1、2015-2016 学年度高三期末自主数学试题（文）第卷（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集 ， ， ，则 （ ）UR21xyAlnxyUAA B C D101x2.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 若 ，CCabc22tan3bc则角 的值为（ ）A B C 或 D 或3632653.不等式 的解集为（ ）102xA B C ,31,231,32D 1,24.已知点 为圆 上的动点，则 的最小值为（ ）,xy21y34xyA B C D5 05A B C 3,23,3,2D
2、3,26.函数 的图象大致是（ ）lgxyA B C D7.已知函数 ，则 （ ）2,01,xff2016fA B C D2016437403528.若 ， ， 均为单位向量， ， （ ， ） ，则 的最大abcabcxaybRxy值是（ ）A B C D3229.设点 是抛物线 （ ）的焦点， 是双曲线 （ ，F:2xpy01FC:21xyab0a）的右焦点，若线段 的中点 恰为抛物线 与双曲线 的渐近线在第一象限内的0b1F交点，则双曲线 的离心率 的值为（ ）CeA B C D32349832410.已知定义在实数集 上的函数 满足 ， 的导数 （ ） ，Rfx1ffxfxR则不等式 的
3、解集为（ ）21fxA B C D,2,1,第卷（共 100 分）二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上）11.在等差数列 中， ， ，则 na123510a7a12.某几何体的三视图如右图所示，其中俯视图中的曲线部分是半径为 的四分之一圆弧，2则该几何体的体积为 13.已知实数 ， 满足约束条件 ，设不等式组所表示的平面区域为 ，xy029xy D若直线 与区域 有公共点，则实数 的取值范围是 1aDa14.已知点 、 、 ，则向量 在 方向上的投影为 ,A0,3C,4AC15.已知函数 是定义在 上的偶函数，对于 ，都有yfxRRx成立当 ， 且 时，都42fx1x2
4、0,12有 给出下列四个命题：120f ；直线 是函数 的图象的一条对称轴； 函数 在f4xyfxyfx上为增函数；函数 在 上有四个零点4,6f8,6其中所有正确命题的序号为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分 12 分）已知函数 （ ， ）图象的一个对称中心为3sinfxx02，且图象上相邻两条对称轴间的距离为 ,012（1）求函数 的解析式；fx（2）若 （ ） ，求 的值34f2633cos217.（本小题满分 12 分）已知正项等比数列 的首项 ，前 项和为 ，na12nnS且 10103202SS（1）求数
5、列 的通项公式；n（2）求数列 的前 项和 n18.（本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 中，侧面 ， 均为正方形，1CA1A1C， ，点 是棱 的中点90D（1）求证： 平面 ；11（2）求证： 平面 ；/AC（3）求三棱锥 的体积1D19.（本小题满分 12 分）甲乙两地相距 千米，一辆货车从甲地匀速行驶到乙地，规定速度不得超过 千米/小50 10时已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度 （千米/小时）的平方成正比，比例系数为 ；固定部分为 元（ ） v 0.1a（1）把全程运输成本 （元）表示为速度 （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定yv义
6、域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？20.（本小题满分 13 分）已知 的两个顶点 ， 的坐标分别是 ， ，且 ， 所在直线CA0,3,CA的斜率之积等于 （ ） m0（1）求顶点 的轨迹 的方程，并判断轨迹 为何种曲线；（2）当 时，设点 ，过点 作直线与曲线 交于 ， 两点，且34,1F，求直线的方程F21 （本小题满分 14 分）设函数 ， ，其中 ， 且 3214fxmxln1gaxaRm0（1）若函数 图象恒过定点 ，且点 关于直线 的对称点在 的图yg32yfx象上，求实数 的值；（2）当 时，设 ，讨论 的单调性；8aF1xfgxFx（3）在（1）的条件下，设
