1、 长春市十一高中 2015-2016 学年度高三上学期阶段考试数 学 试 题 （理）一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）1.已知集合 ， ，则 （ ）1xM)1lg(2xyNNMA. B. C. D. 2,1,0),(,02,0)1,(2.若复数 满足： ，则 （ ）zziA. B. C. D. i121i2i3.已知 ，则 （ ）3)4sin(sinA. B. C. D. 311334.已知实数 构成一个等比数列，则圆锥曲线 的离心率为（ ）9,4m12ymxA B C 或 D 或 763076307655. 已知 ， ， ，则 （ ）1a9b24babaA22 B
2、48 C D326. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 3264B. C. D. 87某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 ,则（ ）123A 13aB 2C 体验 探究 合作 展示侧侧侧44442244D 10a8.设 ，且 ，则（ ）Ryx,xy()1A B 2xy2C D2)(yx()9.曲线 与直线 围成的封闭图形的面积是（ ）)0(sinx21yA. B. C. D. 323310已知 为区域 （ ）内的任意一点，当该区域的面积为 时，),(yxP102ax3的最大值是（ ）z2A. B. C. D. 132611. 是椭圆 ： 上的动点，以 为切点做
3、椭圆 的切线 ，交圆PC142yxPCl于 两点，当 的面积最大时，直线 的斜率 （ ）2yxBA,ClkA. B. C. D. 122312. 如图，正方体 的棱长为 ，动点 在对角线 上，过点 作垂1DCBA3P1BDP直于 的平面 ，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为 ，设 ，则当1BD yx时，函数 的值域为（ ）5,x)(xfyA. B. 6,218,62C. D. 1833 PD1 C1B1 A1DCBA二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13.已知向量 ， ，若 与 的夹角为钝角，则实数)2,1(a)3,(bbamn的取值范围是 . 14.已知三棱
4、柱 的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积1CBA为 ， ， ，则此球的表面积等于_.3260,15.设 为等差数列，从 中任取 个不同的数，使这 4 个数仍成等差数列，na10321,a4则这样的等差数列最多有 个.16.给定下列四个命题：（1）若 ， ，则 ；2ba2dcbdac（2） 是等比数列 的前 项和，则必有： ；nSn 2223)()(nnnSS（3）函数 的图像有对称轴；)3si(lg)(xxf（4） 是 所在平面上一定点，动点 P 满足： ，OABC BACOsini，则直线 一定通过 的内心；,0PABC其中正确命题的序号为 .三、解答题（本大题共 6 小题
5、，共 70 分）17. （本小题满分 12 分）在 中，已知 ，ABC34tanBA（1）求 的取值范围；tan（2）若 边 上的高 ，求 面积 的最小值.2CDAS18. （本小题满分 12 分）设数列 满足： ， ， ，na0n2,1a21)(nna（1）设 ，求证： 为等差数列；nb1nb（2）设 ，且 的前 项和为 ，证明： .1nacncnS1n19 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 为等边三角形，ABCDPABPCD，点 为 中点，平面 平面BC2M.AD（1）求异面直线 和 所成角的余弦值；（2）求二面角 的大小.DAP20.（本小题满分 12 分）已知
6、曲线 的图形如图所示，其上半部分是半椭圆 ，下半部分是半圆C )0(12ybxay， （ ） ，半椭圆内切于矩形 ，且 交 轴于点 ，)0(22ybx0baABCDG点 是半圆上异于 的任意一点，当点 位于点 时， 的面积最大.PBA, P)3,6(MP（1）求曲线 的方程；C（2）连接 分别交 于 ，求证： 是定值.D, FE, 2BFA OyxPGFEDCBAMPDCBAEFOB CA D21. （本小题满分 12 分）设函数 ，xxfln)2()Raxg,2)(（1）证明： 是 上的增函数；,0（2）设 ，当 时， 恒成立，求 的取值范围.)()(fF,10)(Fa请考生在第 22、23
7、、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图，正方形 边长为 2，以 为圆心、 为半径的圆弧与以 为直径的半圆ABCDDBC交于点 ，连结 并延长交 于点 .OFE（1）求证： ；E（2）求 的值.23. （本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位，以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，曲xoy x线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 ， （ 是参数， 是1C32cs2C12tymt常数）（1）求 的直角坐标方程和 的普
