1、2016 届上海市闸北区高三第二学期数学（理、文合卷）期中练习卷考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码3. 本试卷共有 18 道试题，满分 150 分考试时间 120 分钟一、填空题（60 分）本大题共有 10 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得 6 分，否则一律得零分1设函数 ()(01xfaa且 ） ，且 ()3f，则 (0)1(2)ff的值是 2已知集合 |2|A， 2|Bx，若 BA，则实数 a的取值范围是 3如果
2、复数 z满足 |1且 2zabi，其中 ,R，则 ab的最大值是 4 （理 ）在直角坐标系 xoy中，已知三点 (1)2,(3,4)AC，若向量 O， B在向量 C方向上的投影相同，则 34的值是 （文）已知 x、 y满足50xy,若使得 zaxy取最大值的点 (,)xy有无数个,则 a的值等于 5 （理）某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以 为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是以 70元、 56元、 420元，则参加此次大赛获得奖金的期望是 元（文） ）在直角坐标系 xoy中，已知三点 (,1)2,(3,)AaBbC，若向量 OA， B在向量
3、C方向上的投影相同，则 34ab的值是 6已知 1F、 2是椭圆2:(0)C的两个焦点， P为椭圆上一点，且 12PF，若P的面积为 9，则 7 AB中， ,abc分别是 ,AB的对边且 22acba，若 ABC最大边长是 7且sin2i，则 最小边的边长为 8 （理）在极坐标系中，曲线 sin2与 si的公共点到极点的距离为_（文）设等差数列 na的公差为 d，若 134567,aa的方差为 1，则 d= 9 （理）如右图， A、 B是直线 l上的两点，且 2AB，两个半径相等的动圆分别与 相切于 A、 B两点， C是这两个圆的公共点，则圆弧 C，圆弧 与线段 围成 图形面积 S的取值范围是
4、 CBA l（文）已知函数 2cos,|1()xf，则关于 x的方程 2()320fxf的实根的个数是 个 10 （理）设函数 2()1fx，对任意 ,23x， 24()1)4(fmfxfm 恒成立，则实数 m的取值范围是 （文）设函数 ()fx,对任意 1,)x， ()(0fxf恒成立，则实数 的取值范围是 二、 选 择 题 （ 15 分 ） 本 大 题 共 有 3 题 ， 每 题 都 给 出 四 个 结 论 ， 其 中 有 且 只 有 一 个 结 论 是 正 确的 ， 必 须 把 答 题 纸 上 相 应 题 序 内 的 正 确 结 论 代 号 涂 黑 ， 选 对 得 5 分 ， 否 则 一
5、 律 得 零 分 .11 （理）已知 a与 b均为单位向量，其夹角为 ，则命题 :P|1ab是命题 5:,)26Q的( )A充分非必要条件 B必要非充分条件C充分且必要条件 D非充分且非必要条件（文）若一个长方体共顶点的三个面的对角线长分别是 ,abc，则长方体的对角线长是( )A 22abc B22abcC D 3(2bca12 （理）已知 ,SC是球 O表面上的点， SA平面 B， AC， 1SAB2B，则球 的表面积等于（ ）A 4 B 3 C 2 D （文）已知 a与 b均为单位向量，其夹角为 ，则命题 :P|1ab是命题 5:,)26Q的( )充分非必要条件 B必要非充分条件C充分且
6、必要条件 非充分且非必要条件13已知数列 na的前 项和为 nS，对任意正整数 n， 13naS，则下列关于 na的论断中正确的是（ ）A一定是等差数列 B一定是等比数列 C可能是等差数列，但不会是等比数列 D可能是等比数列，但不会是等差数列三、解答题（本题满分 75 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤14 （理） （本题满分 12 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 7 分）在长方体 ABCD中， AB， 1D， A，点 E在棱 AB上移动D1.A1C1EA BCDB1（1）探求 AE多长时，直线 1DE与平面D成 45角；（2）点
7、移动为棱 B中点时，求点 到平面 1AC的距离14 （文） （本题满分 12 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 7 分）如图几何体是由一个棱长为 2 的正方体 1ABCD与一个侧棱长为 2 的正四棱锥1PABCD组合而成（1）求该几何体的主视图的面积；（2）若点 E是棱 的中点，求异面直线 AE与 1P所成角的大小（结果用反三角函数表示）.15 （本题满分 14 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分）某公司生产的某批产品的销售量 P万件（生产量与销售量相等）与促销费用 x万元满足42xP(其中 ax0， 为正常数)已知生产该批产品还需投入成本 )1(6P万元(不含促销费用)，产
