面 的距离【答案】 （）见解析；（）点 到平面 的距离为A215【解析】试题分析：（）取 中点 ，由题意可证 平面 ，可证DC；CDA（）点 到平面 的距离即点 到平面 的距离，可证 为三棱锥DADCA的高设设点 到平面 的距离为 ，由 可得 的方程，C hDCDVAh解方程可得试题解析：（）取 中点 ，连结 ， ， ，依题意可知 ， 均为正三角形C， ，又 ， 平面 ， 平面DAC平面 ，又 平面 ， （）点 到平面 的距离即点 到平面 的距离，DCA由（）可知 ，又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，C平面 ，即 为三棱锥 的高A在 中， ，Rt36在 中， ， ，边 上的高C2C210A的面积AC110562SA设点 到平面 的距离为 ，Dh由 得CDVACCD3SA又 ，24S1532解得 ， 点 到平面 的距离为 15h15【考点】直线与平面垂直的判定，点、线、面的距离20已知椭圆 （ ）的一个顶点是 ， 为坐标原点21xyab0a4,0（）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设直线 （其中 ， ）与（）中椭圆交于不同两点 ，:lykxmk，与双曲线 交于不同两点 、 ，问是否存在直线 ，使得向量D214Fl，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由F0
