1、2015-2016 学年吉林省长春外国语学校高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合 A=x|x24，x R，B=x| 4，xZ，则 AB（ ）A （0，2） B0，2 C0，1，2 D0 ，2【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B，找出 A 与 B 的交集即可【解答】解：由 A 中不等式解得： 2x2，即 A=2，2，由 B 中不等式解得：0 x16，x Z，即B=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，1
2、3，14，15，16，则 AB=0，1，2，故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知 i 是虚数单位，则 =（ ）A B C3i D3+i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题【分析】分子分母同乘分母的共轭复数 1i 即可求解【解答】解： 故选 A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法运算是分子分母同乘分母的共轭复数3已知向量=（3，4） ，= （sin，cos ） ，若，则 tan 的值为（ ）A B C D【考点】平行向量与共线向量；同角三角函数间的基本关系【专题】三角函数的求值；平面向量及应用【分析】由平面向量的数量积运算法则计算
3、列出关系式，即可求出 tan 的值【解答】解：向量= （3，4） ，= （sin ，cos ） ， ，3cos=4sin，则 tan=故选 C【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及平面向量与共线向量，熟练掌握基本关系是解本题的关键4已知函数 y=sin4xcos4x 是一个（ ）A周期为 的奇函数 B周期为 的偶函数C周期为 的奇函数 D周期为 的偶函数【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】利用平方差公式及二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简可得 y=cos2x，利用周期公式及余弦函数的图象和性质
4、即可得解【解答】解：y=sin 4xcos4x=（sin 2xcos2x） （sin 2x+cos2x）=sin2xcos2x=cos2x，T= ，利用余弦函数的图象和性质可得此函数为偶函数故选：B【点评】本题主要考查了平方差公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式，周期公式及余弦函数的图象和性质等知识的综合应用，属于基本知识的考查5函数 f（x）=2 x+4x3 的零点所在区间是（ ）A （， ） B （ ，0） C （0 ， ） D （， ）【考点】二分法求方程的近似解【专题】函数的性质及应用【分析】据函数零点的判定定理，判断出 f（）与 f（）的符号相反，即可求得结论【解答】解：函数 f
5、（x）=2 x+4x3 的图象是连续的，且在定义域 R 上为增函数，又 f（）= 20，f（）= 0，故函数 f（x）=2 x+4x3 的零点所在区间是（， ） ，故选：A【点评】本题考查函数的零点的判定定理，解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，属基础题6下列命题中正确的个数是（ ）命题“任意 x（0，+ ） ， 2x1” 的否定是“任意 x（ 0，+） ，2 x1；命题“若 cosx=cosy，则 x=y”的逆否命题是真命题；若命题 p 为真，命题q 为真，则命题 p 且 q 为真；命题“若 x=3，则 x22x3=0”的否命题是“若 x3，则 x22x30”A1 个 B2 个 C3 个 D
6、4 个【考点】命题的真假判断与应用【专题】整体思想；定义法；简易逻辑【分析】根据含有量词的命题的否定进行判断根据逆否命题的等价性进行判断根据复合命题真假之间的关系进行判断根据否命题的定义进行判断【解答】解：命题“任意 x（0，+） ，2 x1” 的否定是“存在 x（0，+） ，2 x1；故错误，命题“若 cosx=cosy，则 x=y”的为假命题，则逆否命题也是假命题；故错误，若命题 p 为真，命题q 为真，则命题 q 为假命题，则命题 p 且 q 为假命题；故错误，命题“若 x=3，则 x22x3=0”的否命题是“若 x3，则 x22x30”故正确，故命题中正确的个数为 1 个，故选：A【点
7、评】本题主要考查命题的真假判断，涉及含有量词的命题的否定，四种命题的关系以及复合命题真假之间关系，比较基础7已知变量 x，y 满足： ，则 z=（ ） 2x+y 的最大值为（ ）A B2 C2 D4【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，设 m=2x+y，利用线性规划的知识求出 m 的最大值即可求出 z 的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 设 m=2x+y 得 y=2x+m，平移直线 y=2x+m，由图象可知当直线 y=2x+m 经过点 A 时，直线 y=2x+m 的截距最大，此时 m 最大由 ，解得 ，即 A（1，2）
8、，代入目标函数 m=2x+y 得 z=21+2=4即目标函数 z=（ ） 2x+y 的最大值为 z=（ ） 4=4故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，数形结合的数学思想是解决此类问题的基本思想8已知椭圆的中心在原点，离心率 ，且它的一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）A B C D【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，写出椭圆的标准方程【解答】解：抛物线 y2=4x 的焦点为（1，0） ，c=1，由离心率 可得 a=2，b 2=a2c2=3，故椭圆的标准方程为 +
9、 =1，故选 A【点评】本题考查椭圆的简单性质，以及求椭圆的标准方程的方法9若两个正实数 x，y 满足+=1，且 x+2ym 2+2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A （，2） 4，+ ） B （ ，4）2 ，+） C （ 2，4） D （4，2）【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】由题意和基本不等式可得 x+2y 的最小值，再由恒成立可得 m 的不等式，解不等式可得 m 范围【解答】解：正实数 x，y 满足+=1，x+2y=（x+2y） （+ ）=4+ +4+2 =8，当且仅当 =即 x=4 且 y=2 时 x+2y 取最小值 8，x+2ym 2+2m 恒成立， 8
10、m 2+2m，解关于 m 的不等式可得4m2故选：D【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题和不等式的解法，属中档题10函数 y=（x+2 ）ln|x| 的图象大致为（ ）A B C D【考点】函数的图象【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】根据函数的零点，单调性及极限思想结合选项使用排除法得出答案【解答】解：令 y=（x+2 ）ln|x|=0 得 x=2 或 x=1 或 x=1，该函数由三个零点，排除 B；当 x2 时，x+20，|x| 2，ln|x|ln20，当 x 2 时，y=（x+2）ln|x|0，排除 C，D故选 A【点评】本题考查了函数图象的判断，常从单调性
