1、2016届高三第一次大联考理科数学第卷一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 是纯虚数，则 （ ）21()iaRaA B C2 D -22.已知集合 ，函数 的定义域为 ，集合 ，则下列结U1yxM2|0Nx论正确的是（ ）A B C DMN()NU()C4.已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）,abR1ablog1abA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5.已知 ，则 （ ）tn()24xsinxA B C D10539106.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是
2、某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B C D828347.执行如图所示的程序框图，则该程序运行后输出的值为（ ）A8 B9 C10 D118.已知 是边长为 1的等边三角形，则 （ ）(2)(34)ABCA:A B C D1323629.已知 的展开式中第 3项与第 6项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项()nx为第（ ）项A5 B4 C4 或 5 D5 或 610.已知抛物线 ，过点 可作抛物线 的两条切线，切点分别为2:8xy(0,)MtC，若直线 恰好过抛物线 的焦点，则 的面积为（ ）, CABA2 B3 C6 D1611.函数 的部分图象大致为（ ）()sinl(1
3、)fxx:A B C D12.若函数 在定义域内满足：（1）对于任意不相等的 ，有()fx 12,x；（2）存在正数 ，使得 ，则称函数121()()xffxfM()f为“单通道函数” ，给出以下 4个函数：() ， ； ， ；()sin)cos()4fxx(0,)()lnxge1,2 ； ，其中， “单通道函数”32(),1h12,0()lo()xx有（ ）A B C D第卷二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20分13.已知直线 过双曲线 的右焦点 ，则双:320lxyb2:1(0,)xyCabF曲线的渐近线方程为_14.已知实数 满足不等式组 ，则 的最大值为_,xy402
4、xy92zxy15.已知 是 的三边，若满足 ，即 ， 为直角,abcABC22abc2()1abcABC三角形，类比此结论：若满足 时， 的形状为(,3nnN_ （填“锐角三角形” ， “直角三角形”或“钝角三角形” ） 16.关于 的方程 ，至少有两个不相等的实数根，则 的最小值为x320xm m_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12分）已知数列 满足： na1112,92nna（1）记 ，求证：数列 为等比数列；3bnb（2）求数列 的前 项和 nnS18.（本小题满分 12分）自 2016年 1月 1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生
5、育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个” “生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了 200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为 14周与 16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从 5种不同安排方案中，随机抽取 2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择求两种安排方案休假周数和不低于 32周的概率；如果用 表示两种
6、方案休假周数和求随机变量 的分布及期望19.（本小题满分 12分）如图，空间几何体 中，平面 平面 ， 平面 ABCDEABCDAEBC（1）证明： 平面 ；/（2）若 是边长为 2的正三角形， 平面 ，且 与 ， 所成角的/ED余弦值均为 ，试问在 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为4APBEA若存在，请确定点 的位置；若不存在，请说明理由10P20.（本小题满分 12分）已知抛物线 ，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为2:(0)Eypx(1,)ME，直线 的斜率为 2,AB（1）求抛物线的标准方程；（2）与圆 相切的直线，与抛物线交于 两点，若在抛物线上存在点 ，2(1)xy,P
