1、新津中学高三 12 月月考试题数学（理科）第卷一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 M1,0,1， N x|x2 x，则 M N( )A0 B0,1 C1,1 D1,0,12. 复数 z 满足(1i) 2z1i(i 为虚数单位)则在复平面内，复数 z 对应的点位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3. 函数 y 的值域是( )16 4xA0，) B0,4 C0,4) D(0,4)4. 已知 O 是 ABC 所在平面内一点， D 为 BC 边的中点，且 2 0，那么OA OB OC ( )A. B. 2
2、 C. 3 D2 AO OD AO OD AO OD AO OD 5. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A B C D6. 在数列 an中， a11， a25， an2 an1 an(nN *)，则 a100等于 ( )A1 B1 C2 D07. 已知球的直径 SC4， A、 B 是该球球面上的两点， AB 3， ASC BSC30，则棱锥 S ABC 的体积为 ( )A3 B2 C. 1 D3 3 38.若执行如图所示的框图，输入 x11， x22， x33， 2，则输出的数等于( )xA. 13B. 23C. 23D19. 已知椭圆 1( ab0)的中心为 O，左焦
3、点为 F， A 是椭圆上的一点. 0x2a2 y2b2 OA AF 且 2，则该椭圆的离心率是 ( ) OA OF 12OF A. B. C3 D35 510. 已知函数 f(x) x32 bx2 cx1 有两个极值点 x1， x2，且 x12，1， x21,2，则 f(1)的取值范围是 ( )A. B. C3,12 D.32， 3 32， 6 32， 12第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分11. (x2) 6的展开式中 x3的系数为_(用数字作答)12. 若点 P(1,1)为圆 C：( x3) 2 y29 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线方程为_.13方程 x23 a
4、x3 a10( a2)的两根为 tan A，tan B，且 A， B ，则 A B_.( 2， 2)14. 已知函数 f(x)log a(x2 ax2)在(2，)上为增函数，则实数 a 的取值范围为_15. 设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数，且对任意的实数 x， yR，都有 f(x)f(y) f(x y)，若a1 ， an f(n)(nN *)，则数列 an的前 n 项和 Sn的取值范围是_12三.解答题：共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 .cos A 2cos Ccos B 2c
5、ab(1)求 的值；sin Csin A(2)若 cos B ， b2，求 ABC 的面积 S.1417.正项数列 an满足： a (2 n1) an2 n0.2n(1)求数列 an的通项公式 an；(2)令 bn 1n，求数列 bn的前 n 项和 Tn.18. 如图， A 地到火车站共有两条路径 L1和 L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间(分钟) 1020 2030 3040 4050 5060L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于
6、赶往火车站(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？(2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1) 的选择方案，求 X 的分布列和数学期望 19.如图(1)，在 Rt ABC 中， C90， BC3， AC6， D， E 分别是 AC， AB 上的点，且DE BC， DE2.将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置，使 A1C CD，如图(2)(1)求证： A1C平面 BCDE；(2)若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小；(3)线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE
7、垂直？说明理由20. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆x2a2 y2b2C 的短半轴长为半径的圆与直线 x y20 相切(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知点 P(0,1)， Q(0,2)设 M， N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点，直线 PM 与 QN 相交于点 T.求证：点 T 在椭圆 C 上21. 已知函数 ln()axbf（其中 20a且 ） ，函数 ()fx在点 1,()f处的切线过点 (3,0).（）求函数 的单调区间；（）若函数 ()fx与函数 ()gxx的图像在 (,2有且只有一个交点，求实数 a 的取值范
8、围.12 月月考数学（理科）答案1-6 BACAD 7-10 BDCAC二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分11. 160 12. 2 x y10. 13 14. (1,3 15. 34 12， 1)三.解答题：共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 .cos A 2cos Ccos B 2c ab(1)求 的值；sin Csin A(2)若 cos B ， b2，求 ABC 的面积 S.14解 (1)由正弦定理，则 ，2c ab 2sin C sin Asin B所以 ，cos A 2c
9、os Ccos B 2sin C sin Asin B即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B，化简可得 sin(A B)2sin( B C)因为 A B C，所以 sin C2sin A.因此 2.sin Csin A(2)由 2，得 c2 a.sin Csin A由余弦定理 b2 a2 c22 accos B 及 cos B ， b2，得 4 a24 a24 a2 .解得 a1，从而 c2.14 14因为 cos B ，且 0b0)的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆x2a2 y2b2C 的短半轴长为半径的圆与直线 x y20 相切(1)求椭圆 C 的方程；(
10、2)已知点 P(0,1)， Q(0,2)设 M， N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点，直线 PM 与 QN 相交于点 T.求证：点 T 在椭圆 C 上(1)解 由题意知， b .2因为离心率 e ，所以 .ca ba 12所以 a2 .2所以椭圆 C 的方程为 1.x28 y22(2)证明 由题意可设 M， N 的坐标分别为( x0， y0)，( x0， y0)，则直线 PM 的方程为 y x1，y0 1x0直线 QN 的方程为 y x2.y0 2 x0法一 联立解得 x ， y ，x02y0 3 3y0 42y0 3即 T .由 1，可得 x 84 y .20 20因为 2 218
11、 12 1，8 2y0 3 28 2y0 3 2所以点 T 的坐标满足椭圆 C 的方程，即点 T 在椭圆 C 上法二 设 T(x， y)，联立解得 x0 ， y0 .x2y 3 3y 42y 3因为 1，所以 2 21.18 12整理得 (2 y3) 2，x28 3y 4 22所以 12 y84 y212 y9，即 1.x28 9y22 x28 y22所以点 T 坐标满足椭圆 C 的方程，即点 T 在椭圆 C 上21. 已知函数 ln()axbf（其中 0a且 ） ，函数 ()fx在点 1,()f处的切线过点 (3,0).（）求函数 的单调区间；（）若函数 ()fx与函数 2()gxx的图像在
12、 (,2有且只有一个交点，求实数 a 的取值范围.解：（1） lnab， 1ln1,()|xabff ab()1yb，切线过点 (30)，22ll)xfx 当 (0,a时， (,)e单调递增， 1(,)xe单调递减 当 )时， 10x单调递减， 单调递增 （2）等价方程 ln22ax在 (0,只有一个根即 ()xax在 只有一个根令 2lh，等价函数 ()hx在 0,2与 x轴只有唯一的交点(1) 当 0a时， hx在 (0,递减， (1,2的递增当 x时， ()，要函数 )hx在 0与 x轴只有唯一的交点(1)h或 2， 1a或 ln 当 0,a时， ()hx在 (,)2递增， (,1)2ax的递减， (1,2x递增()102h，当 时， h， 484)0hex在 ,)与 x轴只有唯一的交点 当 a， (在 (,2的递增 484()20,()2lnfef()h在 0,与 轴只有唯一的交点故 的取值范围是 1a或 ln或 0a.
