1、一、格林(Green)公式,2.Green公式,二、曲线积分与路径无关的条件,三、全微分方程,一、格林(Green)公式,定理 设D是xoy平面的闭区域,其边界 由有限条光滑或分段光滑曲线组成.并且函数P(x, y), Q(x, y)在D上具有连续的一阶偏导数,则在D上成立Green公式:,一、格林(Green)公式,1. 若D是单连通区域,并且D既是x型域又是 y型域时. 因D是x型域,故可设其表示为:,其下侧边界 和 上侧边界 分别为,分三个步骤完成对定理的证明证明:,一、格林(Green)公式,故,由Newton-Leibniz公式,一、格林(Green)公式,故,因为D也是y型域,故同
2、理可以证明,两式相加得,故对于单连通区域Green成立.,一、格林(Green)公式,例3. 计算曲线积分,其中,一、格林(Green)公式,由Green公式可知,故可以利用此公式计算封闭曲线所围成的面积,例4.试利用上式计算椭圆 所围成的面积A,例5 计算曲线积分,一、格林(Green)公式,(1) L是圆周,(2)L是一条不通过(0,0)的简单封闭曲线取正向,解,设 是D内以A为始点B为终点的任意两条光滑曲线或分段光滑曲线，若,二、曲线积分与路径无关的条件,则说曲线积分,在D内与路径无关，这时 改写上式为,设,二、曲线积分与路径无关的条件,与路径无关，则说 是一个保守场,定理2,是平面场，
3、若在场中积分,在单连通开区域D上 , P(x,y) , Q(x,y) 具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.,(2) 沿D内任一分段光滑的简单封闭曲线L,二、曲线积分与路径无关的条件,(3) 曲线积分,在D内与积分路径无关,(4) 存在函数u(x,y)使得,即表达式P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个函数的全 微分，这时,其中 是内任一固定点, C为固定常数.,二、曲线积分与路径无关的条件,推论 若在区域D内,A、B D,则,二、曲线积分与路径无关的条件,二、曲线积分与路径无关的条件,例9 试证明(2x+siny)dx+xcosydy是某个函数u(x,y)的全微分，并求出u(x,y),
4、解,由定理2知(2x+siny)dx+xcosydy 是某个函数u(x,y)的全微分，运用公式，取 则,二、曲线积分与路径无关的条件,故,解,二、曲线积分与路径无关的条件,因曲线积分在第一象限与路径无关，则,故此,解这个一阶线性微分方程,即,三、全微分方程,若存在连续的可微函数u(x,y) 使得,则称微分方程,为全微分方程或者恰当微分方程,它的通解就是u(x,y)=c,三、全微分方程,例11.求微分方程,的通解,解,故这个微分方程是一个全微分方程,利用公式得,三、全微分方程,故原微分方程的通解为,二、曲线积分与路径无关的条件,证明 我们将依次证明：,假设L所围区域为G,因D是单连通区域，故 ， 由Green公式得,设 和 是D内任意两条从A到B的分段光滑定向曲线，则 是D内一条定向封闭曲线,二、曲线积分与路径无关的条件,在(2)的条件下,即,故,即积分与路径无关，条件(3)成立,二、曲线积分与路径无关的条件,取始点为D内固定点,故,即积分与路径无关，条件(3)成立,终点为D内,动点(x,y)令,
