1、2016 届北京市大兴区高三 4 月统一练习数学（理）试题 数学（理科）第卷（共 40 分）一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数 ，则 等于（ ）)1(izzA1 B C D2232.在方程 为参数）所表示的曲线上的点是（ ）(cos,inyxA B C D(1,0)7,2()32,1)21,(3.设公差不为零的等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 等于（ ）anS)(324a47SA B C7 D14475144.将函数 y=sin2x 的图像向左平移 个单位得到函数 的图像，则 的一个增区间是（
2、）)(xgy)(xgA B C D),()2,0(,245,35.使“ab”成立的一个充分不必要条件是（ ）A B C D1ba1ba2ba3ba6.下列函数： ； ； ； 中，在 上是增函数xy3)(xy1log2xyxy)2(),0(且不存在零点的函数的序号是（ ）A B C D7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（ ）A12 B10 C8 D68.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）A336 B510 C13
3、26 D3603第卷（共 110 分）二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上）9. 展开式中 的系数等于_.5)1(x2x10.已知向量 ，且 ，则实数 x 等于_.),(),1(ba)(ba11.若双曲线 的一条渐近线方程是 ，则它的离心率等于_.0,2xy 02y12.为了普及环保知识，增强环保意识，随机抽取某大学 30 名学生参加环保知识测试，得分（10 分制）如图所示，假设得分的中位数 ，众数为 ，平均数为 ，则 ， ， 之间的大小关系是_.em0xem0x13.已知 AB 是圆 O 的直径，AB=1，延长 AB 到 C，使得 BC=1，CD 是圆 O 的切线，D
4、 是切点，则 CD 等于_，ABD 的面积等于_.14.已知函数 ，若在其定义域内存在 个不同的数3,14)(2xxf ),2(Nn，使得 ，则 n 的最大值是_；若 ，则 的最大值nx,21 nfff )()(21 nxf)(等于_.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分 13 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB=4， ， .32ACBDAC2,31cos（1）求 sinB；（2）若 AB=4AD，求 CD 的长.16.（本小题满分 12 分）2015 年，中国社科院发布中国城市竞争力报告，公布了中国十佳宜居城市和中
5、国十佳最美丽城市，见下表：（1）记“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”得到的平均数分别为 与 ，方差分别为1x2与 ，试比较 与 ， 与 的大小；（只需写出结论）；2s1x21s2（2）某人计划从“中国十佳最美丽城市”中随机选取 3 个游览，求选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率；（3）旅游部门从“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”中各随机选取 1 个城市进行调研，用X 表示选到的城市既是“中国十佳宜居城市 ”又是“中国十佳最美丽城市”的个数（注：同一城市不重复计数），求 X 的分布列和数学期望 .17.（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA
6、底面 ABCD，ADBC，AD CD ，BC=2 ，AD=CD=1，M 是 PB 的中点.（1）求证：AM平面 PCD；（2）求证：平面 ACM平面 PAB；（3）若 PC 与平面 ACM 所成角为 30，求 PA 的长.18.（本小题满分 13 分）已知函数 ，其中 .xaxf )12(ln)(0a（1）当 时，求 在点 处的切线方程；2a)f,f（2）求 的单调区间；)(xf（3）当 a0 时，判断函数 零点的个数.（只需写出结论）.)(xf19.（本小题满分 14 分）已知椭圆 的长轴长为 ，右焦点 F(1,0)，过 F 作两条互相垂直的直线分别交)0(1:2bayxG32椭圆 G 于点
7、 A，B 和 C，D，设 AB，CD 的中点分别为 P，Q.（1）求椭圆 G 的方程；（2）若直线 AB，CD 的斜率均存在，求 的最大值，并证明直线 PQ 与 x 轴交于定点.OQ20.（本小题满分 13 分）数列 是由 1,2,3，.，2016 的一个排列构成的数列，设任意 m 个相邻项的和构成集合 B，即na.miinmaxB12016,（1）若 m=8，求 B 中元素的最大值；（2）下列两种情况下，集合 B 能否为单元素集，若能，写出一个对应的数列 ，若不能，说明理由.na ；251,0,8,knm .673（3）对于数列 ，若 m=8，记 B 中元素的最大值为 S，试求 S 的最大值
8、.na北京市大兴区 2016 年高三统一练习高三数学（理科）参考答案一、选择题：BCCCAADB二、填空题9.10 10.9 11. 12. 13. 14.5xme0 62, 324,三、解答题15.解：（1）因为 ，),(,31cosACB所以 ，2)(sinACB由正弦定理知， ，即 ，解得 .ACBsini 324sin36sinB（2）因为 AB=4 且 AB=4AD，所以 AD=1.因为 ，所以 ，BDD2sin1cos即 ，321cos（2）记选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”为事件 A，由已知，既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的城市有 4 个：深圳，惠州
