1、 数学理科试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数 （i 为虚数单位）的共轭复数为（ ）312izA B C D1ii2.已知集合 ， ，则 的子集个数为（ ）,0Ayxz,BA B C D83473.设 ，则 “ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）Ra101a05ayxA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4.将函数 的图象向左平移 个单位，所得的函数关于 轴对称，则)2sin()xf 8y的一个可能取值为（ ）A B C D434045.已
2、知向量 ，若 与 共线，则 （ ）)2,1(),3(babnam2nmA B C- D216. 的展开式中的常数项是（ ）6)(xA B C D135101401457.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则（ ）23A B C Da2aa0a8.设 ，其中实数 满足 若 的最大值为 ，则 的最小值为（ ）yxzyx,0,2kyz6zA B C D3219.如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）A B C D4234433410.已知函数 ，且 ，设等差数列12)8()(2axaxf )82()4(2aff的前 项和为 ，若 ，则 的最小值为（ ）naNnS)(nfSnSA B
3、C D6278353148711.设函数 ，若不等式 有解.则实数 的)2()() xaexexf 0)(xfa最小值为（ ）A B C De1e1212e12.已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线的焦点， 在抛物Ayx42BP线上且满足 ，当 取最大值时，点 恰好在以 为焦点的双曲线上，则PBmPA,双曲线的离心率为（ ）A B C D 215211215第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程为_.C1)(2yxxyC14.已知函数 ，则 _.)39ln(xf )21(lg)(lff15.
4、已知在直角梯形 中， ，将直角梯ABD2,DABA形 沿 折叠成三棱锥 ，当三棱锥 的体积取最大值时，其外ABCCC接球的体积为_.16.设 的内角 所对的边分别为 ，则下列命题正确的是 _（填写所, cba,有正确命题的序号）若 ，则 ；若 ，则 ；CBA2sinisn40230C若 ，则 为锐角三角形；若 ，则 .44cbaabc)(2三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分）已知数列 的前 项和 ，且 .na)12(nkS83a（1 ） 求数列 的通项公式；（2 ） 求数列 的前 项和的 .nnT18.（本小
5、题满分 12 分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 名同学（男 女 ） ，给所有同学几何题和代数题各50302一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）几何题 代数题 总计男同学 22 8 30女同学 8 12 20总计 30 20 50（1 ）能否据此判断有 的把握认为视觉和空间能力与性别有关？%5.97（2 ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在 5-7 分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在 6-8 分钟，现甲、乙同时各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；（3 ）现从选择做
6、几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 EX.附表及公式： )(2kP0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828)()(22 dbcabn19.（本小题满分 12 分）正方体 中，沿平面 将正方体分成两部分，其中一部分如图所示，1DCBA1AC过直线 的平面 与线段 交于点 .1M1（1 ）当 与 重合时，求证： ；（2 ）当平面 平面 时，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.CA11CM
7、A1B20.（本小题满分 12 分）已知边长为 的正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线38上.)0(2:pyxC（1 ）求抛物线 的方程；（2 ）已知圆过定点 ，圆心 在抛物线 上运动，且圆 与 x 轴交于 两点，)2,(DMCMBA,设 ，求 的最大值.21,lBlA1l21.（本小题满分 12 分）设函数 .xaxf ln)()(2（1 ）求函数 的单调区间；（2 ）若函数 有两个零点 ，求满足条件的最小正整数 的值；)(xf a（3 ）若方程 有两个不相等的实数根 ，比较 与 0 的大小.)Rc21,x)2(1xf请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按
