1、 1专题 7 泰勒公式及其应用 (一) 泰勒公式 定理 1（皮亚诺型余项泰勒公式） 如果 )(xf 在点0x 有直至 n阶的导数，则有 ,)()(!1)(!21)()()(000)(200000nnnxxoxxxfnxxxfxxxfxfxf +=L常称nnxxoxR )()(0= 为 皮亚诺型余项 . 若 00=x ，则得 麦克劳林公式 ： ).()0(!1)0(!21)0()0()()(2 nnnxoxfnxfxffxf +=L 定理 2（拉格朗日型余项泰勒公式） 设函数 )(xf 在含有0x 的开区间 ),( ba 内有 1+n 阶的导数，则当 ),( bax 时有 200000)(!21
2、)()()( xxxfxxxfxfxf += ),()(!100)(xRxxxfnnnn+L 其中10)1()(1)()(+)!+(=nnnxxnfxR，这里 介于0x 与 x 之间，称为 拉格朗日型余项 . 几个常用的泰勒公式 )(!21)1(2nnxxonxxxe +=L )()!12()1(!3sin)2(121213+=nnnxonxxxxL )()!2()1(!21cos)3(222nnnxonxxx +=L )()1(2)1ln()4(12nnnxonxxxx +=+L )(!)1()1(!2)1(1)1()5(2 nnxxnnxxx +=+LL (二) 泰勒公式本质及两个泰勒公式
3、的异同点 21. 本质（相同点） 1）用多项式逼近函数 2) 用已知点信息表示未知点 3) 建立函数与高阶导数的关系 2. 不同点 1）条件不同 皮亚诺型余项： )(xf 在点0x 有直至 n阶的导数 拉格朗日型余项： )(xf 在含有0x 的开区间 ),( ba 内有 1+n 阶的导数 2）余项不同 皮亚诺型余项： nnxxoxR )()(0= ； 定性；局部. 拉格朗日型余项：10)1()(1)()(+)!+(=nnnxxnfxR； 定量；整体. (三) 泰勒公式的应用 1.利用高阶导数研究函数性态 【例 1】 若 ,0)()()(0)1(00=xfxfxfnL)2(0)(0)( nxfn
4、，则当 n为偶数时 )(xf 在0x 处有极值.其中 0)(0)(xfn时极小， 0)(0)(xxfxfx，试证： )0()(3 xxxf . 【例 2】 （1996 年 1,2） 设 )(xf 在0,1上具有二阶导数,且满足条件 axf |)(| , bxf |)(| ,其中 ba, 都是非负常数, c是(0,1)内任一点. （1）写出 )(xf 在点 c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式； （2）证明 .22|)(|bacf + 【证】 （1） 2)(!2)()()()( cxfcxcfcfxf +=（2）在以上泰勒公式中，分别令 0=x 和 1=x 则有 21)0(!2)()0)()()0
5、( cfccfcff +=（1） 22)1(!2)()1)()()1( cfccfcff +=（2） （2）式减（1）式得 )()1)(21)()0()1(2122cfcfcfff += |)(|)1(|)(|21)1()0(|)(|2122cfcfffcf + )1(2222ccba + 5又因为当 )1,0(c 时， ,1)1(22+ cc 故 .22|)(|bacf + 【例 3】 （1999 年 2） 设函数 )(xf 在闭区间 1,1 上具有三阶连续导数，且 0)1( =f ，1)1( =f ， 0)0( =f ，证明：在开区间 )1,1( 内至少存在一点 ，使 3)( = f .
6、【证】 由麦克劳林公式得 32)(!31)0(!21)0()0()( xfxfxffxf += ， 其中 介于 0 与 x 之间， 1,1x . 分别令 1=x 和 1=x ，并结合已知条件，得 01),(61)0(21)0()1(011a 上具有二阶连续导数， 0)0( =f ， （ 1）写出 )(xf 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； （ 2）证明在 , aa 上至少存在一点 ，使 .d)(3)(3=aaxxffa 【解】 （ 1）对任意 , aax ， 22!2)()0(!2)()0()0()( xfxfxfxffxf +=+= ，其中 在 0 与 x 之间 . （ 2） .d)(2
7、1d)(!2d)0(d)(22=+=aaaaaaaaxfxxfxxxfxxf 因为 )(xf 在 , aa 上连续，故对任意的 , aax ，有 Mxfm )( ，其中 M ，6m 分别为 )(xf 在 , aa 上的最大、最小值，所以有 dxxMxfxxxfxxmaaaaaaaa=2222d)(21d)(d2 ， 即 .d)(33 aaMxxfam 因而由 )(xf 的连续性知，至少存在一点 , aa ，使 ,d)(3)(3 =aaxxfaf 即 .d)(3)(3=aaxxffa 【例 5】 设 )(xf 在0,1上二阶可导, 2)(max,0)1()0(10=xfffx.试证存在点)1,0( 使 16)( f . 思考题： 1.试证 ).0(1812112+ xxxx 2. 设 )(xf 在 , ba 上连续，在 ),( ba 内二阶可导，试证存在 ),( ba ，使)(4)()()2(2)(2fabafbafbf =+ . 3. 设 )(xf 三阶可导,且 0)(lim,1)1(,0)1(0=xxfffx,试证存在 )1,1( ,使3)( f . 4. 若 )(xf 在 1,0 上二阶可导,且 0)1()0(,1)1(,0)0( = ffff ,试证: 1,0 ,使 2)( f .