9、，信阳，烟台.所以 .32)(31046CAP（3）X=0,1,2， ，259106)0(6X 25130)1(10644CXP，3)2(104CP则 X 的分布列为X 0 1 2P 25925353.1325190E17.（1）证明：取 PC 中点 N，连接 NM，ND，因为 M 为 PB 的中点，N 为 PC 的中点，所以 MNBC 且 ，BC21因为 ADBC 且 ，AD所以 MNAD 且 MN=AD，所以 AMND 为平行四边形，所以 AMND.又因为 AM 平面 PCD，DN 平面 ABCD，所以 AM平面 PCD.（2）证明：因为 PA平面 ABCD，AC 平面 ABCD，所以 P
10、AAC.因为 AD=CD=1，ADCD，所以 ，2AC因为ABC 中， ACB=45， ，BC=2 ，所以 .2AB因为 ，所以 CAB=90，所以 ACAB，22BAC又因为 PAAB=A，所以 AC平面 PAB，又因为 AC 平面 ACM，所以平面 ACM平面 PAB.（3）过 C 作 KCPA ，则 KC平面 ABCD.因为 CD，CB，CK 两两垂直，如图建立空间直角坐标系 C-xyz，则 C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(0,2,0),设 P(1,1,a)(a0)，则 ，)2,31(aM设平面 ACM 的法向量为 ， ， ，zyxn)0,1(CA)2,31(aM则 即,0nCA
11、231,0a设 x=1，则 y=-1， ，所以 ， ，z),1(n),1(aP设直线 PC 与平面 ACM 所成角为 ，则 ，2142,cosin anCP解得 ，所以 .2aA18.解：（1）当 时， ， ，xxf52ln)(541)(xf，所以切线方程为 y+3=0.0)1(,3)(ff（2） 的定义域： ，xx，xaxaaf )2(1)2()12(1)( 令 ， ，0xfx,21当 a1，)(f 0)(xf的增区间为(0,1) ， 的减区间为 .)(xf )(xf,1当 时， 恒成立， 在 上单调递增，21a0)(ff)(当 时， ，01 或 ， ， ，21a0)(fx)(xx所以 的增
12、区间为 ， ， 的减区间为 .)(xf)2,a),1(f)1,2(a（3）当 a0 时，零点的个数为 1.19.解：（1）由题意，c=1， ，所以 ，33a所以 ，所以椭圆 G 的方程为 .21322cab 12yx（2）证明：F（1,0），由题意设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)(k0）由 ，消元得 ，13)(2yxk 63)23(2kxk设 ，则 ，),(),(21yxBA23,021kx所以 AB 的中点 P 的坐标为 ，),(22又由题意直线 CD 的方程为 ，1xky同理可得 CD 的中点 Q 的坐标为 ，)32,(k所以 2422 1365)3(39kkOQP.6516522
13、kk当且仅当 ，即 时， 有最大值 .21OQP51又当直线 PQx 轴时， ，即 时，323k这时直线 PQ 的方程为 ，恒过定点 .5)0,5(当直线 PQ 有斜率时，直线 PQ 的斜率为 ，)1(352322kkkPQ所以直线 PQ 的方程为 ，)()1352xkky令 y=0，得 ，恒过定点 ，53)2(96)(56322 x )0,53(综上所述，直线 PQ 恒过定点 .0,20.解：（1）B 中元素的最大值x=2016+2015+2014+2013+2012+2011+2010+2009=16100.（2）数列：2016,1,2015,2,2014,3，.，1009,1008 能使
14、集合 B 只有一个元素，这时 ),108,2(2017),108,2( nanan )251,0() 86842878538118 kaakkkkkkki=(2017-(4k+1)+2-17-(4k+2)+2017-(4k+3)+2017-(4k+4)+(4k+1)+(4k+2)+(4k+3)+(4k+4)=20174=8068，所以 .06B当 m=3，n=3k，k=0,1,2,.,671 时，没有这样的数列 使集合 B 只有一个元素.na证明：假设存在一个数列 使集合 B 只有一个元素，由题意，数列 中的 2016 个数分为 672 段，每na na段和都相等，设和为 T，则有 ，2367
15、012)016(21672 所以 ，与 T 是整数矛盾，假设不成立 .23017T当 时，没有这样的数列 使集合 B 只有一个元素.671,20,3,knmna（3）S 的最小值为 8068.由题意 ，8108,),ax(iin所以 ，即 .207620S6S要求所有 S 中的最小值，我们构造这样的数列 na),108,2(),108,(01722 nann设任意相邻 8 项的和为 ，则T=(n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(2017-n-1)+(2017-n-2)+(2017-n-3)-(2017-n-4)7212nnaT=20164=8064(n=1,2,.,1004)或 72172126221 )( nnnnn aaa=8064+(2017-n)-(2017-n-4)=8068，(n=1,2,.,1005),所以 ，即对这样的数列 ，S=8068，806Tn又因为 ，所以 S=8068.S
