2016年山东省北镇中学、莱芜一中、德州一中高三下学期4月联考数学（理）试题.doc

1、2016届山东省北镇中学、莱芜一中、德州一中高三下学期 4月联考数学（理）试题本试卷分第卷和第卷两部分,共 4 页. 满分 150 分.考试用时 120 分钟. 考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1. 答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 ;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上; 如需改动，先划掉原来的答

2、案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件 A，B 互斥，那么（A+B ）=P(A)+ P(B)；如果事件 A，B 独立，那么（AB）=P(A)P(B).第卷（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.定义集合 |ABxB且 ，若集合 ,2345,M1集合 21,NxkZ，则集合 MN的子集个数为( )A 2 B3 C4 D无数个 【答案】C【解析】 1,5,2,所以集合 N

3、的子集个数为 24个.【考点】新定义问题、集合的运算、子集.2.i为虚数单位，复数 2016i的共轭复数为( ) A 1 Bi C -1 D-i【答案】A【解析】 20164504i()1，所以复数 2016i的共轭复数 1.【考点】复数四则运算及共轭复数的概念.3某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分 100 分) 的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的中位数是 83，乙班学生成绩的平均数是 86，则 xy 的值为( ) A168 B169 C8 D9【答案】D【解析】由题意得，甲班学生成绩的中位数为 83，则 x83803，乙班学生成绩的平均数是 86

4、，则8679180176y y，故 xy 9. 【考点】茎叶图、中位数、平均数4. 命题 :,sin()cospR；命题 :“04qa是”关于 x 的不等式 210ax的解集是实数集 “的充分必要条件，则下面结论正确的是（ ）A. 是假命题 B. 是真命题C. “pq是假命题 D. “pq是假命题【答案】C【解析】对于命题 ， 2,sin()cos,4因此命题 p是真命题；对于命题 q， ”关于 x 的不等式 210ax的解集是实数集 “R的充分必要条件是 0a或204a，即 04a，所以 “04是”关于 x 的不等式 21ax的解集是实数集“R的充分不必要条件，因此命题 q是假命题； “pq

5、是假命题； “pq是真命题.【考点】充要条件，简易逻辑5. 已知变量 ,xy满足约束条件230,1,xy若目标函数 zaxy (其中 0a)仅在点(1，1)处取得最大值，则 a的取值范围为 ( )A 0,2) B (0,2 C 1(0,)3 D 1(,)32【答案】B【解析】由约束条件表示的可行域如图所示，作直线 l：axy0，过点(1，1) 作 l 的平行线 l，则直线 l介于直线 x2y30 与直线 y1 之间，因此， a0，即 0a .12 12【考点】线性规划.6 设 ,ab 为正数， 231,()4()abab ，则 ab ( )A 2 B 2 C 42 D 2【答案】B【解析】由

6、1,ab得 ab.又 223 32()()4()42()8(),abab即 ，所以 ab.由不等式 2ab成立的条件，得 1，所以 2.【考点】基本不等式.7. 如图是函数 ()sin()0,)fxAxxR在区间 5,6上的图象，为了得到sin()yxR的图象，只要将函数 f的图象上所有的点( )A向左平移 3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变B向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变C向左平移 6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变D向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变【答

7、案】D【解析】由图象可知 A1，T ， 2.56 ( 6) 2T图象过点 ，且 在函数的单调递减区间上，(3，0) (3，0)sin 0， k22(23 ) 2k，kZ. )(xfsin sin .3 (2x 3 2k) (2x 3)故将函数 )(xf= sin 向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标(2x 3) 6不变，可得 y sin x 的图象法二：也可通过平移法求出 的值. 【考点】三角函数的图象性质及图象变换.8. 某公司新招聘进 8 名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门，

