1、20152016 学年度第一学期中考试高三数学（理科）试卷命题人：李兴习 审题人：杨罡一、单项选择题：(每小题 5 分，共 60 分)1.已知集合 ， ，下列结论成立的是 |(3)60,PxxZ5,7QA B C D QPPPQ2.下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的是 ,A. B. C. D. 3yxcosyxxytanlnyx3.已知平面向量 ， ，若 ，则 等于)1,2(a)2,(bb/A ,B C 3,1D 3,14.在ABC 中， A ，AB2，且ABC 的面积为 ，则边 AC 的长为32A. 1 B. C. 2 D. 15. 等于 (2)0xedA1 B C D1ee1e6.已
2、知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是A. x0 R , f(x0)=0 B. 函数 y=f(x)的图像是中心对称图形C. 若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间（- , x 0）单调递减D. 若 x0 是 f（ x）的极值点，则 07.下面能得出ABC 为锐角三角形的条件是A B51cosin 0CAC D30,3Bb tanttan8.已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记 a=R1)2(|mxf,b= ,则 a,b,c 的大小关系为 )3(log5.0f ,)5(log2fcfA B. bac abC. D. cab9.已知可导函数 y=f(x
3、)在点 处切线为)(,0xfP（如图） ，设 F(x)=f(x)-g(x),则)(:xgylA 的极小值点)(,0FxF是B 的极大值点)(是C 的极值点)(,00x不 是D 的极值点,)(x是10.定义：若函数 f(x)的图像经过变换 T 后所得图像对应函数的值域与 f(x)的值域相同，则变换 T 是 f(x)的同值变换.下面给出的四个函数及其对应的变换 T，其中 T 不属于 f(x)的同值变换的是A ，T：将函数 f(x)的图像关于 y 轴对称 21fxB. ，T：将函数 f(x)的图像关于 x 轴对称 C. ，T：将函数 f(x)的图像关于点（ -1,1）对称 23fxD. ，T：将函数
4、 f(x)的图像关于点（-1,0）对称sinf11.已知过点（1，2）的二次函数 的图象如右cbxay2图，给出下列论断： ， , ，0abc01. 其中正确论断是aA B. C. D. 12.定义在 R 上的奇函数 )(xfy满足 0)3(f，且不等式 )()(xff在 ),0上恒成立，则函数 )(xg= 1lg的零点的个数为y=g(x)(x0,f(x0)y=f(x)A. 4 B. 3 C. 2 D. 1二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)13. 函数 2ln()yx的定义域为 14. 已知复数 （为虚数单位） ，计算： 1iz_z15. 如图在平行四边形 ABCD 中,AC，BD 相
5、交于点O，E 为线段 AO 的中点，若 BAE，则 +=_.),(RBD16.求值: =_.40cos17sin)tan3(540co三、解答题(共 6 小题，满分 70 分)17. (本小题满分 10 分) 等差数列 中，n7194,2,a()求 的通项公式；na()设 1, .nnnbbS求 数 列 的 前 项 和18. (本小题满分 10 分) 已知定义在 R 上的函数 f(x)2 x .12|x|() 若 f(x) ，求 x 的值；32() 若 2tf(2t)mf(t)0 对于 t1,2恒成立，求实数 m 的取值范围19. (本小题满分 12 分) 已知向量 ， ，函数)1,(sinx
6、)21,cos3(x2)2nmxfEO DCBA（）求 的最大值，并求取最大值时 的取值集合；)(xf x（）已知 、 、 分别为 内角 、 、 的对边，且 ， ， 成等比数abcABCabc列，角 为锐角，且 ，求 的值B()1ftan1t20. (本小题满分 12 分) 某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在 上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边 BC,CD 用一l根 5 米长的材料弯折而成，边 BA,AD 用一根 9 米长的材料弯折而成，要求A 和C 互补，且 AB=BC,()设 AB=x 米，cosA= ,求 的解析式，()fxf并指出 x 的取值范
7、围;() 求四边形 ABCD 面积的最大值. 21. (本小题满分 12 分) 数列 na的前 n 项和为 nS，213(*nSanN（）设 nb，证明：数列 nb是等比数列；()求数列 的前 项和 Tn,并证明 Tn .)32(n )1,222. (本小题满分 14 分) 已知函数 3()ln1().fxaxaR()当 时，求 的极值；0a(fx()若 在区间 (其中 e=2.71 828)上有且只有一个极值点，求实数 的取)fx),1e a值范围.图20图20152016 学年度第一学期期中考试高三数学（理科）试卷参考答案一、选择题：BDAAC, CDBAB,CB二、填空题：13.,2,;
8、 14. ; 15. ; 16. .i432三、解答题17解:（I）设等差数列 的公差为 ，则 .naddnan)1(因为 ，所以 ，解得 .91724a)8(21461 2,1所以 的通项公式为 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分nna（II）因为 )1(2)1(bn所以 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分32nS 218.解：(1)当 x0 时， f(x)0，无解；当 x0 时， f(x)2 x ，由 2x ，12x 12x 32得 222x32 x20，看成关于 2x的一元二次方程，解得 2
9、x2 或 2x ，2 x0，x1 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分12(2)当 t1,2时，2 t m 0，(22t122t) (2t 12t)即 m(22t1)(2 4t1)，2 2t10， m(2 2t1)， t1,2，(2 2t1)17，5，故 m 的取值范围是5， ) 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分19.解：（） ()nxf 21cosin31sin2 xx)6(312si32co1 故 ，此时 ，得 ，1)(maxf Zkx,262Zkx,3取最大值时 的取值集
10、合为 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分,3|（） ， ， ，()sin2)16fB20B56B， 3由 及正弦定理得 于是acb2 CAsinsin2ACAisncoicoitn1t .。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分2si()3sB20.解:在 ABD 中，BD 2=AB2+AD2-2ABADcosA,同理在 CBD 中，BD 2=CB2+CD2-2CBCDcosC,因为A 和C 互补，所以 AB2+AD2-2ABADcosA= CB2+CD2-2CBCDcosC= CB2+
11、CD2+2CBCDcosA即 x2+(9-x)2-2x(9-x)cosA=x2+(5-x)2+2x(5-x)cosA得 cosA= ,其中 x(2,5) 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分(2)四边形 ABCD 的面积 S= ACDBAsin)(21= = =xxcos)9()5(21 2(17(xx2)7(4x记 g(x)=(x2-4)(x-7)2, x(2,5)由 g/(x)=2x(x-7)2+(x2-4)2(x-7)=2(x-7)(2x2-7x-4)=0,解得 x=4(x=7 和 x= 舍去)21所以函数 g(x)在区间(2,4) 内单调递增，在
12、区间(4,5) 内单调递减； 所以 g(x)的最大值为 g(4)=129=108. 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分所以 S 的最大值为 .。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。11 分36108答:所求四边形 ABCD 面积的最大值为 m2. 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分21解:（I）因为 21naSn，所以 当 1时， 1，则 2a， 当 2n 时， 3(1)()1naSn ，所以 1，即 na，所以 1(2)nb ，而 12ba， 所以数列 n是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 12nb 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分（II）由 (1)得 .nb23)2(所以 ，nnT23511 1432 71 nn-得： 432 23)2(1n = 1nnnT21因为 Tn-Tn+1= 01123nnn所以数列T n是单调递增数列故 ，又 ，故 Tn1T021n综上 ，即 Tn . 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分12n)1,222.
