1、2015-2016 学年安徽省马鞍山二中、安师大附中、淮北一中联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2015 秋 淮北校级期中）已知复数 （xR）在复平面内对应的点位于以原点 O为圆心，以 为半径的圆周上，则 x 的值为（ ）A2 B1+3i C2 D2 （5 分） （2015 甘肃二模）设 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z= 的取值范围为（ ）A3， 3 B 2，2 C 1，1 D ， 3 （5 分） （2015 秋 淮北校级期中）在等差数列a n中，a 1+a2+a3=3
2、，a 28+a29+a30=165，则此数列前 30 项和等于（ ）A810 B840 C870 D9004 （5 分） （2012 东港区校级模拟）已知 M= ，N= ，由如右程序框图输出的 S 为（ ）A1 Bln2 C D05 （5 分） （2015 宿州三模）若函数 ，且 f（ ）= 2，f （）=0，| |的最小值是 ，则 f（x）的单调递增区间是（ ）A BC D6 （5 分） （2015 春 兴庆区校级期末）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+6）=f（x） 当3 x 1 时， f（x）= （x+2） 2，当 1x3 时，f （x）=x则 f（1）+f （2）+f（201
3、5）=（ ）A333 B336 C1678 D20157 （5 分） （2015 秋 淮北校级期中）已知 0x ，则 0 是 x0 成立的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件8 （5 分） （2015 秋 淮北校级期中） ，若 AB=（cos 1，sin 1） ， （cos 2，sin 2），则m 的取值范围为（ ）A2， 2 B （ 2，2） C D9 （5 分） （2015 秋 淮北校级期中）若 a0， ， ，则 x，y，z 的大小顺序为（ ）Axzy Bxyz Cz xy Dzyx10 （5 分） （2015 秋 淮北校级期中）下列命题中正确的个数是
4、（ ）过异面直线 a，b 外一点 P 有且只有一个平面与 a，b 都平行；异面直线 a， b 在平面 内的射影相互垂直，则 ab；底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；直线 a，b 分别在平面 ， 内，且 ab，则 A0 B1 C2 D311 （5 分） （2015 秋 淮北校级期中）三角形 ABC 中，A、B、C 所对的边分别为 a，b，c；若A= ，则 =（ ）Aa+b Ba +c Cb+c Da+b+c12 （5 分） （2015 秋 淮北校级期中）已知 f（x）=1+x + + ；g（x）=1 x+ + ；设函数 F（x）=f（x+3）g（x4），且函数 F（x）的零
5、点均在区间a，b（ab，a ，bZ ）内，则 ba 的最小值为（ ）A8 B9 C10 D11二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分） （2012 秋 湖北期末）已知| |=1，| |=2， 与 的夹角为 60，则 + 在 方向上的投影为_14 （5 分） （2015 秋 淮北校级期中）已知 ab0，且 a+b=2，则 的最小值为_15 （5 分） （2015 秋 淮北校级期中）已知 ， 为锐角，cos = ，则cos=_16 （5 分） （2014 浙江三模）已知函数 f（x）=e axx1，其中 a0若对一切 xR，f（x）0恒成立，则 a 的取值集合_三、解答题：解
6、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分） （2015 秋 淮北校级期中）已知各项均为正数的数列a n的前 n 项和为 S，满足=2Sn+n+4，且 a21，a 3，a 7 恰为等比数列b n的前 3 项（1）求数列a n，b n的通项公式；（2）令 cn= ，求数列 cn的前 n 项和 Tn18 （12 分） （2012 湖北）已知向量 =（cosxsin x，sinx） ， =（ cosxsinx，2 cosx） ，设函数 f（x）= +（xR ）的图象关于直线 x= 对称，其中 ， 为常数，且 （ ，1）（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）若 y=f（x）的图象经过点（
7、 ，0）求函数 f（x）在区间 0， 上的取值范围19 （12 分） （2015 湖北模拟）在ABC 中，角 A，B，C 对应边分别是a，b，c，c=2，sin 2A+sin2Bsin2C=sinAsinB（1）若 sinC+sin（BA）=2sin2A，求ABC 面积；（2）求 AB 边上的中线长的取值范围20 （12 分） （2015 秋 淮北校级期中）已知 a 为常数，函数 ，（1）当 a=0 时，求函数 f（x ）的最小值；（2）若 f（x）有两个极值点 x1，x 2（x 1x 2）求实数 a 的取值范围；求证： 且 x1x21（其中 e 为自然对数的底）21 （12 分） （2015
