1、南充高中 2016 年 1 月诊断考试数学试卷（文史类）第卷（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线 30xy的倾斜角是（ ）A 0 B 6 C 12 D 052.若集合 |xy，集合 |Byx，则 AB（ ）A 0,) B (,) C (0,) D (,)C纵坐标缩短到原来的 12倍，横坐标不变D纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变4.在复平面内，复数 ()zai（ ,aRi为虚数单位）对应的点位于第三象限的充要条件是（ ）A 1a B C 1 D 15.双曲线2xyb(0,)ab的一条渐
2、近线方程是 43yx，则该双曲线的离心率是（ ）A 54 B 3 C 7 D 2136.执行下面的程序框图，如果输入的 ,t，则输出的 s属于（ ）A 0,1 B ,24 C 0,) D 12)7.过抛物线 24xy的焦点任作一直线 交抛物线于 MN、 两点， O为坐标原点，则MON的面积的最小值为（ ）A2 B C4 D88.已知点 是边长为 2 的正方形 AB内（含边界）一动点，则 AB的取值范围是（ ）A 0,4 B ,5 C 1, D ,49.已知正项等比数列 na满足 5325a，则 67a的最小值为（ ）A32 B 102 C20 D2810.已知 ()bfxc（ 、 为常数）和
3、1()4gx是定义在|4M上的函数，对任意的 M，存在 0使得 0()fx，0()gx，且 00()fxg，则 ()fx在集合 上的最大值为（ ）A 72 B5 C6 D8第卷（共 100 分）二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上）11.计算： 1lg2l .12.某小组 4 个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学成绩的中位数是 .13.我国邮政邮寄印刷品国内邮资标准为： 10g以内 .7元，每增加 10g（不足 0按10g计） .4元. 某人从绵阳邮寄一本重 42的书到上海，则他应付资费为 元.14.已知点 P在单位圆 2xy上运动，点 P到直线 34xy与 3x的
4、距离分别记为 12d、 ，则 12+d的最小值是 .15.现定义一种运算“ ”：对任意实数 ,ab， ,1ab，设2()(3)fxx，若函数 ()gxfk的图象与 x轴恰有三个公共点，则实数 k的取值范围是 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分 12 分）某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了 100 名年龄阶段在 10,2)， ,30)， ,4)， 0,5)， ,60)的市民进行问卷调查，由此得
5、到样本频率分布直方图如图所示.（1）求随机抽取的市民中年龄段在 30,4)的人数；（2）从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 5 人，求 0,6)年龄段抽取的人数；（3）从（2）中方式得到的 5 人中再抽取 2 人作为本次活动的获奖者，求 50,6)年龄段仅 1 人获奖的概率.17. （本小题满分 12 分）已知函数 44()cos2incosifxxx.（1）若 是某三角形的一个内角，且 2()f，求角 x的大小；（2）当 0,2x时，求 ()fx的最小值及取得最小值时 的集合.18. （本小题满分 12 分）已知等差数列 na的前 项和 nS满足： 530， 1S，数列
6、nb的前 项和 nT满足： 31(*)2nTbN.（1）求 nS与 ；（2）比较 与 nTa的大小，并说明理由.19. （本小题满分 12 分）二次函数 2()4fxm（ 为非零常数）的图象与 m坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆 C.（1）求 的取值范围；（2）试证明圆 过定点（与 的取值无关） ，并求出该定点坐标.20. （本小题满分 12 分）已知椭圆21(0)xyab的离心率为 2，短轴的一个端点到焦点的距离为 2.（1）求椭圆 C的方程； （2）是否存在过椭圆 的左焦点 F且不与 x轴重合的直线 m，与椭圆 C交于 MN、 两点，线段 MN的垂直平分线与 x轴交于点 P，与椭圆
