1、2016届安徽省“皖南八校”高三第三次联考数学（理）试题【word】 数学（理科）第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ，集合 ，则 （ ）53AxBNAA B C D1,20,121,230,1232.复数 在复平面上对应的点位于（ ）()iA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.“ ”是“ ”的（ ）xyxyA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4.已知向量 ， ，若 间的夹角为 ，则 （ ）3a6b,ab34abA B C D5
2、7178855.实数 满足条件 ，则目标函数 的最大值为（ ）,xy3250xy2zxyA5 B4 C-1 D 166.某同学在研究性学生中，收集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：若 线性相关，线性回归方程为 ，估计该制药厂 6 月份生产甲胶囊产量为（ ）,xy0.7yxaA8.1 万盒 B8.2 万盒 C8.9 万盒 D8.6 万盒7.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ ）nanS10571aA B-1 C D121248.一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）A B C D647321729.已知抛物线 的焦点为 ，其
3、上有两点 ， ，满足 ，则24xyF1(,)Axy2(,)B2AFB（ ）212yA4 B6 C8 D1010.观察这列数：1，2，3，3，2，1，2，3，4，4，3，2，3，4，5，5，4，3，4，5，6，6，5，4，则第 2016 个数是（ ）A335 B336 C337 D33811.已知三棱锥 的四个顶点 都在球 的表面上， 平面 ， ，且,ABCOACBDA， ， ，则球 的体积为（ ）25D23A B C D8677610312.已知 分别是方程 ， 的两根，则 的值为（ ）,ab23x3log(1)6xabA5 B7 C9 D11第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（本大题共
4、 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13.已知 展开式中，不含 项，且 ，则 _.5(21)xa4x0a14.运行如图所示的程序框图，输出的结果为_.15.已知正项等比数列 满足 ，且 ，若数列 满足 ，na22loglnna38nb1，则 _.1nnb12b16.已知函数 在定义域内不存在极值点，则实数 的取值范围为_.()lfxmx m三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17.（本小题满分 12 分）已知向量 ， ， ，函数 .3(,sin)2x(1,sin3cos)xxR()fxn（1）求 的
5、最小正周期及值域；)f（2）已知 中，角 的对边分别为 ，若 ，求 的周长.ABC, ,abc()0,3,2fAabcABC18.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 中，四边形 、 都是正方形， ，11AB1C11D.(01)（1）求证： ；1ADB（2）求二面角 的余弦值.C19.（本小题满分 12 分）水是最常见的物质之一，是包括人类在内所有生命生存的重要资源，也是生物体最重要的组成部分，为了推动对水资源进行综合性统筹规划和管理，加强水资源保护，解决日益严峻的淡水缺乏问题，开展广泛的宣传以提高公众对开发和保护水资源的认识，中国水利部确定每年的 3 月 22 日至 28 日为“中国水周”
6、，以提倡市民节约用水，某市统计局调查了该市众多家庭的用水量情况，绘制了月用水量的频率分布直方图，如图所示，将月用水量落入各组的频率视为概率，并假设每天的用水量相互独立.（1）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计该地家庭的平均用水量；（2）求在未来连续 3 个月里，有连续 2 个月的月用水量都不低于 12 吨且另 1 个月的月用水量低于 4 吨的概率；（3）用 表示在未来 3 个月里用水量不低于 12 吨的月数，求随机变量 的分布列及数学期望 .X X()EX20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 和圆 分别与射线 交于 两点，且2:1(0)xyCab22:Dxybyx(
7、0),AB.05OAB（1）求椭圆 的方程；（2）若不经过原点 且斜率为 的直线 与椭圆交于 两点，且 ，证明：线段 中点kl,MN1OMNSN的坐标满足 .0(,)Pxy204xy21.（本小题满分 12 分）已知定义域为 的函数 ，其中 .R2()1)xfae0,2a（1）讨论 的单调性；()fx（2）证明：当 时， .0,1()fx请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图， 的边 与 交于 四点，且 ， .ABC,OA,DECABEDCBE（1）求证： 平分 ；D（2）若
