1、2016 年天津市滨海新区六所重点学校高三联考数学试卷（理科）一.选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有1 个是正确的）1 （5 分） （2016 天津校级模拟）设 i 是虚数单位，复数 =（ ）A22i B2 2i C 2+2i D2+2i2 （5 分） （2016 天津校级模拟）变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数z=x+3y 的最小值为（ ）A2 B3 C4 D53 （5 分） （2015 哈尔滨校级模拟）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 k 的值是（ ）A4 B5 C6 D74 （5 分） （2016 天津校级模拟）下列说法错误
2、的是（ ）A命题“若 x23x+2=0，则 x=1”的逆否命题为：“若 x1，则 x23x+20”B对于命题 p：x 0R，x +x0+10，则p：x R，x 2+x+10C若 m，n R， “lnmlnn”是“e me n”的充分不必要条件D若 pq 为假命题，则 p、 q 均为假命题5 （5 分） （2016 天津校级模拟）在 的二项展开式中，含 x2 的系数为（ ）A B C D6 （5 分） （2016 天津校级模拟）已知双曲线 与抛物线 y2=8x 的一个交点为P，F 为抛物线的焦点，若|PF|=5 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）Ax2y=0 B2xy=0 C D7 （5 分） （2
3、016 山东三模）如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BAD=60 ，M 为 DC 的中点，若 N 为菱形内任意一点（含边界） ，则 的最大值为（ ）A3 B C6 D98 （5 分） （2016 天津校级模拟）定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时，f（x）= ，则关于 x 的函数 F（x）=f （x）a（0a 1）的所有零点之和为（ ）A12 a B2 a1 C1 2a D2 a1二.填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上）9 （5 分） （2016 天津校级模拟）为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已
4、知该校高一、高二、高三分别有学生 300 名、260 名、280 名，若高三学生共抽取 14 名，则高一学生共抽取 名10 （5 分） （2016 天津校级模拟）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 11 （5 分） （2016 天津校级模拟）在直角坐标系 xOy 中，直线 C1 的参数方程为为参数） ，以该直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线 C2 的方程 =2cos+2sin曲线 C2 上任意一点到直线 C1 距离的最小值为 12 （5 分） （2016 天津校级模拟）由不等式组 确定的平面区域为 A，曲线 xy=1和直线 y=x 以及直线 x=3
5、 围成的封闭区域为 B，在 A 中随机取一点，则该点恰好在 B 内的概率为 13 （5 分） （2016 天津校级模拟）如图，AB 为圆 O 的直径，C 为圆 O 上一点，AP 和过C 的切线互相垂直，垂足为 P，过 B 的切线交过 C 的切线于 T，PB 交圆 O 于 Q，若BTC=120 ，AB=4 ，则 PQPB= 14 （5 分） （2016 天津校级模拟）已知 U=R，关于 x 的不等式 ax2+2x+b0（a0）的解集是 ，且 ab，则 ，实数 t 的取值集合为 A集合B=m|x+1|x3|m 23m，x R 恒成立，则 A（ UB）= 三.解答题（本大题 6 小题，共 80 分解
6、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）15 （13 分） （2016 天津校级模拟）已知函数 f（x）=cos （2x ）+2sin（x ）sin（x+）（）求函数 y=f（x）的对称轴方程，并求在区间 ， 上的最值；（）设ABC 的内角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c，满足 c= ，f（C）=1，且sinB=sinA，求 a、b 的值16 （13 分） （2016 天津校级模拟）A 、B 两袋中各装有大小相同的小球 9 个，其中 A 袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为 2，3，4，B 袋中红色、黑色、白色小球的个数均为 3，甲从 A 袋中取球，乙从 B 袋中取球（）若甲、乙各取一
7、球，求两人中所取的球颜色不同的概率；（）若甲、乙各取两球，称一人手中所取两球颜色相同的取法为一次成功取法，记两人成功取法的次数为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望17 （13 分） （2016 天津校级模拟）已知在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，PAD 是正三角形，平面 PAD平面 ABCD，E，F，G 分别是 PA，PB，BC 的中点（）求证：EF平面 PAD；（）求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小；（）线段 PD 上是否存在一个动点 M，使得直线 GM 与平面 EFG 所成角为 ，若存在，求线段 PM 的长度，若不存在，说明理由18
8、（13 分） （2016 天津校级模拟）已知等比数列a n的公比 q1，首项 ，成等差数列（）求数列a n的通项公式；（）求数列 的前 n 项和 Tn；（）若 ，P n 为数列 的前 n 项和，求不超过 P2016 的最大的整数 k19 （14 分） （2016 天津校级模拟）已知椭圆 C： 离心率 ，短轴长为 2（）求椭圆 C 的标准方程；（） 设直线 l 过椭圆 C 的右焦点，并与椭圆相交于 E， F 两点，截得的弦长为 ，求直线 l 的方程；（） 如图，椭圆左顶点为 A，过原点 O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆 C 交于P，Q 两点，直线 PA，QA 分别与 y 轴交于 M，N 两点试
9、问：以 MN 为直径的圆是否经过定点（与直线 PQ 的斜率无关）？请证明你的结论20 （14 分） （2016 天津校级模拟）已知函数 （mR ） ，（）求曲线 y=f（x）在（1，f（1） ）处的切线与直线 x+2y5=0 垂直，求 m 的值；（）若关于 x 的不等式 f（ x）mx 2+（m1）x1 恒成立，求整数 m 的最小值；（）若 m=1， mR 设 F（ x）=f（x）+x且正实数 x1， x2 满足 F（x 1）= F（x 2） ，求证：x1+x2 12016 年天津市滨海新区六所重点学校高三联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共