7、 交于点 Q，使得四边形 PQ为菱形？若存在，请求出直线 m的方程；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分 12 分）已知函数 2()lnfxmx（ 为常数）.（1）当 0时，求函数 ()f的单调区间；（2）若21()xf对任意 2,xe恒成立，求实数 m的取值范围；（3）若 12,e， 12，求证： 4122()x.（参考数据：.78e）参考答案一、选择题BCADB CADCB二、填空题11. 2 12.127 13.2.3 14. 45 15. (2,1三、解答题16.解：（1）由图知，随机抽取的市民中年龄段在 30,4)的频率为0(.2.05.10.).，随机抽取的市民中年龄段在 3
8、,4的人数为 1.人.（3）由（2）知，所抽取 5 人中有 3 人是在 40,5)年龄段中取得，记为 123,A；有 2 人是在 0,6)年龄段中取得，记为 12B，从 5 人中再抽取 2 人作为本次活动的获奖者的可能有 12(,)， 13(,)， 1(,)B，12(,)AB， 3(,)， 2， 1(,)AB， 32(,)， 12(,)B共 10 种，其中 50,6)年龄段仅 1 人获奖的情况有 A， ,， 21(,)AB， 2(,)，31(AB， 32(共 6 种， ,)年龄段仅 1 人获奖的概率为 63105P.17.解：（1） 222(cosin)(cosin)sifxxx2sin()4
9、x由 2sin()4x，即 1i2， 6k， Z，或 546xk， Z，解得 524x， 或 132k， ， 0， 或 13.（2）由（1）知， ()2sin()4fxx，再由 0,x，可得 3,， ()1f，当且仅当 24x，即 8x时， ()fx取得最小值 2，即 ()f的最小值为 ，此时 的取值集合为 38.18.解：（1）设等差数列 na的首项为 1，公差为 d，由已知可得：154302901ad，解得 12d， ()nan， 2()nS.对数列 b，由已知有 132Tb，即 13b，解得 1，又 1132nnT， *N， 1()2nn， *N，即 11nnbb， ，整理得 13n，即
10、 13n（常数） ，数列 nb是以 1 为首项，3 为公比的等比数列， 13nb.（2） 312nnT， 1()nnSb， (31)nnTa，于是 211(2)nna，显然当 1时， 0nSb，即 nnSbTa；当 2(*)N时， na，即 ，综上，当 时， T；当 2(*)N时， nnSbTa.19.解：（1）令 0x，得函数与 y轴的交点是 0,m.令 2()4fm，由题意 且 ，解得 4且 .设所求的圆的一般方程为 20xyDEF，令 0y，得 20F，这与 2xm是同一个方程，故 4,Dm，令 x，得 2yE方程有一个根为 ，代入得 1.圆 C的方程为 24(1)0xym，将圆 的方程
11、整理变形为 2()x，此方程对所有满足 m且 0都成立，须有241xy，解得 1y或 4，经检验知， (,)和 (0,均在圆 C上，因此圆 C过定点 4和 ).20.解：（1）设椭圆的右焦点为 (,0Fc，则由题意有2cea， 2bc，即 ,1，椭圆 C的方程为21xy.（2）假设存在直线 m，依题意可设为 1xky，于是 21xky，消去 x，可得 2()0，令 12(,)(,)MxyN，于是 k， 121224()xkyk， 的中点 A的坐标为 ,. PQl，直线 的方程为 22()kyxk，令 0y，解得 1x，即 1,0P. P、 关于 A点对称，设 0(,)Qxy， 022()xkk
12、， 02()k，解得 03， y，即 23,k.点 Q在椭圆上， 22()()kk，解得 21，于是 2k，即 412k， m的方程为 4yx或 4yx.21. 解：（1）当 0时， ()ln,0f，得 ()ln1fx.由 ln10x，解得 1xe，即 ()fx在 1,)e上单调递增；由 ，解得 ，即 在 (0上单调递减 .综上， ()fx的单调递增区间为 (,)e，单调递减区间为 1(0,)e.（2）已知 2,e，于是21()xf变形为 lnxm，从而 1lnxm，即 0ln，整理得 x.令 l()gx，则 l()0g，即 ()gx在 2,e上是减函数， ma3()12e.令 ln()xh，则 lnxh，当 e时， ()0，即此时 ()h单调递增；当 2ex时， ()0hx，即此时 ()x单调递减，而 21()hehe， min2()x. 231e.（3）由（1）知当 0时， ()lnfx在 1(,)e上是增函数. 12xe， 1211()()ln()(lfxfx，即 1212lnlx，同理 2212lln()x，所以 12121212 1212l()l()()ln()xxx，