8、 秋 淮北校级期中）已知函数 f（x）=e x（2x1） ，g（x）=axa（aR ） （1）若 y=g（x）为曲线 y=f（x）的一条切线，求 a 的值；（2）已知 a1，若存在唯一的整数 x0，使得 f（x 0）g （x 0） ，求 a 的取值范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答【选修 4-4：坐标系与参数方程】22 （10 分） （2015 秋 淮北校级期中）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程（t 为参数） ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为：=4cos （1）把直线 l 的参数方程化为极坐标方程，把曲线 C 的极坐标方
9、程化为普通方程；（2）求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标（0，02） 【选修 4-5：不等式选讲】23 （2016福建校级模拟）设函数 f（x）=|2xa|+|2x+1|（a0） ，g（x）=x+2（1）当 a=1 时，求不等式 f（ x）g（x）的解集；（2）若 f（x）g（x）恒成立，求实数 a 的取值范围2015-2016 学年安徽省马鞍山二中、安师大附中、淮北一中联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2015 秋 淮北校级期中）已知复数 （xR）在复平面
10、内对应的点位于以原点 O为圆心，以 为半径的圆周上，则 x 的值为（ ）A2 B1+3i C2 D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由复数所对应点到原点的距离为 列式求得x 的值【解答】解： = ，复数 在复平面内对应的点位于以原点 O 为圆心，以 为半径的圆周上， ，解得：x=2故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题2 （5 分） （2015 甘肃二模）设 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z= 的取值范围为（ ）A3， 3 B 2，2 C 1，1 D ， 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行
11、求解即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，目标函数 z= 几何意义为区域内的点与 D（2，0）的斜率，过（1， 2）与（ 2，0）时斜率最小，过（1， 2）与（ 2，0）时斜率最大，Z 最小值 = = ，Z 最大值 = = ，故选：D【点评】本题主要考查线性规划和直线斜率的基本应用，利用目标函数的几何意义和数形结合是解决问题的基本方法3 （5 分） （2015 秋 淮北校级期中）在等差数列a n中，a 1+a2+a3=3，a 28+a29+a30=165，则此数列前 30 项和等于（ ）A810 B840 C870 D900【分析】在等差数列a n中，由 a1+a2+a3=3，a
12、28+a29+a30=165，知 a1+a30=56，再由S30=15（a 1+a30） ，能求出此数列前 30 项和【解答】解：在等差数列a n中，a 1+a2+a3=3，a 28+a29+a30=165，3（a 1+a30）=168 ，a 1+a30=56，此数列前 30 项和为 S30=15（a 1+a30）=1556=840故选：B【点评】本题考查等差数列的前 n 项公式和通项公式，考查等差数列的性质，是中档题4 （5 分） （2012 东港区校级模拟）已知 M= ，N= ，由如右程序框图输出的 S 为（ ）A1 Bln2 C D0【分析】根据积分的定义，分别解出 M 和 N，再判断
13、M 与 N 的大小，代入程序图进行求解；【解答】解：M= = = =ln2，N= = =1，ln2 1MN，由程序图可知求两个数的最小值，输出的是最小的一个数，S=ln2，故选 B；【点评】此题主要考查微积分定理的应用，只要求出微积分的值就很容易求解了，本题计算量有些大，同学们计算要认真；5 （5 分） （2015 宿州三模）若函数 ，且 f（ ）= 2，f （）=0，| |的最小值是 ，则 f（x）的单调递增区间是（ ）A BC D【分析】由条件求得 的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得 f（x）的单调递增区间【解答】解：由题意可得 = = ，=1，f（ x）=2sin（x+
14、 ） 令 2k x+ 2k+ ，k z，求得 2k x2k + ，故函数的增区间为 2k ，2k+ ，k z，故选：D【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的单调性，属于基础题6 （5 分） （2015 春 兴庆区校级期末）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+6）=f（x） 当3 x 1 时， f（x）= （x+2） 2，当 1x3 时，f （x）=x则 f（1）+f （2）+f（2015）=（ ）A333 B336 C1678 D2015【分析】由已知得到函数的周期为 6，找到与 2015 函数值相等的（3，3）的自变量，按照周期求值【解答】解：由已知函数周期为 6，并且
