1、2016 届天津市南开中学高三下学期第四次月考数学（文）试题一、选择题1已知命题 ,则 为（ ）12,0:xppA. B12,0x 12,0xC D 【答案】D【解析】试题分析：命题 是全称命题，否定时将量词对任意的 变为12,0:xp x，再将不等号 变为 即可故选 Dx【考点】命题的否定2函数 的零点一定位于区间（ ）xf1)2ln(A B C D),1( )3,( )4,3(54【答案】B【解析】试题分析：函数 在 是增函数，xxf1)2ln(0,)， ， 的零点所在的区13(2)ln0,()f 3f()fx间是 .故选 B3,【考点】零点存在性定理3执行如图所示的程序框图，如果运行结果
2、为 ，那么判断框中应填入（ ）720A B C ?6k ?7k ?6kD 7【答案】C【解析】试题分析：由题意可知输出结果为 ，通过第一次循环得到20S，通过第二次循环得到 ，通过第三次循环得12,3Sk136,4k到 ，通过第四次循环得到 ，4,5 5120,6k通过第五次循环得到 ，此时执行输出 ，结1246720,Sk7S束循环，所以判断框中的条件为 故选 C ?6k【考点】程序框图4如图， 是 的直径， 是弦， 的平分线 交 于点 ，ABOABADO，交 的延长线于点 ， 于点 ，且 ， .在CDEEDF8E10B上述条件下，给出下列四个结论： ； ； ； ，则所有正确结CF2F2论的
3、序号是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析： 的平分线为 ， ， ，ACDAEBF， ，所以不正确，正确；排除法，,EFDF均不正确.故选 B【考点】1、角平分线的性质；2、三角形全等的判定；3、射影定理 5函数 的部分图象如图所示，则 的单)2,0)(sin2)( xf )(xf调递增区间为（ ）A B)(3,6Zkk125C D)(,kk63Z【答案】B【解析】试题分析：由图象可知 ， ， 的图象1522T,2T()fx过点 ， ， ，5(,2)15sin()2152,6kZ， ，取 ， ，由3kZ3()(2)3fxsin得 故选 B,22xk 5,121kk【考点】正弦型函数的
4、图象与性质 【思路点睛】由 的部分图象可求得 的),0)(sin)( xf ,值，从而可得函数 的解析式，再利用正弦函数的性质可求得 的单调增区()fx间本题考查由 的部分图象确定函数解析式，)2,)(si2)(xf确定 的值是解题关键，也是难点，本题主要考查正弦型函数的图象与性质，考查学生分析转化与运算能力，属于中档题6已知 是定义在 上的函数，对任意两个不相等的正数 ，都有)(xf),0(21,x，记 ，则（ ）212ff 3log)(,6sin)(,2(.0 fcfbfaA B C Dabccaacb【答案】D【解析】试题分析： 是定义在 上的函数，对任意两个不相等的正数 ，)(xf),
5、0(21,x都有 ， 函数 在 上的增函数，212()xffxy),0(， ， 故选 D0.2sin,log31,6.2sinlog36bca【考点】函数的单调性【思路点睛】由题意可知函数 在 上的增函数，比较大小可得()fxy),0，根据自变量的大小来确定函数值的大小，正确判断函数0.2sinlog36的单调性是解本题的关键.本题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查()fxy学生对指数函数、对数函数性质的运用能力，考查函数性质的应用，属于中档题 7已知函数 ，若关于 的不等式 的解集中的整数)0(1)(mxf x0)(xf恰有 个，则实数 的取值范围为（ ）3A B C 1,0( )43,
6、2 )23,4D )2【答案】B【解析】试题分析：由 ， 得， ， 设0)(xfm1x，作出两个函数的图象如图，若 的解集中的整(),()1gxmhx 1mx数恰有 个，则 是解集中的三个整数解，则满足 ，即 ，3,23(4)3gh432m解得 故选 B24【考点】根的存在性及根的个数的判断 【思路点睛】由 ， 得， ，构造函数0)(xfm1x，作出两个函数的图象，建立不等式关系进行求解即可本(),1gxmh题考查函数与方程的综合应用，函数的图象以及不等式的解法，考查转化思想以及数形结合思想的应用根据不等式整数根的个数，结合函数的图象建立不等式关系是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度，属于
