1、开始m =1, i=1m=m (2-i)+1i= i +1m=0?结束输出 i是否北京市朝阳区 2015-2016 学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 20161（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合 ， ，则 |1Mx|01xNMNA B C D|0|0x|x|10x2复数 （是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为i()zA B C D 1, (1,)(1
2、,)(1,)3执行如图所示的程序框图，则输出的值为A B C D456第 3 题图4在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的 200 辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示若该处高速公路规定正常行驶速度为80 90 100 110 120 130 车速（km/h）频 率组 距0.0050.0100.0200.0300.03590km/h120km/h，试估计 2000 辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 A 辆 B 辆 3030C 辆 D 辆1717第 4 题图5 “ ”是 “函数 在 上单调递增 ”的1a()cosfxaxRA充分不必要条
3、件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6 已知点 及抛物线 上一动点 ，则 的最小值是)0,2(Q24xy(,)PxyPQA B 1 C 2 D 317某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是A27 B30 C32 D36第 7 题图8设函数 的定义域 ，如果存在正实数 ，使得对任意 ，都有()fxDmxD，则称 为 上的“ 型增函数” 已知函数 是定义在 上的(fm()fx ()fR奇函数，且当 时， （ ） 若 为 上的“20 型增函数” ，0aR()f则实数 的取值范围是aA B C D510a20a343正视图 侧视图俯视图第二部分（非选择题 共 110 分
4、）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题卡上 9函数 的最小正周期是 ，最小值是 2sin()1yx10若 ， 满足约束条件 则 的最大值为 21yx ， ， ， zxy11在各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 的最小值是 na2=132a+12甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为 13已知 为圆 ( )上两个不同的点BA, 9)()(:22nymxC,mR（ 为圆心） ，且满足 ，则 C|5AB14已知点 在 的内部，且有 ，记OxOyzC0的面积分别为 若 ，则,ABABAOSS，
5、 ， 1xyz；若 ，则 :OCAOSS2,34xyz:AOBCAOSS三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （本小题满分 13 分）某中学高一年级共 8 个班，现从高一年级选 10 名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取 3 名同学，其它各班各选取 1 名同学现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同） （）求选出的 3 名同学来自不同班级的概率；（）设 X 为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望16 （本小题满分 13 分）如图，在 中，点
6、 在 边上，ABCD， 7,42CD2cos10ADB C（）求 的值； sinC（）若 求 的面积5,BDA17 （本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，PABCDAB且 点 是棱 的中点，平面 与棱60DABEE交于点 PF（）求证： ；（）若 ，且平面 平面 ，PADBC求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值AE18 （本小题满分 14 分）已知函数 ,其中 ()lnfxaaR（）若 在区间 上为增函数，求 的取值范 f1,2围；（）当 时， （）证明： ；ea()20fx（）试判断方程 是否有实数解，并说明理由ln3()xf19 （本小题满分 14 分）已知圆 的切线
7、与椭圆 相交于 ， 两点:O21xy:C234xyAB（）求椭圆 的离心率；C（）求证： ；AB（）求 面积的最大值.20 （本小题满分 13 分）FBDCPEA已知有穷数列： 的各项均为正数，且满足条件：*123,(,3)kaN ； 1ka1,2,1nn k（）若 ，求出这个数列；13,2（）若 ，求 的所有取值的集合；4ka（）若 是偶数，求 的最大值（用 表示） 1k北京市朝阳区 2015-2016 学年度第一学期期末高三年级统一考试数学答案（理工类） 20161一、选择题：（满分 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A D B D A C A B二、填空题：（满分 3
