1、长春外国语学校 20152016 学年上学期高三第一次质量检测数学（理科）试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、
2、刮纸刀。第卷(选择题 共 60 分)一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合 ， ，若 ，则 （ ）log,32aPbQ,0PQPA B C D0,0, 1,32,1032已知向量 a=（，1） ，b=（+2，1） ，若|a+b |=|a-b |，则实数 的值为( )A1 B2 C-1 D-23设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 S9 等于( )nnS469,A180 B90 C72 D104下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的函数是( ),0A B C D2yx2xy21logyxsin5设复数 iz1，则在复平面内
3、zi对应的点坐标为（ ） A ., B , C 1, D 1, 6如图所示，程序框图的功能是（ ） A求 n前 10 项和 B求 n2前 10 项和 C求 1前 11 项和 D求 前 11 项和7某几何体的三视图如右图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 x的值是（ ）A2 B 92 C 32 D38有下列关于三角函数的命题：，若 ，则 ；1:,()PxkRZtan0xsin0x第 6 题图第 7 题图第 7 题图与函数 的图像相同；23:sin()2Pyx函 数 cosyx；300,coR的最小正周期为 其中的真命题是（ ）4:|函 数 ()2A ， B ， C ， D ， 142P4
4、P31P29设 a，b，c 是空间三条直线， , 是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ） A当 c 时，若 c ，则 B当 时，若 b ，则C当 ，且 c 是 a 在 内的射影时，若 bc，则 abD当 ，且 时，若 c ，则 bc10下列四个结论正确的个数是（ ）若 n组数据 nyx,1 的散点都在 12xy上，则相关系数 1r 由直线 2x曲线 及 轴围成的图形的面积是 2ln 已知随机变量 服从正态分布 ,12N,79.04P则 .0P 设回归直线方程为 xy5.，当变量 增加一个单位时，y平均增加 2.5 个单位A0 B1 C2 D311直线 :,:21lxl 与圆 22
5、nmxy的四个交点把圆 C分成的四条弧长相等，则 m（ ） A . 或 B. 0或 1 C 1 D 112已知函数 f (x)的定义域为 R，且满足 ， 为 f (x)的导函数，又知 (4)ff )(xfy的图像如图所示，若两个正数 满足 ，则 的取值范围是（ ）ba,2baA B C D6,326354，25,4第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分)13二项式 531)x的展开式中常数项为 14记集合 构成的平面区域分别为 M,N，现21,0xyAyB随机地向 M 中抛一粒豆子（大小忽略不计） ，则该豆子落入 N 中的概率为_15已知数列 为等比数列
6、，且 ，则na22013504axd的值为 201420146()a16已知函数 (yfx是定义在 R上的奇函数，对 R都有 成立，当13xff,x且 12时，有 21()ffx , 给出下列命题 (1) ()f在-2，2上有 5 个零点男 女8 8 6 16 86 5 4 3 2 17 65 4 2 18 5 63 2 1 19 0 2ABCDEFABCDEF(2) 点(2016 ，0)是函数 ()yfx的一个对称中心(3) 直线 x=2016 是函数 图像的一条对称轴(4) ff2.9则正确的是 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共 70 分）17. (本小题满分 10
7、分) ABC中，已知角 CBA,的对边分别为 cba,，且 CBA,成等差数列。（1）若 ，求 ca的值；3,2Bb（2）求 sini的取值范围18 （本小题满分 12 分）设数列 n的前 项和 nS满足 312na（1）求证数列 na是等比数列并求通项公式 ；a（2）设 ， nT为 的前 n 项和，求 nT1nb,cbc19 （本小题满分 12 分）某公司从大学招收毕业生，经过综合测试，录用了 14 名男生和 6名女生，这 20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分） 公司规定：成绩在 180 分以上者到甲部门工作，180 分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于 180 分的男生才能担任