7、压轴题二、填空题8已知集合 ， ，则 _.02xA)1lg()xfxBBA【答案】 1,【解析】试题分析：集合 ，20,x， 所以答案应()lg)11BxfBA1,填： 1,【考点】集合的运算9某高中学校共有学生 名，各年级男女学生人数如下表.已知在全校学生中随机180抽取 名，抽到高二女生的概率是 .6现用分层抽样的方法，在全校抽取 名学生，则应在高三抽取的学生人数为_.45【答案】14【解析】试题分析：随机抽取 名，抽到高二女生的概率是 ，高二女生的人116.0数为 ，高三年级男生的人数为180.628x，在全校抽取 名学生，则应在高三抽180324168320845取的学生人数为 .所以
8、答案应填：50141【考点】分层抽样10某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是_.【答案】 12【解析】试题分析：由三视图可知，三棱锥的高为 ，底面三角形的面积为4，三棱锥的体积 所以答案应填： (3)91923V12【考点】1、几何体三视图；2、几何体直观图11设 是各项均为正数的等比数列， 为其前 项和，若 ，则此数列nanS240S的公比 的值为_.q【答案】 3【解析】试题分析： ， ，即2410S2311()()aqaq，又 ， 所以答案应填：1()()aqn【考点】1、等比数列的通项公式；2、等比数列的前 项和公式n12已知双曲线 的一条渐近线与 平行，且它的一)0,(12ba
9、yx 13xy个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为_.8【答案】 162yx【解析】试题分析：抛物线 的准线为 ，由题意可得 ，xy2822c设双曲线的一条渐近线与 平行，由题意可得 ，即 ，解得133baa，双曲线的标准方程为 所以答案应填： 2,6ab 162yx 162yx【考点】1、双曲线的简单性质；2、抛物线的性质【思路点睛】求出抛物线 的准线方程，可得 ，根据双曲线的方程xy82c为 ，求出渐近线方程，由题意可得 的方程，解方程可得)0,(12bayx ,ab或 ，进而得到双曲线的方程正确运用双曲线的性质是解题的关键，本题考,ab,查双曲线的方程的求法、抛物线的准线方程和双曲
10、线的渐近线方程，考查逻辑思维能力和计算能力，属于基础题13如图，等腰三角形 ， . 分别为边ABC120,BACFE,上的动点，且满足 ，其中 ，ACB, nFmE, 1),(,nm分别是 的中点，则 的最小值为_.NMF,MN【答案】 21【解析】试题分析：连接 ，等腰三角形 中，,AMNABC， ， 是120,BCAcos120BAM的中线， ， 同理，可得EF1()()2EFmn，由此可得1()2N，1()()()()2MABACBACBnAC 22 22111()()()()()44NmnmmB ， ， ，可得 ，代入上式22n1得 ，22(1)(1)313()4M ，当 时， 的最小
11、值为 ，此时 的最小值为 所,0mnMNMN2以答案应填： 2【考点】向量在几何中的应用【思路点睛】由等腰三角形 中， ，算出ABC120,BAC连接 ，利用三角形中线的性质，得到 ，2ABC,MN()MAEF，进而得到 将1()N ()22mnC此式平方，代入题中数据化简可得 ，结合(1)1()n消去 ，得 ，结合二次函数的性质可得当 时，1mn23()4Nm 1的最小值为 ，所以 的最小值为 本题的关键是用基底向量 的2MN4M,ABC关系式表示出向量 ，再求向量 模的最小值，主要考查平面向量数量积公式及其运算性质和二次函数的最值求法等知识，属于中档题三、解答题14某旅行社租用两种型号的客
12、车安排 名客人旅行， 两种车辆的载客量分别90BA,为 人和 人，租金分别为 元/辆和 元/辆，旅行社要求租车总数不超过3601624辆，且 型车不多于 型车 辆，则如何安排才能使租金最少，最少租金为多少？21BA7【答案】租用 型车 辆， 型车 辆时，租金最少为 元5B3680【解析】试题分析：设分别租用 、 两种型号的客车 辆、 辆，总租金为xy元可得目标函数 ，结合题意建立关于 、 的不等式组，画z yxz24016出可行域，平移直线 ，发现过可行域上的 点时，截距 最小，即 最3yA240zz小，求出 坐标，即为最优解再求出 的最小值.Az试题解析：设租用 型车 辆，租用 型车 辆.所