8、所做的第一题记分.-22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲等腰梯形 中， 交于点 ， 平分 ， 为梯形ABCDBDAC、， QACDBAP外接圆的切线，交 的延长线于点 .P（1 ）求证： ；PQ2（2 ）若 ，求 的长.34,3AB23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ,在以 为极点，xOy1C为 参 数 ）tyx(,2O轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的方程为 .x 2 2sin31（1 ）求曲线 、 的直角坐标方程；1C2（2 ）若 A、B 分别为曲线 、 上的任意点，求 的最小值.12AB24.（本小题满
9、分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数 .)(xxf（1 ）求不等式 的解集；2f（2 ）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.Rxxaf)(a2015-2016 学年度下学期高三 4 月阶段测试数学理科试题答案一、选择题 BAABC BCADD AC二、填空题 13. 14. 15. 16.1)(22yx234三、解答题17.（1） ；（2） .na)(1nnT18.解：（1 ）由表中数据得 的观测值 ，2K 024.56.90230)8(52 所以根据统计有 的把握认为视觉和空间能力与性别有关.%597设事件 为“乙比甲先做完此道题” ，则满足的区域为 ，Ayx ，即乙比甲先解答
10、完的概率为 .812)(P81（3 ） X 可能取值为 0,1,2， ， ，5)0( 732)( 2)(XP所以 X 的分布列为X 0 1 2P 28152881.28150E19.（ 1）证明：连接 ，在正方形 中， ，BC11CCB1正方体 中， 平面 ，DA平面 ， ， 平面 ，B11111A ，即 .CM（2 ）解：正方体 中， 、 、 两两垂直，1DCBAB1分别以 、 、 为 轴建立空间直角坐标系，B1zyx、设 ， ，设 ，aA),0(),(a),0(zM ，设平面 的法向量为 ，,1 zCCA1 ),(11zyxn则 即 令 ，得 ，,01Mn,011axyaz,1az平面 的
11、法向量为 ，A)(2n平面 的法向量为 ，BC,3平面 平面 ， ，得 ， ，CMA1102naz21),2(1an设平面 与平面 所成锐二面角为 ，B则 .3621cos3an20.（ 1） ；（2） .yx421.解：（1） ，)0(1)2()(2)()( xaxxaxaxf当 时， ，函数 在 上单调递增，0a0ff),0(所以函数 的单调增区间为 ，无单调减区间.)(x,当 时，由 得 ；由 得 ，f2ax)(xf2ax所以函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 .)(x,(),0(（2）由（1）得，若函数 有两个零点，则 ，且 的最小值 ，即)xfaxf0)2(af，02ln4aa因为
12、 ，所以 ，4l令 ，显然 在 上为增函数，且l)(h)(ah),0，所以存在 ，0168ln23l4)(,02)( hh 0)(,320ah当 时， ；当 时， ，所以满足条件的最小正整数 .a0a)(h 3又当 时， ，所以 时， 有两个零点，3,)3l()ff a)(xf综上所述，满足条件的最小正整数 的值为 .（3 ） ，结论证明如下：因为 是方程 的两个不等实根，由0)2(1xf 21,xcf)(（1 ）知 .a不妨设 ，则21x,ln)2(111cax,ln)(222xa两式相减得 ，)l(l 212 xx所以 ，212lnlxxa因为 ，当 时， ，当 时， ，0)(f),(a0
13、)(f ),2(ax0)(xf故只要证 即可，即证明 ，21x 2121lnlx即证明 ，2121121 )ln)( x即证明 ，设 ，212lnx0(2txt令 ，则 ，l)(ttg 22)1()(41) tttg因为 ，所以 ，当且仅当 时， ，1t0)(0g所以 在 上是增函数，)(g,又 ，所以当 总成立，所以原题得证.0)(,1tgt22.解：（1 ） 为圆的切线， ， 平分 ，PAABDPCAB，CDB ， ， ， 为圆CB QPP的切线， ， .PBDA2 PBDQ2（2 ） ， ， ，A29 ， ， .989108PDA23.（1） .14:,023: 2yxCyxC（2）设 ，则 ，)sin,co(B 523)4cos(253sincoAB当且仅当 时， .)(4Zk102min24.（1） .30x或（2）当 时， ，原式恒成立；0,2)(af当 时，原式等价转换为 恒成立，即 .0x ax1min12x ，当且仅当 即 时等号)2()121x 0)(1x成立， .1a