8、0 分）题号 9 10 11 12 13 14答案 ，142141:4:23（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）三、解答题：（满分 80 分）15 （本小题满分 13 分）解：（）设“选出的 3 名同学来自不同班级”为事件 A，则12037749().6CPA所以选出的 3 名同学来自班级的概率为 54960分（）随机变量 X 的所有可能值为 0，1，2，3，则； ； 0371()24CP12730()4CPX； 21370()4CPX3071()2CPX所以随机变量 X 的分布列是X 0 1 2 3P 724240740120随机变量 X 的数学期望 13119()032E分1
9、6 （本小题满分 13 分）解：（）因为 ，所以 cos10ADB7sin10ADB又因为 ，所以 4C4C所以 sini()sincossin4 7722105分（）在 中，由 ，得 ACDADCsini 74sin2510ACD所以 13 分117i252BSB17 （本小题满分 13 分）（）证明：因为底面 是菱形，所以 ACAC又因为 面 ， 面 ，所以 面 PDPPD又因为 四点共面，且平面,BEF平面 ，A所以 5分（）取 中点 ，连接 DG,PB因为 ，所以 PAADzyxGAECDBF又因为平面 平面 ，PADBC且平面 平面 ，A所以 平面 所以 GPG在菱形 中，因为 ，
10、B， 是 中点，60DAD所以 如图，建立空间直角坐标系 设 ，Gxyz2PADa则 ，(0,)(,0)GAa323,(,0)(,3)BCDaa又因为 ，点 是棱 中点，所以点 是棱 中点所以EFPCFP， 所以 ，(,)2a(,)2(,0)2A3(,0)EF设平面 的法向量为 ，则有 所以 A(,)xyzn0,.AFEn3,.zxy令 ，则平面 的一个法向量为 3xFE(3,)因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量BGPAD0GBaPAF因为 ，1cos, 39n所以平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 13PAFE1分18 （本小题满分 14 分）解：函数 定义域 ， ()fx),0(
11、)fxa（）因为 在区间 上为增函数，所以 在 上恒成立，f1,2()0fx1,2即 ， 在 上恒成立，1()0fxa1x,2则 4.2分（）当 时， , ea()e lnfxxe1()xf（）令 ，得 01令 ,得 ， 所 以 函 数 在 单 调 递 增 ()fx(,)e)(xf10,e令 ,得 ， 所 以 函 数 在 单 调 递 减 0f1,(,)所以， max1()()eln2ff所以 成立 920分（）由（）知， ， 所以 max()2f2|)(|xf设 所以 ln3(),0.2xgln1g令 ，得 e令 ,得 ， 所 以 函 数 在 单 调 递 增 ，()0gx(,)(x0,e令 ,
12、得 ， 所 以 函 数 在 单 调 递 减 ；e,g,)所以， ， 即 maxln31()()2eg2(x所以 ，即 |f|)(|xfl所以，方程 没有实数解 14 分|)(|xln3219 （本小题满分 14 分）解：（）由题意可知 ， ，所以 4ab2283cab所以 所以椭圆 的离心率为 3 分63ceC6（）若切线的斜率不存在，则 :1lx在 中令 得 214xyy不妨设 ，则 所以 (1,),AB10OABOAB同理，当 时，也有 :lx若切线的斜率存在，设 ，依题意 ，即 :lykxm21k22km由 ，得 显然 234ykxm2(1)6340设 ， ,则 ， 1(,)Axy2()
13、B1221kx21xk所以 .21212()kmm所以 1Oxy21212()kxkx222346()k2 221)(31)mkm243k22(1)40k所以 OAB综上所述，总有 成立 9 分（）因为直线 与圆 相切，则圆 半径即为 的高，OAB当的斜率不存在时，由（）可知 2则 .1OABS当的斜率存在时，由（）可知， 2211()4kxx222634()311kmk2229(3)(3mkk2 22 21143(1)4k21913k所以24222 44()(01)()6961kkABk（当且仅当242169139k 时，等号成立） 所以 此时, .3k4ABmax23(S)OAB综上所述，当且仅当 时， 面积的最大值为 14O23分20 （本小题满分 13 分）解：（）因为 ，由知 ；13,2ka32a由知， ，整理得， 解得，21210或 21a2当 时，不满足 ，舍去；2231aa所以，这个数列为 3 分1,（）若 ，由知 4k4a1因为 ，所以 12(,23)nna 11(2)()0nnaa所以 或 1nn1(,)na如果由 计算 没有用到或者恰用了 2 次 ，显然不满足条件；1a4 1na所以由 计算 只能恰好 1 次或者 3 次用到 ，共有下面 4 种情况：14 1n