13、用租金 元，则 ， 满足xByxy，化简得 ，Nyx,9063721Nyx,75321作出可行域如图所示目标函数 ，变形为 ，yxz240162403zx当 经过可行域上的 点时，截距 最小，即 最小，3yAz联立 ，得 ， ，75x)12,(min16513680z故租用 型车 辆， 型车 辆时，租金最少为 元AB380【考点】简单的线性规划【方法点睛】另一种方法：设分别租用 、 两种型号的客车 辆、 辆，总租金为ABxy元可得目标函数 ，结合题意建立关于 、 的不等式组，计z yxz24016算 、 型号客车的人均租金，可得租用 型车的成本比 型车低，因此在满足不等A式组的情况下尽可能多地
14、租用 型车，可使总租金最低由此设计方案并代入约束条件与目标函数验证，可得当 时， 取最小值 .本题为实际应用问题，5,xyz3680要求我们建立目标函数和线性约束条件，并求目标函数的最小值，着重考查了简单的线性规划的应用的知识，属于基础题15在 中，内角 所对的边分别是 ，已知ABC, cba,.42cos,2,4a（1）求 和 的值；bin（2）求 的值.)6s(A【答案】 （1） ， ；（2） .27si4C38【解析】试题分析：（1）先利用余弦定理求出 ，由平方关系求出 的值，再利bsinA用正弦定理求出 的值；（2）先利用和差角公式和二倍角公式把 展sin co(2)6开，再代入数据即
15、可求得.试题解析：（1）由余弦定理， ，Abcaos22，bb28428162 ， 或 （舍） ， .02 ,41)2(1cos1sin2A由正弦定理 ， .Casini 4712sini aAc（2） 6i6o2c)6cos( Asin132.42)6( 1672)3(83【考点】1、余弦定理；2、正弦定理；3、和差角公式；4、二倍角公式16如图，梯形 中， ， 分别是 的中点，矩ABEF/,AFBMO,FCAB,形 所在的平面与 所在的平面互相垂直，且 .CD 12ED（1）证明： 平面 ；AFCB（2）证明： 平面 ；OMD（3）若二面角 为 ，求直线 与平面 所成角的大小.60EMCB
16、F【答案】 （1）证明见解析（2）证明见解析；（3） 60【解析】试题分析：（1）根据平面与平面垂直的性质定理证 平面 ，又AEF，从而可证得 平面 ；（2）取 中点 ，连接 ，先AFBAFCBDNM,证得 为平行四边形，进而可得 ，再根据直线与平面平行的判定定NMO/OA理即可证得 平面 ；（3）连接 交 于 ，连接 ，证明/DEFH平面 ，则 即为直线 与平面 所成角，再通过解EHEHM求得 的大小Rt试题解析：（1） ABEFCDAB平 面平 面 平 面平 面 ，平 面 ，矩 形 ABEFC平 面平 面平面 .BCFA（2）取 中点 ，连接 ，DNAM,为 平 行 四 边 形四 边 形
17、NDABCM21.AFOMDFNO平 面平 面平 面 （3） 为二面角 的平面角，ABCBCD.1602,EFABFEA， 为 等 边 三 角 形由（1）知 ABHFCC平 面平 面平 面 平 面平 面平 面平 面 所 成 角与 平 面为内 射 影在 平 面为平 面 CBFEMHFEMBFEH，中， ， ，RtM2121ADC3 ， ， 与平面 成 角.3tanEH60EECBF60【考点】1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；3、线面角的求法【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直、平行判定和线面角的求法，属于中档题证明线面垂直的方法主要有定义法，判定定理法；证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是利用三角形、梯形的中位线，对应线段成比例，构造平行四边形，平行线的传递性，线面垂直的性质定理，面面平行的性质定理求线面角的一般步骤是：一作出线面角，二证明，三求线面角的大小.17在等比数列 中， ， 成等差数列.na215423,a
