1、佛山一中 2015-2016 学年度第一学期期中考试高三数学（文科）试题一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1设集合 A1，0，1，2，3，Bx|x 22x0，则 AB（ ）A3 B2，3 C1，3 D0，1，22在复平面内，复数 z 与 2i的对应点关于虚轴对称，则 z（ ）A i B C i D 2i3函数 y4sin（x+） （0，|）部分图象如图，其中点 A（ ，0） ，B（ ，0） ，则（ ）A 12,3B 21,3C D4已知函数 ()1xfa，若 ()fx是奇函数，则 a（ ）A0 B C D5.函数 afx满足 24f，那么函数 log1ax的图象大致为
2、（ ） 6执行如图的程序框图，如果输入的 N4，那么输出的 S（ ）A 1234B 12C 15D 23437设 )(xfy是一次函数，若 (0)1f，且 (),4(13)ff成等比数列，则 2fn （ ） An(2n+3) Bn(n+4) C2n(2n+3) D2n(n+4) 8.已知空间两条不同的直线 nm,和两个不同的平面 ,，则下列命题中正确的是（ ）A.若 nm/,/则B.若 nm则,C.若 则 D.若 /,/ 则9设实数 x，y 满足约束条件 ，则 1yzx的取值范围是（ ）A ， B ， C ， D ，110 过抛物线 2ypx(0)的焦点 F作直线与此抛物线相交于 A、 B两点
3、， O是坐标原点，当 OF 时，直线 A的斜率的取值范围是（ ）A. 3,0)(, B. (,2,)C. () D. 0)(11已知圆 C： 21xy，点 M（t，2） ，若圆 C 上存在两点 A、B 满足 ，则 t 的取值范围是（ ）A2，2 B ， C3，3 D5，512已知函数 f(x)|2 x1|，af(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是 Aa0 ( )C 2ac D 2ac二填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13函数 xxf 3cosin2si)(的最小正周期为 14曲线 ye x在点（0，1）处的切线方程是 15已知| | ，| |=2，若（ + ） ，则
4、 与 的夹角是 16设 nS是数列 an的前 n 项和， 34nSa，则 4 三解答题 本大题共 70 分，17-21 题为必考题，22-24 为选考题17设 ABC 的内角 ,ABC所对的边分别为 bc,，已知 41cos,21Cba.（）求 ABC 的周长；（）求 cos()的值18某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为 120 人、120 人、n 人.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取 20 人在前排就坐，其中高二代表队有 6 人.(）求 n 的值；(）把在前排就坐的高二代表队 6 人分别记为 a，b，c
5、，d，e，f，现随机从中抽取 2 人上台抽奖.求 a 和 b 至少有一人上台抽奖的概率；(）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个 0,1之间的均匀随机数,xy，若满足 012yx,电脑显示“恭喜” ，则该代表中奖；否则电脑显示“谢谢” ，则不中奖，求该代表中奖的概率.19如图 1，在直角梯形 ABCD中， /， ADB，且 12CD现以 AD为一边向梯形外作正方形 EF，然后沿边 将正方形 AEF翻折，使平面EF与平面 垂直， M为 的中点，如图 2（1）求证： 平面 ；（2）求证： BC平 面；（3）求点 D到平面 E的距离.20. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A
6、(0,3)，直线l：y2x4. 设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上(1) 若圆心 C 也在直线 y x1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；(2) 若圆 C 上存在点 M，使 MA|2|MO|，求圆心 C 的横坐FECBA图 1ABCDFE图 2M标 a 的取值范围21. 设函数 ln0fxx，（I）求函数 的单调区间；（II）设 2,FxafxRFx是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（III）当 0时，证明： 1xef.22(本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲选做题如图，AB 为圆 O 的直径，PB，PC 分别与圆 O 相切于B，C 两点，
7、延长 BA，PC 相交于点 D（）证明：ACOP；（）若 CD=2，PB3，求 AB23. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程选做题在平面直角坐标系中，取原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 1C的极坐标方程为 cos2，直线 2C的参数方程为： tyx23( 为参数）(I )求曲线 1的直角坐标方程，曲线 C的普通方程 .(II)先将曲线 上所有的点向左平移 1 个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的 3倍得到曲线 3， P为曲线 3C上一动点，求点 P到直线 2C距离的最小值，并求出相应的 点的坐标.24. (本小题满分 10 分)选修 4-5