8、品的销售价格定为 24(元件（1）将该产品的利润 y万元表示为促销费用 x万元的函数；（2）当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？A1 B1C1D1ECBAPD.16 （本题满分 15 分，第（1）小题 7 分，第（2）小题 8 分）已知函数 ()sin)fx(0,)的周期为 ，图象的一个对称中心为 ,04.将函数 ()fx图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移 2个单位长度后得到函数 ()g的图象（1）求函数 f与 x的解析式；（2） （理）求证：存在 0(,)64，使得 0()fx， 0g， 0()fxg能按照某种顺序成等差数列（文）定义：当函
9、数取得最值时，函数图像上对应的点称为函数的最值点，如果函数 ()3sinxyFxk的图像上至少有一个最大值点和一个最小值点在圆 22(0)xyk的内部或圆周上，求 的取值范围17 （本题满分 16 分，第（1）小题 8 分，第（2）小题 8 分）若动点 M到定点 (0,)A与定直线 :3ly的距离之和为 4（1）求点 的轨迹方程，并在答题卡所示位置画出方程的曲线草图；（2） （理）记（1）得到的轨迹为曲线 C，问曲线 上关于点 (0,)BtR对称的不同点有几对？请说明理由（文）记（1）得到的轨迹为曲线 ，若曲线 上恰有三对不同的点关于点 (0,)BtR对称，求t的取值范围18 （本题满分 18
10、 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（2）小题 8 分）已知数列 na ， S为其前 n项的和，满足 (1)nS（1）求数列 的通项公式；（2）设数列 1na的前 项和为 nT，数列 n的前 项和为 nR，求证：当 2,*nN时1()RT；（3） （理）已知当 *N，且 6时有 1(1)(32nm，其中 1, ，求满足4(2)(3)nann的所有 的值（文）若函数 1qxfxp的定义域为 R，并且 li()0*)nfaN，求证 1pq高三数学（理文合卷）期中练习卷参考答案一、 填空题1、 2 2、 3a 3、 2 4、 （理） 2；（文） 1 5、 （理） 0；（文）26、 3
11、 7、 8、 （理） 1；（文） 1 9、 （理） (,；（文）5 10、 （理） 2m或 ；（文） m二、 11、 B 12、 （理） A；（文） B 13、 C 三、14、 （理） （本题满分 12 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 7 分）解：（1）法一：长方体 1CD中，因为点 E在棱 A上移动，所以 EA平面 1，从而 为直线 1D与平面 1所成的平面角，1Rt中， 452A. 5 分法二：以 D为坐标原点，射线 1,C依次为 ,xyz轴轴，建立空间直角坐标系，则点1(0,)，平面 1的法向量为 (0,)D，设 (1,0)E，得 1(,)DEy，由1sin4DEC，得 2y，故
12、 2AE （2）以 为坐标原点，射线 1,DC依次为 ,xyz轴，建立空间直角坐标系，则点 (1,0)E，1(,0)A， 1(,2)，从而 ,， 1(0,)， (,0)E 3 分设平面 1DC的法向量为 ,nxyz，由 1nDAC02xzy令 (,)2n，所以点 E到平面 1的距离为Edn1. 4 分14、 （文） （本题满分 12 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 7 分）解：（1）画出其主视图（如下图） ， 可知其面积 S为三角形与正方形面积之和.在正四棱锥 1PABCD中，棱锥的高 h，24. 5 分（2）取 1中点 1E，联结 1， 1AE则 PA为异面直线 与 P所成角. 在
13、1P中， 11,2AEP，又在正四棱锥 1BCD中，斜高为 3，由余弦定理可得 145cos102AE 6 分所以 13ar0PAE，异面直线 与 PA所成的角为 3arcos510.1 分15、 （本题满分 14 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分）解：（1）由题意知， )1()4(pxpy 将 2xP代入化简得： x2349 （ 0a）. 6 分（2） 1)(162)16(3 xy ，上式当且仅当 ,即 时，取等号。 4 分当 2a时, 促销费用投入 2万元时，厂家的利润最大; 当 2a时,易证 y在 x0,a上单调递增, 所以 xa时,函数有最大值。综上：当 时, 促销费用投