8、助理工作（1）如果用分层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中选取 8 人，再从这 8 人中选 3 人，那么至少有一人是甲部门人选的概率是多少？(2)若从所有甲部门人选中随机选 3 人，用 X 表示所选人员中能担任助理工作的人数，写出X 的分布列，并求出 X 的数学期望20 （本小题满分 12 分）正 的边长为 4， 是 边上的高， 、 分别是 和ABCDABEFAC边的中点，现将 沿 翻折成直二面角 .BCC（）试判断直线 与平面 的位置关系，并说明理由；EF（）求二面角 的余弦值；D（）求四面体 ABCD 的外接球表面积.21 （本小题满分 12 分）已知椭圆 + =1（ab0 ) 的离心率
9、为 ，且过点（ ，2xy322).2（1）求椭圆方程；（2）设不过原点 的直线 ： ，与该椭圆交于 、 两点，直线 、Olykxm(0)PQOP的斜率依次为 、 ，满足 ，试问：当 变化时， 是否为定值？若是，Q1k2124k2m求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由22 （本小题满分 12 分）已知函数 axef（1）当 时，求函数 在 处的切线方程；2axf0（2）函数 是否存在零点？若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由xf长春外国语学校 20152016 学年上学期高三第一次质量检测数学（理科）参考答案一、CCBCD BCDBD BA二、13、-10 14、 15、 16、
10、(1).(2).(4)212三、17.（ 1）因为 CBA,成等差数列，所以 3B .1 分因为 23，即 2cosa所以 ac，即 .3 分因为 3b， Bcs22所以 2c，即 3a所以 1a，所以 2c .5 分（2 ）由（1 ）知 CCAsin3sinisn2coiico3.8 分因为 20C，所以 3,2s3C所以 CAsin2的取值范围是 3,2 .10 分18解： （1） 1132nn nSaSa，两式相减得：1123nnna，故数列 是公比为 3 的等比数列。 .3 分又 ， .6 分1n（2） 写出错位相减 .8 分13()nnT.12 分19. 解：（1）用分层抽样的方法，
11、每个人被抽中的概率是 8205， .2 分根据茎叶图，甲部门入选 10 人，乙部门入选 10 人，所以选中的甲部门人选有2054 人，乙部门人选有 21054 人。 .4 分用事件 A 表示至少有一名甲部门人选被选中，则 P(A)=3481C，因此至少有一人是甲部门人选的概率是 134 .6 分(2)依题意，X 的取值分别是 0，1，2，303641CP， 126430CPX264310X， 30641CPX.8 分X 0 1 2 3因此，X 的分布列如下：.10 分所以 X 的数学期望 13190265E .12 分20 （ 1） AB面 DF .4 分（2 ） .8 分72（3 ） 0 .
12、12 分21解：（1）依题意可得22221,3abcab解得 .1,2ba所以椭圆 C 的方程是 .142yx .4 分（2）当 k变化时， 2m为定值，证明如下：由 214yx得， 22484(1)0kxm.设 P ),(1yx，Q ),(2.则 12284kx， 21,*4xk.8 分直线 OP、OQ 的斜率依次为 ,，且 ,P 1/30 3/10 1/2 1/612124ykxmk，得 1212kxmx,将 *代入得： 2，经检验满足 0. .12 分22. （） 1()xfea， 21()()xfea， .2 分2(0)1fa当 时， 03f又 0f .4 分则 x在 处的切线方程为 1yx .6 分（）函数 ()fx的定义域为 (,)(,)a当 ,a时， 0,e，所以 10xfea即 ()fx在区间 (,)上没有零点 .8 分当 ,a时， 1()1xxefea，令 ()xge 只要讨论 的零点即可 ()1)xge， ()0ga当 (,1)xa时， 0x， 是减函数；当 时， (， ()是增函数所以 ()gx在区间 ,)最小值为1ae 显然，当 时， ()0g，所以 1xa是 ()fx的唯一的零点；当 1a时， 1ae，所以 f没有零点；当 时， ()，所以 ()x有两个零点 .12 分