7、QC使 ，求 的取值范围(0)OCPQ21.（本小题满分 12分）已知函数 2()ln(1)afxx（1）若曲线 在 处的切线方程为 ，求 的单调区间；y2y()fx（2）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围0x()2ffxa请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分 10分）如图， 内接于 ， 为其直径， 于 延长后交 于 ，连接ABCO:ABCHABO:D并延长交过 点的直线于 ，且 平分 DPDP（1）求证： 是 的切线；PCO:（2）若 ，求 的值4,3ABP23.（本小题满分 10分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （其中
8、为参数） ，以 为极点， 轴xOyC24xtyOx的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 （其中(cos3in)0m为常数） m（1）若直线与曲线 恰好有一个公共点，求实数 的值；Cm（2）若 ，求直线被曲线 截得的弦长424.（本小题满分 10分）已知定义在 上的连续函数 满足 R()fx(0)1f（1）若 ，解不等式 ；2()fxa34ax（2）若任意 且 时，有 ，求证：12,0,x12x1212()fxfx1()ff参考答案1A 2A 3C 4A 5C 6B 7A 8B 9A 10D 11 12A13 146 15锐角三角形 160xy527所以 ，132()nnna 6 分设
9、 ，01221(1)nnnT，1232 得 ，0121212nnnn所以 ，()nT 8 分设 ，即 ，123(1)nnQ1,2,nQ为 奇 数为 偶 数 10 分所以 , 53(1)2,6,nnnSTQ为 奇 数为 偶 数 12 分18 （1）由表中信息可知，当产假为 14周时某家庭有生育意愿的概率为 ；14205P当产假为 16周时某家庭有生育意愿的概率为 21605P 2 分（2）设“两种安排方案休假周数和不低于 32周”为事件 ，由已知从 5种不同安排方A案中，随机地抽取 2种方案选 法共有 （种） ，2510C其和不低于 32周的选法有 14、18、15、17、15、18、16、17
10、、16、18、17、18，共 6种，由古典概型概率计算公式得 63()105PA 6 分由题知随机变量 的可能取值为 29，30，31，32，33，34，35， ，1(29)0.P12(30).,(31)0.PP2 13, 4,(35)0.P，因而 的公布列为29 30 31 32 33 34 35P0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1所以 ，()290.13.10.23.0.234.150.32E 12 分19 （1）证明：如图，过点 作直线 交 于点 ，连接 DOBCOD因为平面 平面 ， 平面 ，ABC，且平面 平面 ，DO所以 平面 1 分因为直线 平面 ，AEBC所
11、以 ， 2 分/DO因为 平面 ， 平面 ，D所以直线 平面 4 分/（2）连接 ，因为 平面 ，A/EABC所以 是矩形，所以 平面 OD因为直线 与直线 所成角的余弦值均为 ，, 24所以 ，所以 为 的中点，所以 ，且 BCBAOBC2cos4AD设 ，因为 ，所以 ，DOa21,3所以 21,3Aa在 中， C所以 ，22cosDCA:即 ，222431314aa即 222:解得 6 分1,a以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间O,AOBDxyz直角坐标系则 (0,1)(,0)(3,)(,01)CBAE假设存在点 ，连接 ，设 ，则 PPAC(3,0)设
12、平面 的法向量为 ，E,mxyz则 ，取 ，则平面 的一个法向量为 03AzmBxy:1BE(1,30)m设平面 的法向量为 ，P,nxyz则 ，()(1)03nBEz:取 ，则平面 的一个法向量为 ，1xP(1,3,2)n 9 分设二面角 的平面角的大小为 ，由图知 为锐角，BEA则 ,221310cos 4()()mn:化简得 ，解得 （舍去） ， 11 分260所以在 上存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 其为线段 的三CAPBEA104AC等分点(靠近点 ) 12 分20 （1）设 ，12,(,)AxyB则点 处抛物线的切线为 ，过点 ，因而 ；A11ypx(1,)M1()ypx同理，
13、点 处抛物线的切线为 ，过点 ，因而 B22()21两式结合，说明直线 过 两点，也就是直线 的方程为 ()yx,ABAB()yx由已知直线 的斜率为 2，知 ，Ap故所求抛物线的方程为 54yx分（2）显然当直线的斜率不存在与斜率为 0时不合题意 （6 分）故可设直线的方程为 ykxm又直线与圆 相切，2(1)x所以 ，2k即 7 分1()mk与抛物线方程联立，即 ，24ykxm化简消 得 ，y2()0kx224()168mk设 ，则 ，34,PxyQ342()mx 9 分3434()2kk由 ，则 ，(0)OCP2()4,kOC 10 分又点 在抛物线上，则 22168()kmk即 ，由于 ，因而 2234km01