10、 40 分在每小题给出的四个选项中，只有1 个是正确的）1 （5 分） （2016 天津校级模拟）设 i 是虚数单位，复数 =（ ）A22i B2 2i C 2+2i D2+2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： = ，故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题2 （5 分） （2016 天津校级模拟）变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数z=x+3y 的最小值为（ ）A2 B3 C4 D5【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最值即可【解答】解：变量
11、 x，y 满足约束条件 ，画出图形：目标函数 z=x+3y 经过点 A（ 1，1） ，z 在点 A 处有最小值：z=1+31=4，故选：C【点评】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法3 （5 分） （2015 哈尔滨校级模拟）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 k 的值是（ ）A4 B5 C6 D7【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当 S=0 时，满足继续循环的条件，故 S=1，k=1；当 S=1
12、时，满足继续循环的条件，故 S=3，k=2；当 S=3 时，满足继续循环的条件，故 S=11，k=3；当 S=11 时，满足继续循环的条件，故 S=2059，k=4；当 S=2049 时，不满足继续循环的条件，故输出的 k 值为 4，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答4 （5 分） （2016 天津校级模拟）下列说法错误的是（ ）A命题“若 x23x+2=0，则 x=1”的逆否命题为：“若 x1，则 x23x+20”B对于命题 p：x 0R，x +x0+10，则p：x R，x 2+x+10C若 m，n R， “lnmlnn”是“e
13、 me n”的充分不必要条件D若 pq 为假命题，则 p、 q 均为假命题【分析】A 利用逆否命题的定义判断即可；B 存在命题，应把存在改为任意，再否定结论；C 根据充分不必要条件的定义判断即可；D 根据且命题的真假判断依据判断即可【解答】解：对于 A，逆否命题把命题的条件和结论互换，再同时否定，故命题“ 若x23x+2=0，则 x=1”的逆否命题为：“若 x1，则 x23x+20”，故正确；对于 B，对于存在命题，应把存在改为任意，再否定结论，故命题p：x 0R，x +x0+10，则 p：x R，x 2+x+10，故正确；对于 C，若 m，nR， “lnmlnn ”，则 0m n，可得“e
14、me n”，但由“ eme n”，m，n 也可能为负值，不一定得出 lnmlnn”，故应是充分不必要条件，故正确；对于 D，且命题为假命题，p 和 q 不能都是真命题，但也不一定都是假命题，故错误故选：D【点评】考查了四中命题间的逻辑关系，属于常规题型，应熟练掌握5 （5 分） （2016 天津校级模拟）在 的二项展开式中，含 x2 的系数为（ ）A B C D【分析】利用二项展开式的通项公式求出求出展开式中含 x2 项的系数即可【解答】解： 二项展开式的通项公式为：Tr+1= =（1） r ，令 12 =2，解得 r=4；所以展开式中含 x2 项的系数为：（1 ） 4C62（ ） 2= 故选
15、：B【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了利用通项公式求特定项的问题，是基础题目6 （5 分） （2016 天津校级模拟）已知双曲线 与抛物线 y2=8x 的一个交点为P，F 为抛物线的焦点，若|PF|=5 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）Ax2y=0 B2xy=0 C D【分析】根据抛物线 y2=8x 上的点 P 满足|PF|=5 ，可得 P（3，2 ） ，代入双曲线方程算出 m 的值，即可得到双曲线的 a、b 之值，从而得到该双曲线的渐近线方程【解答】解：点 P 在抛物线 y2=8x 上，|PF|=5 ，P（x 0，y 0）满足 x0+ =5，得 x0=5 =52=3因此 y02=
16、8x0=24，得 y0=2点 P（3，2 ）在双曲线 上可得 9 =1，解之得 m=3双曲线标准方程为 ，得 a=1，b= ，渐近线方程为 y= ，即 y= x故选：C【点评】本题给出双曲线与抛物线交于点 P，在已知抛物线的焦半径 PF 长的情况下，求双曲线的渐近线，考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题7 （5 分） （2016 山东三模）如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BAD=60 ，M 为 DC 的中点，若 N 为菱形内任意一点（含边界） ，则 的最大值为（ ）A3 B C6 D9【分析】先以点 A 位坐标原点建立的直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的
17、坐标表示出 ，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可【解答】解：以点 A 位坐标原点建立如图所示的直角坐标系，由于菱形 ABCD 的边长为2，A=60 ，M 为 DC 的中点，故点 A（0，0） ，则 B（2，0） ，C（3， ） ，D（1， ） ，M（2， ） 设 N（x，y） ，N 为平行四边形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为平行四边形ABCD 及其内部区域因为 =（2， ） ， =（x，y） ，则 =2x+ y，结合图象可得当目标函数 z=2x+ y 过点 C（3， ）时， z=2x+ y 取得最大值为 9，故选 D【点评】本题主要考查向量在几何中的应用以及
18、数形结合思想的应用和转化思想的应用，是对基础知识和基本思想的考查，属于中档题8 （5 分） （2016 天津校级模拟）定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时，f（x）= ，则关于 x 的函数 F（x）=f （x）a（0a 1）的所有零点之和为（ ）A12 a B2 a1 C1 2a D2 a1【分析】函数 F（x）=f （x）a（0a 1）的零点转化为：在同一坐标系内 y=f（x） ，y=a的图象交点的横坐标作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数 f（x）在x0 时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案【解答】解：当 x0 时，f（x）= ；即 x0，1）时，f（x）= （x+1） （ 1，0；x1，3时，f（x）=x 21，1；x（3，+）时，f（x）=4x （，1） ；画出 x0 时 f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出 x0 时 f（x）的图象，如图所示；则直线 y=a，与 y=f（x）的图象有 5 个交点，则方程 f（x）a=0 共有五个实根，最左边两根之和为6，最右边两根之和为 6，x（1，0）时， x（0，1） ，
