1、2016 届北京市大兴区高三下学期 4 月统一练习数学（理） 试题 含解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数 )1(iz，则 z等于（ ）A1 B 2 C 3 D2【答案】B【解析】试题分析： 21,1ziiz，故选 B.考点：1、复数的模；2、复数的运算.2.在方程 (2cos,inyx为参数）所表示的曲线上的点是（ ）A )7,( B )32,1( C )21,( D(1,0)【答案】C考点：参数方程的应用.3.设公差不为零的等差数列 na的前 n项和为 nS，若 )(234a，则 47S等于
2、（ ）A 47 B 514 C7 D14【答案】C【解析】试题分析：设等差数列 na的首项为 1a,公差为 d,由 423a,得 11463ad,得1ad, 所以 47S1614273ad，故选 C.考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前 n项和公式.4.将函数 y=sin2x 的图像向左平移 4个单位得到函数 )(xgy的图像，则 )(xg的一个增区间是（ ）A )4,( B )2,0( C ),2( D 5,3【答案】C考点：1、三角函数的平移变换；2、诱导公式及三角函数的单调性.5.使“ab”成立的一个充分不必要条件是（ ）A 1ba B 1ba C 2ba D 3【答案】A【解
3、析】试题分析：因为选项 B 是必要不充分条件,C 是既不充分也不必要的条件, D 是充要条件，1ab成立一定有 ab成立，而 ab成立 1不一定成立，所以 ab成立的充分不必要条件是 , 故选 A.考点：1、不等式的性质；2、充分条件与必要条件.【方法点睛】本题通过几个不等式主要考查不等式的性质、充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件 p和结论 q分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 ,pq.对 于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.6.下列函数： 1xy；
4、 3)1(xy； 1log2xy； xy)21(中，在 ),0(上是增函数且不存在零点的函数的序号是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：因为的零点是 1、的零点是 2；都是在 ),0(上是增函数且不存在零点的函数，所以符合题意函数的序号是，故选 A.考点：1、函数的单调性；2、函数的零点.7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（ ）A12 B10 C8 D6【答案】D考点：1、几何体的三视图；2、三角形面积公式.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点
5、.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题 的关键，不但要注意三视图 的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.8.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数” .下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）A336 B510 C1326 D3603【答案】B【解析】试题分析：由题意，图中表示的是七进位制 71326，化为十进位制得，321776510,故选 B.考点：1、数学建模能力；2、进位制及等比数列求和.【思路点睛】本题主要考查阅
6、读能力、数学建模能力和化归思想、进位制及等比数列求和，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：对“满七进一” ，的理解，进而转化为“七进 制” 的理解和等比数列求和公式的 应用 .第卷（非选择题共 110 分）二、填空题（本大题共 6 小题，每题 5 分，满分 30 分）9. 5)1(x展开式中 2x的系数等于_.【答案】 0考点：二项展开式的通项及系数.10.已知向量 )2,(),1(xba，且 )(ba，则实数 x
7、等于_.【答案】 9【解析】试题分析：由向量 )2,(),1(xba得 1,4abx因为 )(ba，所以 1,4x2A0， 9x.故答案为 . 考点：1、平面向量数量积公式；2、向量垂直的性质.11.若双曲线 )0,(12bay的一条渐近线方程是 02yx，则它的离心率等于_.【答案】 5【解析】试题分析：因为双曲线 )0,(12baxy的一条渐近线方程为20,5xyabc,所以双曲线的离心率是 52cea，故答案为 5.考点：1、双曲线的性质；2、双曲线的渐近线及离心率.12.为了普及环保知识，增强环保意识，随机抽取某大学 30 名学生参加环保知识测试，得分（10分制）如图所示，假设得分的中
8、位数 em，众数为 0，平均数为 x，则 em， 0， x之间的大小关系是_.【答案】 xme0考点：1、条形图的应用；2、众数、中数、平均数的求法.13.已知 AB 是圆 O 的直径，AB=1，延长 AB 到 C，使得 BC=1，CD 是圆 O 的切线，D 是切点，则 CD等于_，ABD 的面积 等于_.【答案】 2 6考点：1、圆的性质及切割线定理的应用；2、三角形面积公式.【方法点睛】本题主要考查三角形面积公式、圆的性质及切割线定理的应用，属于中档题. 圆的性质与相交弦定理、切割线定理的综合应用是高考命题热点，在实际应用过程中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，遇到切线和割线就要想到
9、切割线定理，同时，与定理有关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分，做题过程中还要注意与相识三角形的性质相结合.14.已知函数 3,14)(2xxf，若在其定义域内存在 ),2(Nn个不同的数nx,21，使得 nxfxff )()(21，则 n 的最大值是_；若 2n，则nxf)(的最大值等于_.【答案】 3 42【解析】试题分析：画出函数 3,14)(2xxf的图象，如图，使得nxfxff)(21的 n,21的个数就是直线 ykx与 f的图象交点个数，由图知直线 yk与 f的图象交点个数最多有三个，所以 n的最大值是是 3；当2n时 nxf)(的最大值就是直 线 ykx与 243,1x的图象
10、相切时 k的值，由判别式可得 43k，即 nxf)(的最大值是 ，故答案为 423.1 2 3 4-1-2-1-212xyO考点：1、分段函数的解析式和图象；2、直线的斜率及数形结合思想的应用.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式和图象、转化与划归思想、直线的斜率及数形结合思想的应用，属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运
11、用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分 13 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB=4， 32AC， BDAC2,31cos.（1）求 sinB；（2）若 AB=4AD，求 CD 的长.【答案】（1） 36sinB；（2） 3CD.（2）因为 4AB,且 AD，所以 1.因为 D，所以 B2sin1cos，即 321cos，由余弦定理知， CDAcos22，即 CD123， 0323， 0)13)(C
12、D，解得 3CD.考点：1、同角三角函数之间的关系；2、正弦定理及余弦定理.16.（本小题满分 12 分）2015 年，中国社科院发布中国城市竞争力报告，公布了中国十佳宜居城市和中国十佳最美丽城市，见下表：（1）记“中国十佳宜居城市” 和“中国十佳最美丽城市”得到的平均数分别为 1x与 2，方差分别为 2s与2， 试比较 1x与 2， 1s与 2的大小；（只需写出结论）；（2）某人计划从“ 中国十佳最美 丽城市” 中随机选 取 3 个游览，求选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率；（3）旅游部门从“ 中国十佳宜居城市 ”和“中国十佳最美丽城市”中各随机选取 1 个城市进行调研，用 X
13、表示选到的城市既是“ 中国十佳宜居城市 ”又是“中国十佳最美丽城市”的个数（注：同一城市不重复计数），求 X 的分布列和数学期望.【答案】（1） 1x2， 1s2；（2） 3；（3）分布列见解析， 1925.由已知，既是“ 中国十佳宜居城市 ”又是“中国十佳最美丽城市”的城市有 4个：深圳，惠州，信阳，烟台.所以 32)(31046CAP.（3） 0,12X, 259)(106， 25130)1(10644CXP，253)(104CP，则 X的分布列为 012P259253531325190EX.考点：1、平均值和方差的应用；2、古典概型概率公式及离散型随机变量的分布列与期望.17.（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，ADCD，BC=2，AD=CD=1，M 是 PB 的中点.（1）求证：AM平面 PCD；（2）求证：平面 ACM平面 PAB；