8、通方程；12（2）若 与 有两个不同的公共点，求 的取值范围.2Cm24. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知： 23)(xxf（1）关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围；af)(a（2）若 ，且 ，求 的取值范围.4)(nmf nm长春市十一高中 2015-2016 学年度高三上学期阶段（12 月）考试数 学 试 题 （理）参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D B C A B C A D D C D二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13. 且
9、 14. 15. 16. 91824三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17.解析：（1）在 中， ，.2 分,由ABC1tan)tan(t BA， 都是锐角，所以 ，34tan, 34tan6)t3C当 时5 分2tt有最小值，故 .6 分Ctan34tanC（2）设 ，则 ，.8 分yBDxA, yBxA2tan,t所以 ，即： ，且 ，分 1034y30,所以： ，当 时“等号”成立32)(21 xyCyxSABC 3yx面积 的最小值为 .12 分318.解析：（1）由条件知： 时， ，所以： .32nnna12 11na分_O _M_D _C_B_A_z_y_x_P由于 ，
10、即： ，故 是首项为 ，公差 的等差数nab11nbn21b1d列5 分（2）由（1）知： ，.6 分21n所以：1211 )()1()()( ananaannn )!(8 分所以： )!(!)()!(1cn.12 分1)!()!1(!32nSn19.解析：解：取 的中点 ，连接 ， 为等边三角形，CDOPCD，又平面 平面 ， 2 分PABABCDOP平 面以 为原点，过点 垂直 的直线为 轴， 为 轴， 为 轴建立xyz如图所示的空间直角坐标系 . ，不妨设yz- ,依题意可得：2BCA则 3 分）， 0,12()30()10(),2( MPD（1） ,从而 ,3，（ AP 2APD6，
11、5 分62cos M或于是异面直线 和 所成角的余弦值为 .6 分PDA（2）因为 ，所以 是平面 的法向量，.8 分BCO平 面），（ 30OPADM设平面 的法向量为 ，又 ，M)(zyxn， )3 12(，由 即 ，令 得 . 10 分0AnP023y，n于是 .11 分23)(1)2(0cos 2OPn或从而二面角 的大小为 . 12 分DAM4520.解析（1）已知点 在半圆上，所以 ，2)3,6( 19362b分当半圆在点 处的切线与直线 平行时， 点到直线 的距离最大，PAGPAG此时 的面积最大.AG所以 ，由于 ，所以 ，由 ，OM2OMkbakA21所以 4 分2a曲线 C
12、 的方程为： 或 5 分)0(12yxy )0(12yx（2） ，设 ，则有： ： ，),(),1(D),(0PPC)1(20xy令 ， ，所以：0y210yxxE 2)1(0yxAE同理： 8 分)(20BF所以：20202 )1()1( yxyxAE20048()xy，又由201，得220xy，代入上式得200848()y20()yOyxPGFEDCBAEFOB CA D204()84y12 分 所以 2AEBF为定值21.解：若证明 是 上的增函数，只需证明 在 恒成立，)(xf),00)(xf),(即： -4 分2lnf 12ln(x012lnx设 ，),0,1l)(2xxh 3234
13、h所以： 在 上递减， 上递增， 最小值),0(,2()(x02ln)(h故： ，所以： 是 上的增函数.-6 分0)ln2) xhxf f,0（2）由 得：ln()( 22axgfFxa2l(在 上恒成立，-8 分,1x设 , 则 ，G22ln)() 2)1(ln)(xxG所以 在 递增， 递减， 递增-9 分(xg),1),(e,所以 的最小值为 中较小的， ，) 02)1(ee所以： ，即： 在 的最小值为 ，-11 分)(Ge)(x,1G只需 -12 分2a22. 解：（1）由以 D 为圆心 DA 为半径作圆，而 ABCD 为正方形，EA 为圆 D 的切线依据切割线定理得 2 分2EA
14、FC另外圆 O 以 BC 为直径，EB 是圆 O 的切线，同样依据切割线定理得 4 分BE故 5 分AB（2）连结 ，BC 为圆 O 直径， FEC在 RTEBC 中，有 7 分=FEC又在 中，由射影定理得RtB10 分2214523.解：（1）由极直互化公式得 ，所以 ；-3)sin(co:22132yx-2 分消去参数 得 的方程： -4 分t2C12mxy（2）由（1）知 是双曲线， 是直线，把直线方程代入双曲线方程消去 得：1 y，-7 分04)(4322 xx若直线和双曲线有两个不同的公共点， 则 ，0)4(12)(16mm解得： -10 分21m或24.解：（1） ，所以 ，若 ，只853,214,)(xxf 2)(minxf axf3)(2需 ，即： -5 分axf3)(min21（2）由于 ，所以 ， ，又2af )(,)(nfmf 4)(nff，所以 ，这样 ，所以 -4)(f 855m-10 分