11、、奇偶性、特殊点、定义域等几个方面进行判断11已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、B 两点，且| |=| |，其中 O 为原点，则实数 a 的值为（ ）A2 B2 C2 或 2 D 或【考点】直线和圆的方程的应用；向量的模；向量在几何中的应用【专题】计算题【分析】条件“| |=| |”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积|2=| |2， =0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出 A、B 两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法【解答】解：由| |=| |得| |2=| |2， =0， ，三角形 AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为
12、 ，即 = ，a=2，故选 C【点评】若非零向量 ， ，满足| |=| |，则 模的处理方法一般进行平方，转化成向量的数量积向量是既有大小，又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁12记 ， ， ，其中 e 为自然对数的底数，则 a，b，c这三个数的大小关系是（ ）Aabc Ba bc Cbc a Dbac【考点】对数值大小的比较【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】利用对数函数性质求解【解答】解： =+1，= ，= ，e2.71828， ln21，b ac故选：D【点评】本题考查三个数的大小的比较，
13、是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13双曲线 =1 的离心率为 【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线解析式得出 a 与 b 的值，再利用双曲线的简单性质求出 c 的值，即可求出离心率 e【解答】解：由双曲线解析式得：a=2，b=2 ，c= =2 ，则双曲线的离心率 e= ，故答案为： 【点评】此题考查了双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的简单性质是解本题的关键14己知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点则 的值为 1 【考点】平
14、面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】直接利用向量转化，求出数量积即可【解答】解：因为 = = = =1故答案为：1【点评】本题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力15已知点 P（x，y）满足 ，过点 P 的直线与圆 x2+y2=50 相交于 A，B 两点，则|AB|的最小值为 2 【考点】简单线性规划；直线与圆的位置关系【专题】计算题；方程思想；数形结合法；直线与圆；不等式【分析】由约束条件作出可行域，求出可行域内到原点距离最远的点，然后结合弦心距、圆的半径及弦长间的关系得答案【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 A（2，5 ） 由图可知，可行域内的点中，A 1
15、到原点的距离最大，为 ，|AB|的最小值为 2 故答案为： 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了直线与圆位置关系的应用，是中档题16已知数列a n满足 a1=60，a n+1an=2n， （nN *） ，则 的最小值为 【考点】数列递推式【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】利用累加法求出 an=n2n+60，从而 =n+ 1，由此能求出 的最小值【解答】解：数列a n满足 a1=60，a n+1an=2n， （n N*） ，an=a1+（a 2a1）+（a 3a2）+ +（a nan1）=60+2+4+2（n1）=60+2=n2n+60，
16、 = =n+ 1，由 n= ，nN *，得 n=8 时，取最小值：8+ = 故答案为： 【点评】本题考查数列的前 n 项和与项数 n 的比值的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意累加法和基本不等式的合理运用三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共 70 分）17如图ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，满足 =0sinBAC= ， AB=3 ，BD= （）求 AD 的长；（）求 cosC【考点】余弦定理的应用；正弦定理【专题】计算题；解三角形【分析】 （I）通过向量的数量积，判断垂直关系，求出 cosBAD 的值，在ABD 中，由余弦定理求 AD 的长；（）在ABD
17、中，由正弦定理，求出 sinADB，通过三角形是直角三角形，即可求cosC【解答】解：（） =0，ADAC， ，sinBAC= ， （2 分）在ABD 中，由余弦定理可知 BD2=AB2+AD22ABADcosBAD，即 AD28AD+15=0，解之得 AD=5 或 AD=3 （ 6 分）由于 ABAD，AD=3.（7 分）（）在ABD 中，由正弦定理可知 ，又由 ，可知 ， = ，ADB=DAC+C，DAC= ， （12 分）【点评】本题考查解三角形，余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力18已知数列a n是公差大于零的等差数列，数列 bn为等比数列，且a1=1，b 1=2，b 2a2=1
18、，a 3+b3=13（）求数列a n和b n的通项公式（）设 cn=anbn，求数列c n前 n 项和 Tn【考点】数列的求和；等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】 （）设数列a n的公差为 d（d0） ，数列b n的公比为 q，由题意列方程组求得公差和公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（）把数列a n和b n的通项公式代入 cn=anbn，然后直接利用错位相减法求数列c n前n 项和 Tn【解答】解：（）设数列a n的公差为 d（d0） ，数列b n的公比为 q，由已知得： ，解得： ，d 0， d=2，q=2， ，即 ；（）c n=anbn=（2n 1）2 n， ，
19、得：=223242n+1+（2n 1） 2n+1=6+（2n 3）2 n+1【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题19已知直线 l：y=kx+1 ，圆 C：（x1） 2+（y+1） 2=12（1）试证明：不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点；（2）求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】 （1）联立直线 l 与圆 C 方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，根据根的判别式恒大于 0，得到不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点；（2）设直线与圆相交于 A（ x1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，表示出直线 l 被圆 C 截得的弦长，设t= ，讨论出 t 的最大值，即可确定出弦长的最小值【解答】解：（1）由 ，消去 y 得到（k 2+1）x 2（2 4k）x7=0，