8、则不同的分配方案种数是（ ）A.18 B.24 C. 36 D. 72【答案】C【解析】由于均分 8 人，所以甲、乙两个部门各 4 人。完成这件事情分两类：第一类，甲部门有两名电脑编程人员，有 123C种不同的分配方案；第二类，甲部门有一名电脑编程人员，有 1238C种不同的分配方案。故共有 36 种不同的分配方案.选 C【考点】排列组合.9. 如图，菱形 ABCD的边长为 2， 60A,M为 D的中点，若 N为菱形内任意一点（含边界） ，则MN的最大值为( )A 3 B 23 C 6 D9【答案】D【解析】由平面向量的数量积的几何意义知， AMN等于与 A在 M方向上的投影之积,所以 max

9、1()()()2AMNACBD 2139.BD【考点】平面向量的数量积.10已知 0,a且 1，函数 253()ln(14)(1),xaf xx设函数 ()fx的最大值为,最小值为 N,则 ( )A 8M B 0MN C 8MN D 10MN 【答案】A【解析】 2 25341()ln(1)ln(4)x xxaaf x x214l(4)()xxxa设 2()ln(1)(1),xgxx则 (gx为奇函数，所以 maxin()()0.g所以 8MN.【考点】函数的奇偶性第卷（共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11执行如图所示的程序框图，则输出的 S的值为

10、 .【答案】 250【解析】 50(19)13250.S【考点】程序框图，等差数列求和.12. 已知在正方体 1ABCD 中，点 E 是棱 1AB 的中点，则直线 AE 与平面 1 所成角的正弦值为 .【答案】 0【解析】以 1A为坐标原点，分别以 11,ABD所在直线为 ,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为 2，则 (0,)(2)(1,0)CE,(2,0)(,2)CE.1ABDAC平面 1BD，则 (,)A是平面 1BD的一个法向量.设直线 与平面 1 所成角为 ，则0sinco,E.法二：几何法.【考点】直线与平面所成的角.13若 2ab，则关于 x的不等式 2axb

11、的解集为_【答案】 【解析】根据绝对值的意义， 表示数轴上 的对应点到 a和 b的对应点的距离之和，故最小值为 ab，所以对 xR满足 2,axb故关于 x的不等式 2axb的解集为 .【考点】绝对值不等式14椭圆2:1(0)xyCab的右焦点为 F，双曲线213yx的一条渐近线与椭圆 C交于,AB两点，且 FB，则椭圆 C的离心率为 _.【答案】 31【解析】不妨设双曲线213yx的一条渐近线的渐近线为 3yx，记椭圆 C的左焦点为 1F，依题意得 ,OABFc四边形 1ABF为矩形， AO是正三角形， AFc， 13c，椭圆C的离心率为 123ce.【考点】椭圆，双曲线的定义及简单几何性质

12、.15对于函数 ()fx给出定义：设 ()f是函数 y的导数， ()fx是函数 ()fx的导数，若方程 ()0fx有实数解 0x，则称点0,x为函数 ()fx的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数 32()()fxabcxda都有“拐点” ；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数 3215()1fx，请你根据上面探究结果，计算 1206()()()0701727fff = .【答案】 26【解析】 325()fxx, 2()3fx, ()210fx,得 2x.12f,所以 的“拐点”即对称中心为 1,，所以 )f.设 306()()()()07210727Sf

13、ff ，则 2016520141()()()()77207Sffff ，两式相加得 ,6S.【考点】导数, 函数的对称性，倒序相加求和.三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.16. （本小题满分 12 分）在 ABC中，角 ,所对的边分别为 ,abc， os2cos20C.（）求角 的大小；（）若 2ba， 的面积为 sin2AB，求 sin及 的值.【解析】 （） cosco0C2cs10,-2 分即 2(o),2cos,-4 分又 0C， 3.4-5 分（） 222cos5,cabCac-6 分由正弦定理，得 sini,A10insi.C-8 分1i,2ABCSab且 2si,AB