8、 ，求 的长.3EB23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 上两点Ox l的极坐标分别为 ， .,MN(3,),)2（1）设 为线段 上的动点，求线段 取得最小值时，点 的直角坐标；PPP（2）求以 为直径的圆 的参数方程，并求在（1）的条件下直线 与圆 相交所得的弦长.COC24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .()3fxx（1）解不等式 ；1（2）若存在 ，使 ，求实数 的取值范围.xR()24fxaa安徽省“皖南八校”2016 届高三第三次联考数学（理科）
9、参考答案一、选择题1-5.BCBCA 6-10.ABCDB 11-12.AB二、填空题13. 8 14. 7 15. 96 16. 1(,2三、解答题17.解：（1）由题， ，2 231()sin3sicos3incoss(2)13fxxxxx又 ，得 ，(0,)A3在 中，由余弦定理，得 ，BC222cos()33abbc又 ，所以 ，3,2abc()9,c所以 的周长为 .A318.（1）证明：因为 为正方形，故 ，1BA1BA因为 ， ， 平面 ， 平面 ，CC1C1AC故 平面 ，AB1因为 平面 ，故 ；DADB因为 ，故 ；1/1（2）解：以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，不
10、妨设 ，可得 ， ， ， ，向量 ，AB(2,0)1(,20)B1(,)A(0,2)C1(2,0)BA，(,0)C设 为平面 的法向量，则 ，即 ，,nxyz1C10nBA20xyz不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量，(,)n1因为 为平面 的一个法向量，(1,0)m1A故二面角 的余弦值为 .1BC319.解：（1）同一组数据以该组区间的中点值作为代表，据此，估计该地家庭的平均用水量为（吨）20.375460.25410.75410.54180.2549.（2）设 表示事件“月用水量不低于 12 吨” ， 表示事件“月用水量低于 4 吨” ， 表示事件“在未1A2AB来连续 3 个月里，有
11、连续 2 个月的月用水量都不低于 12 吨且另 1 个月的月用水量低于 4 吨”.因此， ， ，1()0.5)40.3P2()0.3754.P因为每天的用水量相互独立，所以 .().3.27B（3） 可能取的值为 0，1，2，3，相应的概率分别为X， ，03()(.).4PC123()0.(.)0.41PXC， ，28937故 的分布列为X方法一：故 的数学期望为 .X()0.3410.2.18930.279EX方法二：因为 ，(3,B所以 的数学期望为 .).920.解：（1）由 知圆 半径为 1， ，1OD2,1b由 知 ，设 ，则 ，205A285(,)Axy245y ， ，椭圆 的方程
12、为 .241a24aC21（2）设 ，设直线 的方程为 ，12(,)(,)MxyNlykxm由 ，得 ；24kmy22(4)840kxm所以 ， ；12284xk214k而 ；2222121mMNx原点 到直线 的距离为 ；O2dk所以 ；214112MNmS所以 ，即 ，即 ；224mkk22()0km214km则 ， ，1202x 102y由，消去 得 .0y21.解：（1） ， 2()1)(2)(1)(xx xfxaeaeae当 时， ，于是 在 上单调递减；a 0fR当 时， ，当 时， ，02()()xfxe(,)()0fx当 时， ，当 时， ，(1,)x1,a0f所以 在 上单调
13、递减，在 上单调递增，在 上单调递减.f,()(1,)a（2）当 时，由（1）知 在 单调递减，0a)fx0,又 ， 时， ，即 时， 成立，()f(,x21(xfe(0,1xa1()fx当 时，由（1）知 在 上递减，在 上递增，0,2a)f0,当 时，由 ，即得 在 上成立，(,x21(xfe1()fx(0,所以当 时，有 ，1,a12)()afe下面证明 ，即 ，12()afe12ae令 ， ，则 ，且 ，xa()xh()1xh(,3x记 ，则 ，()21e 0e于是 在 上单调递增，()x,3又因为 ， ，所以存在唯一的 使得 ，10h240e03(1,)2x0()21xhe从而 ，于
14、是 在 上单调递减，在 上单调递增，02xe()hx01, 0,此时 ，022205() ()4hex从而 ，即 ，亦即 ，01()ax1a1fa因此不等式 在 上成立，f,所以当 时，对于任意的 ，不等式 恒成立.(0,2a(0,1xa1()fx22.（1）证明： 四点共圆， ，,ACEDCADBE ， ， ,B ， ， 平分 .D（2）解：由 ， 知 ， ，即 ， ，ABCE32194AB ，954D又 ，即 ， .BAC32BC15823.解：（1） 的极坐标化为直角坐标分别为 ，,MN(,0)3故直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，l30()lyx由题意，当线段 时，线段 取得最小值，此时直线 的斜率为 .OPOPOP3所以直线 的方程为 .OP3yx联立 ，解得 ，3yx4y故所求点 的直角坐标为 .P3(,)4（2）因为 的中点坐标为 ，MN(,)2故以 为直径的圆 的直角坐标方程为 ，C223()()3xy化为参数方程是 ， （ 为参数）.3cos2inxy因为圆心 到直线 的距离为 ，3(,)2C:3OPyx323d所以直线 与圆 相交所得的弦长为 .P222(3)lr24.解：（1） ，4,1()13,xfxx由 得 ， 的解集为 .()f32()f)2（2）由（1）知 最大值为 4，由题意，得 ，fx4a ，即 的取值范围是 .04a(0,)
