1、2015-2016 学年山西省忻州一中、临汾一中、长治二中、康杰中学高三（下）第四次联考数学试卷（理科） （A 卷）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知全集为 R，集合 A=x|（ ） x1，B=x|x 26x+80，则 A（ RB）= （ ）Ax|x0 Bx|2x4 Cx|0x2 或 x4 Dx|0x2 或 x42已知 a 为实数，若复数 z=（a 29）+（a+3）i 为纯虚数，则 的值为（ ）A1 2i B1 +2i C1+2i D12i3下列函数中既是奇函数，又是在（0，+）上为增函数的是（ ）A B C
2、y= x3 Dy=lg2 x4下列命题的说法错误的是（ ）A对于命题 p：xR，x 2+x+10，则p：x 0R，x 02+x0+10B “x=1”是“ x23x+2=0”的充分不必要条件C若命题 pq 为假命题，则 p，q 都是假命题D命题“若 x23x+2=0，则 x=1”的逆否命题为：“若 x1，则 x23x+20”5某研究机构对儿童记忆能力 x 和识图能力 y 进行统计分析，得到如下数据：记忆能力 x 4 6 8 10识图能力 y 3 5 6 8由表中数据，求得线性回归方程为 ，若某儿童的记忆能力为 12 时，则他的识图能力为（ ）A9.2 B9.5 C9.8 D106从 6 个盒子中
3、选出 3 个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有（ ）A16 种 B18 种 C22 种 D37 种7如果（3x ） n 的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中 的系数是（ ）A7 B7 C21 D218某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 6 的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 （ ）A96 B108 C180 D1989如图所示程序框图中，输出 S=（ ）A45 B55 C 66 D6610已知函数 f（x）= sinx+cosx（0）的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，把函数 f（ x）的图象沿 x 轴向左平移 个单位，得到
4、函数 g（x）的图象若在区间0，上随机取一个数 x，则事件“g（x） ”发生的概率为（ ）A B C D11已知抛物线 y2=8x 的焦点 F 到双曲线 C： =1（a 0，b0）渐近线的距离为，点 P 是抛物线 y2=8x 上的一动点，P 到双曲线 C 的上焦点 F1（0，c）的距离与到直线 x=2 的距离之和的最小值为 3，则该双曲线的方程为（ ）A B C D12已知函数 f（x）=（x 2+x） （x 2+ax+b） ，若对xR，均有 f（x）=f（2 x） ，则 f（x）的最小值为（ ）A B C 2 D0二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题纸
5、的相应位置上）13设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2xy 的最大值为 14已知点 O 是边长为 1 的等边三角形 ABC 的中心，则（ + ）（ + ）= 15已知函数 f（x）= x3+ax2+bx（a，bR）的图象如图所示，它与 x 轴在原点相切，且 x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为 ，则 a= 16在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，且满足 b=7asinB，则 sinA= ，若 B=60，则 sinC= 三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17已知数列a n的前
6、n 项和为 Sn，且 Sn=2n1（nN *）（1）求数列a n的通项公式；（2）若 bn= ，且数列b n的前 n 项和为 Tn，求证：T n118根据国家环境空气质量标准规定：居民区中的 PM2.5（PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过 35 微克/立方米，PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米某城市环保部门随机抽取了一居民区去年 40 天的 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监测数据，数据统计如表：组别 PM2.5（微克/立方米）频数（天）频率第一组 （0，15 4 0.1第二组 （15，30 12 0
7、.3第三组 （30，45 8 0.2第四组 （45，60 8 0.2第五组 （60，75 4 0.1第六组 （75，90 ） 4 0.1（1）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程） ；（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从 PM2.5 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（3）将频率视为概率，对于去年的某 2 天，记这 2 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为 X，求 X 的分布列及数学期望 E（X）和方差 D（X） 19在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，ABCD，ABC=90，AB=PB=
8、PC=BC=2CD，平面 PBC平面 ABCD（）求证：AB平面 PBC；（）求平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐二面角的大小20已知椭圆 C： + =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，离心率为 以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线 xy+ =0 相切（） 求椭圆 C 的方程；（） 如图，若斜率为 k（k0）的直线 l 与 x 轴、椭圆 C 顺次相交于点 A，M，N（A点在椭圆右顶点的右侧） ，且NF 2F1=MF 2A（）求证：直线 l 过定点（ 2，0） ；（）求斜率 k 的取值范围21设函数 f（x）=e xax2（1）求 f（x）的单调区间；（2）若 a=1，k
9、为整数，且当 x0 时， f（x）1 恒成立，其中 f（x）为 f（x）的导函数，求 k 的最大值选修 4-1：几何证明选讲22如图，ABC 的两条中线 AD 和 BE 相交于点 G，且 D，C ，E，G 四点共圆（）求证：BAD=ACG ；（）若 GC=1，求 AB选修 4-4：坐标系与参数方程 23在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 （）求 C 的普通方程和 l 的倾斜角；（）设点 P（0，2） ，l 和 C 交于 A，B 两点，求|PA |+|PB|选修 4-5：不等式选讲24已知