14、CSB-9 分sinsin， in2,siabC由正弦定理得：2()i,cC解得 1.c-12 分【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式.17.（本小题满分 12 分）2016 年上半年，股票投资人袁先生同时投资了甲、乙两只股票，其中甲股票赚钱的概率为 13，赔钱的概率是 23；乙股票赚钱的概率为 14，赔钱的概率为 34.对于甲股票，若赚钱则会赚取 5 万元，若赔钱则损失 4万元；对于乙股票，若赚钱则会赚取 6 万元，若赔钱则损失 5 万元.（）求袁先生 2016 年上半年同时投资甲、乙两只股票赚钱的概率；（）试求袁先生 2016 年上半年同时投资甲、乙两只股票的总收益的分布列和数学期

15、望.【解析】 （）袁先生 2016 年上半年同时投资甲、乙两只股票赚钱的概率为1231344p-4 分（）用 万元表示袁先生 2016 年上半年同时投资甲、乙两只股票的总收益，则 的所有可能取值为9,021.-5 分31()42p-6 分-7 分(2)36-8 分142p-9 分所以， 的分布列为 9021p1214162-10 分的数学期望为1113902464E-12 分【考点】相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量的分布列及期望.18. （本小题满分 12 分）如图，四边形 ABCD 中，ABAD，ADBC，AD3，BC2AB2，E，F 分别在 BC，AD 上，EFAB 现将四边形

16、ABEF 沿 EF 折起，使平面 ABEF平面 EFDC（）若 12BE，在折叠后的线段 AD上是否存在一点 P，且 ADur，使得 CP平面 ABEF?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由；（）求三棱锥 ACDF 的体积的最大值，并求此时二面角 EACF 的余弦值【解析】 （）因为平面 F平面 EC，平面 B平面 C, EF所以 FD平面 BE，又 平面 A,所以 -1 分在折起过程中， ,同时 D ，所以 AF平面 EDC-2 分方法一：以 为坐标原点，分别以 ,FEDA所在直线为 ,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 若 12B时，则各点坐标如下： 0,， 1,02, 5,0,

17、31,2C.可得平面 AEF的法向量 5(,)2uv-3 分因为 PDur，所以 115(0,)(0,)2PFADuv(0,)所以 5(0,)2,-4 分故 231(,)CPuv.则 50()FD,解得 32.所以线段 A上存在一点 1(,)5P，且 APDur，使得 CP平面 ABEF. -5 分方法二：线段 上存在一点 ，使得 C平面 ABEF，则此时 32.理由如下：当 32时， Dur，可知 35A. 过点 P作 M F交 于点 ,则有 35MPFD-3 分又 1BE，可得 52,故 . 又 32C, D EC,所以四边形 E为平行四边形.所以 P ,-4 分又 平面 ABEF， 平面

18、 ABEF所以 平面 ABEF-5 分（）设 Bx，所以 (02)AFx， 3FDx,所以 113)26ACDFV，-6 分所以当 32x时， ACDFV有最大值，且最大值为 38.-7 分可得 0, ,0, 1,2， ,0E.所以 3(1,)2Euv, 3(,)uv, 3(,)2Auv, 1(,0)FCuv.设平面 AC的一个法向量为 1mxyz,则 0mE,即 1302xz.-8 分取 13x，则 (,),-9 分设平面 ACF的一个法向量为 2(,)nxyz,则 0n，即20,1zxy-10 分同理可得 (,20)n-11 分所以 365cos,1m所以二面角 EACF 的余弦值为 65.-12 分【考点】线面平行与垂直的判定与性质，几何体的体积，二面角.19(本小题满分 12 分)已知数列 na的前 和为 nS，且 2n；数列 nb是公比大于 1 的等比数列，且满足 149b，238b.（）分别求数列 n， b的通项公式；（）若 1ncSa，求数列 nc的前 项和 nT.【解析】 （） 时， 13-1 分2时， 22()(1)21nna，又因为 3，所以 .-2 分设等比数列 nb的公比为 q，-3 分