14、入 2 万元，厂家的利润最大;当 0时促销费用投入 万元，厂家的利润最大4 分16、 （本题满分 15 分，第（1）小题 7 分，第（2）小题 8 分）解：(1)、由函数 ()sin)fx的周期为 ， 0，得 2T,又曲线 y的一个对称中心为 ,4， (,)，故 sin204f，得 2，所以 cos2fx 4 分将函数 ()x图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变)后可得 cosyx的图象，再将cosy的图象向右平移 个单位长度后得到函数 =sg的图象，所以 ()ingx 3 分(2)、 （理）当 ,64x时， 12sinx， 10cos2x，所以 sinco2ico 3 分问题转化
15、为方程 i在 ,64内是否有解设 ()sics2Gxxx， ,1064， ()0，且函数 ()x的图象连续不断，故可知函数 ()Gx在 ,64内存在零点 0x5 分（文）函数 yF当 (2nZk时取得最大值或最小值，当 2kn，即与原点距离最近的的最大值和最小值点分别是点 ,3)k和 (,3)2k，于是有 2()3k，所以 的取值范围是 2k 8 分17、 （本题满分 16 分，第（1）小题 8 分，第（2）小题 8 分）解： ()、设 (,)Mxy，由题意 (1)|3|4xy 4 分 ：当 3时，有 22，化 简得： 24 ：当 y时，有 22(1)7xyy，化 简得： 21()x（二次函数
16、）综上所述：点 M的轨迹方程为24,31()yx（如图） 4 分()、 （理）当 0t或 显然不存在符合题意的对称点当 04t时，注意到曲线 C关于 y轴对称，至少存在一对（关于 y轴对称的）对称点下面研究曲线 上关于 (,)Bt对称但不关于 轴对称的对称点 设 0(,)Pxy是轨迹 24xy3)上任意一点，则 2004(3)xy，它关于 (0,)Bt的对称点为2Qt，由于点 Q在轨迹 21()y上，所以 00()1(4)xty，联立方程组2001(4)xyt（*）得0042yt，化简得 006(3)yt 当 (,3)时， (2,)t，此时方程组(*) 有两解，即 增加有两组对称点。 当 0y
17、时， t，此时方程组(*)只有一组解，即增 加一组对称点。 （注：对称点为 (0,)P， (,4)Q） 当 03y时， t，此时方程组(*) 有两解为 (23,)(,3)PQ，没有增加新的对称点。综上所述：,4(02)1,34ttt 不 存 在对， 对（ ， 对） ， 对8 分(2)、 （文）若 0(,)xyC，则 0(,)xyC，所以曲线 关于 y轴对称，所以一对存在关于 轴对称的对称点下面研究曲线 上关于 (,)Bt对称但不关于 轴对称的对称点设 0(,)Pxy是轨迹 24xy3)上任意一点，则 2004(3)xy，它关于 t的对称点为 0(,Qt，由于点 Q在轨迹 1上，所以 200()
18、1(4)xty，联立方程组20041()xyt（*）得 00412(4)yty，化简得 063yt当 0(,3)时， (2,)t，此时方程组(*) 有两解，即增加有两组对称点。所以 t的取值范围是 8 分18、 （本题满分 18 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（2）小题 8 分）解：（1）当 2n时， 1()1nnnaS又 1aS ，所以 5 分(2)、 n， 2nTn ，111()()23R ()nn1)(1)()2232nTn 6 分：数学归纳法 n时， 11RTa， 212()()Ta 1 分假设 (,*)kN时有 1kkR 1 分当 时， 1 1()()()k kk
19、TTa 1()1k kTn是原式成立由可知当 2,*n时 ()nnR； 4 分(3)、 （理） 1(1)(3m， ,223112)(341)(23nnnmmn时 ， （时 ， （时 ， （时 ， （时 ， （ 相加得， 2312431()()()()()()3 2nnnn nn 23111()()()22nnn ，343n4 分6时， ()()nnn 无解又当 1时； ， 2时， 245； 3时， 334564n时， 44356为偶数，而 7为奇数，不符合5时， 5为奇数，而 58为偶数，不符合综上所述 2或者 n 4 分(3)、易知 0q，否则若 0q，则 1()fxp，与 lim()0*)nfaN矛盾因为函数 ()fx的定义域为 R，所以 3qx恒不为零，而 3qx的值域为 (0,)，所以1p，又 1时， ()f，与 li()nf矛盾，故 1p1()3)nqnqfap且 li0faq，即有 。 8 分