7、 ，曲线 上是否存在两点 ，,2GfGy，使 （ 为原点）是以 为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在 轴上？Qy如果存在，求实数 的取值范围；如果不存在，说明理由a参考答案数学（文）一、选择题DCADA DDBDB二、填空题11. 12. 13. 14. 15.8234a2三、解答题16.解：（1）因 的图象上相邻两条对称轴的距离为 ，fx所以 的最小正周期 ，从而 2 分f2所以 6 分3sin26fxx（2）由（1）得 ， 73si264f1sin64分由 得， ，630所以 9 分2215cos1sin64因此 3iisincossin6612 分13513542817.解：（1）由
8、得， ，10103210SS1032010SS设等比数列 的公比为 ，naq可得 ，10122012202qaa因为 ，所以 ，解得 ，所以 6 分n01 1nq（2）因为 是首项 ，公比 的等比数列，a12q故 ，8 分12nnnS，nn则数列 的前 项和S，2112n nn，2312n n两式相减，得，21 1112224nn nnn 即 12 分122nn18.（1） 面 ， 均为正方形， ， ，A1C1CA1A， ， 平面 ， 平面 ，C， 平面 ，2 分1/CA1CA平面 ， ，D1D三棱柱 ， ， ，111CA是 中点， ， ， ， 平面1C1CA11C平面 5 分D1（2）连接
9、交 于点 ，连接 ，四边形 为正方形，D1CA点 为 中点， 为 中点，1CA1为 的中位线， ， 面 ，D/A1面 ， 平面 ，8 分111/1DC（3）由（1） 平面 ， 为三棱柱 的高9C1CA分， ， 是 中点，1A90A1C10 分11 2CDCC24SS，111DV331AA即三棱锥 的体积 12 分V219.解：（1）依题意知货车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ，全程运输成本为50v，定义域为 4 分25050.5ayavv,1（2）令 ，则 ，ux22 250100xaxau依题意知 ， 都是正数，当 时， ， 在 单调递减；av,1au,当 时， ， 在 单调递增8 分10,
10、x0u,若 ，得 ， 时，全程运输成本 最小；avy若 ，得 ，即 时，全程运输成本 最小a1综上，为了使全程运输成本 最小，当 时，行驶速度应为 千米/小时；y01a10va当 时，行驶速度应为 千米/小时. 12 分10a1v20.解：（1）令 点坐标为 ，C,x则直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，A13ykC23ykx所以有 ，212 mxx化简得， （ ） 2 分213my0所以当 时， 表示以 为圆心， 为半径的圆，且除去 ，,30,3两点；0,当 时，轨迹 表示焦点在 轴上的椭圆，且除去 ， 两点；1my,当 时，轨迹 表示焦点在 轴上的椭圆，且除去 ， 两点；x03当 时，轨迹 表
11、示焦点在 轴上的双曲线，且除去 ， 两0y,点6 分（2）由题意知当 时曲线 为 （ ） ，7 分34mC2143x0x当直线的斜率不存在时，不符合题意8 分设直线的方程为 ，代入椭圆方程整理得1ykx23480k设 ， ，由 得， 1,xy2F,3123x由韦达定理得 ， ，10 分124kx184k所以 ， ，消去 ，解得 ，2243kx2832x62所以直线的方程为 13 分61yx21.解：（1）显然 过定点 ，1 分ln1gxa2,0关于 的对称点为 ，2 分2,032,0由题知 ， ，解得 3 分f14m3m（2） ，定义域为 ，4 分2F8lnxx0, 28218xx，则 ，0x1当 时， ，所以 ，此时 在 上递增，m20xF0xFx0,当 时，由 得， ，此时 在 上为增，0F 4m4,m由 得， ，此时 在 为减，x4Fx,综上当 时， 在 上为增函数，0mx0,时， 在 上为增函数，在 为减函数8 分F4,4,m（3）由条件（1）知 9 分32,Gln1xa假设 上存在两点 、 满足题意，则 、 两点只能在 轴两侧，yxQQy设 （ ） ，则 ，,t0t32,t因为 是以 为直角顶点的直角三角形，Q所以 ，即 10 分232G0tt当 时，0t所以 ，23232tt化简得 410t此方程无解，满足条件的 、 两点不存在11 分Q