15、2015=6335+5，并且 f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（ 3+6）=f（ 3）=（ 3+2） 2=1，f（4）=f（ 2+6）=f（ 2）=0，f（5）=f（ 1+6）=f（ 1）=1，f（6）=f（0）=0，所以 f（1）+f （2）+f （6）=1，所以 f（1）+f （2）+f （2015）=1335+f （1）+f（2） +f（3）+f（4）+f（5）=335+1=336；故选 B【点评】本题考查了函数的周期性的运用；关键是由已知明确所求是几个周期的函数值另外加上前几个自变量的函数值7 （5 分） （2015 秋 淮北校级期中）已知 0x ，则 0 是 x0 成立的（
16、）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据三角函数的性质，将不等式进行等价转化，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：当 0x ，0sinx1，则不等式 0 等价为 ，即 sinx 1，即 xsin2x1，不等式 x0 等价为 x，即 xsinx1，0sinx1，若 xsinx1 ，则 xsin2x xsinx1，即 xsin2x1 成立若 xsin2x1，不能推出 xsinx1 成立，故充分性不成立则 0 是 x 0 成立的必要不充分条件故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，将不等式转化为 xsin2x1 与 xsinx1 的
17、关系是解决本题的关键8 （5 分） （2015 秋 淮北校级期中） ，若 AB=（cos 1，sin 1） ， （cos 2，sin 2），则m 的取值范围为（ ）A2， 2 B （ 2，2） C D【分析】由题意得到直线 y= x+m 与圆 x2+y2=1（x1）交于两点，根据圆心到直线的距离小于半径且 +m0 ，即可得到答案【解答】解：根据题意，直线 y= x+m 与圆 x2+y2=1（x1）交于两点， 1 且 +m0，2 m 2 且 m ，故选：D【点评】本题考查了直线和圆的位置关系和点到这直线的距离公式，以及交集的运算，属于基础题9 （5 分） （2015 秋 淮北校级期中）若 a0，
18、 ， ，则 x，y，z 的大小顺序为（ ）Axzy Bxyz Cz xy Dzyx【分析】令 a=2，将 x，y，z 分别化简，比较大小，利用排除法选出答案【解答】解：令 a=2，则 x=sin1+cos1，y=1，z=2sin 21cos21= ，yz，排除 A，C ，D故选：B【点评】本题考查了三角函数恒等变换，利用特殊值验证可快速解决问题10 （5 分） （2015 秋 淮北校级期中）下列命题中正确的个数是（ ）过异面直线 a，b 外一点 P 有且只有一个平面与 a，b 都平行；异面直线 a， b 在平面 内的射影相互垂直，则 ab；底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
19、；直线 a，b 分别在平面 ， 内，且 ab，则 A0 B1 C2 D3【分析】列举反例，即可得出结论【解答】解：P 是异面直线 a、b 外一点，则过 P 有一个平面与 a、b 都平行；此命题不正确，当过点 P 与两条异面直线中的一条的平面与另一条直线平行时，此时找不到一个过 P 的平面与两条异面直线都平行，不正确；本命题用图形说明，如图：三棱锥 PABC 中，侧棱 PB 垂直于底面，PA，PC 两线在底面上的投影垂直，而两线不垂直，不正确；四边相等的四边形也可以是空间四边形，不正确；直线 a，b 分别在平面 ， 内，且 ab，则 、 不一定垂直，不正确故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，
20、考查了空间中线线位置关系，线面位置关系，两异面直线的关系等，正确解答本题，关键是要有着较好的空间立体感知能力，能对命题所涉及的问题找到恰当的模型做载体进行判断本题是训练空间感知能力的一道好题11 （5 分） （2015 秋 淮北校级期中）三角形 ABC 中，A、B、C 所对的边分别为 a，b，c；若A= ，则 =（ ）Aa+b Ba +c Cb+c Da+b+c【分析】由正弦定理可得：a=2RsinA 代入已知式子，由三角函数恒等变换的应用化简即可得解【解答】解：由正弦定理可得：a=2RsinA，a（cosC+ sinC）=2RsinAcosC+2 RsinAsinC=2RsinAcosC+3RsinC=2R（sinAcosC+ sinC+sinC）=2R（sinAcosC+cosAsinC+sinC）=2Rsin（A+C）+sinC =2R（sinB+sinC ）=b+c故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理的应用，属于基本知识的考查12 （5 分） （2015 秋 淮北校级期中）已知 f（x）=1+x + + ；g（x）=1 x+ + ；设函数 F（x）=f（x+3）g（x4），且函数 F（x）的零点均在区间a，b（ab，a ，bZ ）内，则 ba 的最小值为（ ）