10、 f（x）=|x 1|+|xa|（a R） ，g（x）=x+ +4（x0）（1）若 a=3，求不等式 f（x ）4 的解集；（2）对x 1R，x 2（ ， 0）有 f（x 1）g（x 2）恒成立，求实数 a 的取值范围2015-2016 学年山西省忻州一中、临汾一中、长治二中、康杰中学高三（下）第四次联考数学试卷（理科） （A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知全集为 R，集合 A=x|（ ） x1，B=x|x 26x+80，则 A（ RB）= （ ）Ax|x0 Bx|2x4 Cx|0x2
11、或 x4 Dx|0x2 或 x4【考点】其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算【分析】利用指数函数的性质可求得集合 A，通过解一元二次不等式可求得集合 B，从而可求得 ACRB【解答】解： 1= ，x0，A=x |x0；又 x26x+80（x2） （x 4）0，2x4B=x|2x4， RB=x|x 2 或 x4，A RB=x|0x2 或 x4，故选 C2已知 a 为实数，若复数 z=（a 29）+（a+3）i 为纯虚数，则 的值为（ ）A1 2i B1 +2i C1+2i D12i【考点】复数的基本概念【分析】利用复数是纯虚数，求出 a，然后利用复数的除法的运算法则化简求解即可【解答】解：a
12、 为实数，若复数 z=（a 29）+（a+3）i 为纯虚数，可得 a=3，则 = = = =12i故选：D3下列函数中既是奇函数，又是在（0，+）上为增函数的是（ ）A B Cy= x3 Dy=lg2 x【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断可得答案【解答】解：y=x+ 是奇函数，在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，在（0，+）上不单调，故排除 A；y= 的定义域为0，+） ，不关于原点对称，故 y= 不具备奇偶性，故排除 B；y=x3 是奇函数，但在（0，+）上单调递减，故排除 C；y=lg2x 的定义域为 R，且 lg2x= =lg2x，函数为
13、奇函数，又 t=2x 递增， y=lgt 递增，y=lg2 x 在（0，+）上递增，故选 D4下列命题的说法错误的是（ ）A对于命题 p：xR，x 2+x+10，则p：x 0R，x 02+x0+10B “x=1”是“ x23x+2=0”的充分不必要条件C若命题 pq 为假命题，则 p，q 都是假命题D命题“若 x23x+2=0，则 x=1”的逆否命题为：“若 x1，则 x23x+20”【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用命题的否定判断 A 的正误；充要条件判断 B 的正误；复合命题的真假判断C 的正误；四种命题的逆否关系判断 D 的正误；【解答】解：对于 A，命题 p：x R，x 2+x+
14、10，则p ： x0R，x 02+x0+10，满足命题的否定关系，正确；对于 B， “x=1”是“ x23x+2=0”的充分不必要条件，满足“ x=1”“x23x+2=0”，反之，不成立，所以 B 正确；对于 C，若命题 pq 为假命题，则 p，q 至少一个是假命题，所以 C 不正确；对于 D，命题“若 x23x+2=0，则 x=1”的逆否命题为：“若 x1，则 x23x+20”，满足逆否命题的形式，正确故选：C5某研究机构对儿童记忆能力 x 和识图能力 y 进行统计分析，得到如下数据：记忆能力 x 4 6 8 10识图能力 y 3 5 6 8由表中数据，求得线性回归方程为 ，若某儿童的记忆能
15、力为 12 时，则他的识图能力为（ ）A9.2 B9.5 C9.8 D10【考点】回归分析的初步应用【分析】利用样本点的中心 在线性归回方程对应的直线上，即可得出结论【解答】解：由表中数据得 ， ，由 在直线 ，得 ，即线性回归方程为 所以当 x=12 时， ，即他的识图能力为 9.5故选：B6从 6 个盒子中选出 3 个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有（ ）A16 种 B18 种 C22 种 D37 种【考点】排列、组合的实际应用【分析】从 6 个盒子中选出 3 个来装东西，有 C63=20 种方法，甲乙未被选中的情况有C43=4 种方法，利用间接法可得结论【解答】解：从
16、6 个盒子中选出 3 个来装东西，有 C63=20 种方法，甲乙未被选中的情况有C43=4 种方法，甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有 204=16 种方法，故选 A7如果（3x ） n 的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中 的系数是（ ）A7 B7 C21 D21【考点】二项式系数的性质【分析】给二项式中的 x 赋值1，求出展开式的各项系数和，列出方程，求出 n；将 n 的值代入二项式，利用二项展开式的通项公式求出通项，令 x 的指数为3，求出 r 的值，将 r 的值代入通项，求出展开式中 的系数【解答】解：令 x=1 得展开式的各项系数之和 2n，2 n=128，解得 n=7
17、展开式的通项为，令 ，解得 r=6所以展开式中 的系数是 3C76=21故选 C8某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 6 的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 （ ）A96 B108 C180 D198【考点】由三视图求面积、体积【分析】用正方体的体积减去四棱锥的体积即可【解答】解：几何体为正方体减去一个正四棱锥，正方体的棱长为 6，正四棱锥的底面边长为 6，高为 3几何体的体积 V=63 =180故选 C9如图所示程序框图中，输出 S=（ ）A45 B55 C 66 D66【考点】循环结构【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求 S=1222+3242+（1）
18、 n+1n2，判断程序运行终止时的 n 值，计算可得答案【解答】解：由程序框图知，第一次运行 T=（ 1） 212=1，S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行 T=（1） 322=4，S=1 4=3，n=2+1=3 ；第三次运行 T=（1） 432=9，S=14+9=6，n=3+1=4；直到 n=9+1=10 时，满足条件 n9，运行终止，此时 T=（ 1） 1092，S=14+916+92102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）100= 9100=55故选：B10已知函数 f（x）= sinx+cosx（0）的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，把函数 f（ x）的图象沿 x 轴向左平移 个单位，得到函数 g（x）的图象若在区间0，上随机取一个数 x，则事件“g（x） ”发生的概率为（ ）A B C D【考点】几何概型；函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到 ，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到 g（x）的解析式，确定满足 g（x）1 的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论【解答】解：f（x）= sinx+cosx=2sin（ x+ ） ，由题意知 = ，则 T=， =2，