8、 不等式选讲选做题设函数 axxf 21(（I）当 5a时，求函数 )(xf的定义域；（II）若函数 )(xf的定义域为 R，求 a的取值范围佛山一中高三数学期中试卷（文科）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A C B C B A D A D B D13 14 10xy 15150 0 1617解（） 41cos22 abc4 分 ABC的周长为 52. 6 分（） 41cos， 41cos1sin2C， 852isincaA8 分 ， C,故 A为锐角， 8715sin1co22A10 分 Acos Csincos 648712 分18解：（）由题意得 62
9、01，解得 10. 2 分(）从高二代表队 6 人中随机抽取 2 人的所有基本事件如下：(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,e)(a,f)、(b,c)(b,d)(b,e)、(b,f)、(c,d)、(c,e)、(c,f)、(d,e)、(d,f)共 15 种 4 分设“高二代表队中 a 和 b 至少有一人上台抽奖”为事件 M,其中事件 的基本事件有 9 种. 则 93()15PM. 7 分(）由已知，可得 0xy，点 (,)y在如图所示的正方形 OABC 内， 8 分由条件210xy，得到区域为图中的阴影部分. 10 分 由 21xy，令 0y得 12x，令 y得 1x. 3()4S阴11
10、分GMAF B CDE N设“该运动员获得奖品”为事件 N， 则该运动员获得奖品的概率34()1P12 分19 （ 1）证明：取 EC 中点 N，连结 MN，BN在 EDC中， ,M分别为 ,ECD的中点，所以 N ，且 12由已知 AB ， ，所以 ，且 AB 2 分所以四边形 NM为平行四边形所以 B 3 分又因为 平面 EC，且 平面 EC，所以 A平面 4 分（2）在正方形 DF中， A又因为平面 平面 BD，且平面 F平面 ABD，所以 E平面 C 所以 B 6 分在直角梯形 A中， 1A， 2C，可得 2在 D中， ,2D，所以 2C所以 B 7 分所以 平面 E 8 分（3）解法
11、一：因为 平面 B， 所以平面 BDE平面 C 9 分过点 D作 的垂线交 于点 G，则 平面所以点 到平面 C的距离等于线段 的长度 10 分 在直角三角形 E中， GSBDE21所以 362BDG所以点 D到平面 BEC的距离等于 36.12 分解法二： 平面 ,所以 BE所以 ,1221SBCD.63E 10 分又 BCDEV，设点 到平面 BEC的距离为 .h则 3131ShSBC，所以 3621BCEDS所以点 D到平面 E的距离等于 36. 12 分20解：(1)由题设，圆心 C 是直线 y2x4 和 yx1 的交点，解得点 C(3,2)，于是切线的斜率必存在设过 A(0,3)的圆
12、 C 的切线方程为 ykx3，2 分由题意，得 1， 3 分|3k 1|k2 1解得 k0 或 k ， 4 分34故所求切线方程为 y3 或 3x4y120. 5 分(2)因为圆心在直线 y2x4 上，所以圆 C 的方程为(xa) 2y2(a2) 21. 6 分设点 M(x，y)，因为|MA|2|MO|，所以 2223xyxy 8 分化简得 x2y 22y30，即 x2(y1) 24， 9 分所以点 M 在以 D(0，1)为圆心，2 为半径的圆上由题意，点 M (x，y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则|21|CD21，即 1 223a 3. 10 分由 5a212a80，得
13、a R； 由 5a212a 0，得 0 a .125所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为 .12 分21. 解:（I） )0(1ln)(xxf 1 分令 ,0)(xf则 l，得 e故 )(xf的增区间为 ,1e 2 分由 ,)(f得 )(xf的减区间为 1,0 3 分 )(xf的单调增区间为 ,e，单调减区间为 e1,0 4 分（II） )0(1ln)(2xaF， )0(2)( xaxF当 0时，恒有 ) )(x在 ,上单调递增，故 )(x在 ,0上无极值. 5 分当 0a时，令 0)(xF得 a21由 )(x得 ,， )(xF在 ,0上单调递增， 6 分由 0)(F得 )(x在 ,21a上
14、单调递减， xln)(ma， )(xF无极小值.7 分综上所述，当 0时， )(xF无极值；当 a时， 有极大值 a21ln，无极小值 . 8 分（III）证明：设 )0(ln)(xexg则即证 )(xg，只要证 2)(minxg 9 分 01,7.125.,1)( eexgy=5y=x+1+x-2Oyx4321-3-2-15321又 xeg1)(在 ,0上单调递增，方程 有唯一的实根 )1,5.0(tx 10 分当 ),0(tx时， )(tg，当 时， 0)(tgx egtlnmin 1)(tt te 11 分 21llmin ttext. 12 分22解： （）证明：因 PB，PC 分别与
15、圆 O 相切于 B，C 两点，所以 PBPC，且 PO 平分BPC，所以 POBC，又 ACBC，即 ACOP 4 分（）解：由 PBPC 得 PDPB+CD5，在 RtPBD 中，可得 BD4则由切割线定理得 DC2DADB，得 DA1，因此 AB3 10 分23. () 2cos，2xyx， 曲线 1C的直角方程为 (1). 2 分曲线 2的普通方程为 +4=0xy. 4 分()曲线 3的方程为21， 6 分设点 P( cos,in)，点 到直线的距离为3cosin42d=cos()462， 8 分由三角函数的性质知，当 6= 时， d取得最小值 ， 此时 56, 所以 P点坐标为 31(,)2. 10 分24.解:（）由题设知： 05|1| x在同一坐标系中作出函数 2y和 y的图象
