1、静安区 2015 学年高三年级第一学期期末教学质量检测理科数学试卷一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1.已知抛物线 2yax的准线方程是 1y，则 a .2.在等差数列 n（ N ）中 ，已知公差 2d， 07，则 2016a .3. 设 cosx,且 3,4，则 arcsinx的取值范围是 .4. 已知球的半径为 24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是 cm3.5.方程 3(1) (1)lg98logx x的解为 .6.直线 20y关于直
2、线 20y对称的直线方程是 .7.已知复数 z满足 i,其中 为虚数单位,则 z .8. 8()xy的展开式中项 34xyz的系数等于 .(用数值作答)9.在产品检验时，常采用抽样检查的方法.现在从 100 件产品(已知其中有 3 件不合格品)中任意抽出 4 件检查，恰好有 2 件是不合格品的抽法有 种. (用数值作答)10.经过直线 230xy与圆 2410xy的两个交点，且面积最小的圆的方程是 .11.在平面直角坐标系 O中，坐标原点 (,)、点 (,2)P，将向量 绕点 O按逆时针方向旋转 56后得向量 ，则点 Q的横坐标是 .12.在ABC 中， A、B、 C 所对的边分别为 a、b、
3、 c，若ABC 的面积22Sabc，则 sin . (用数值作答 )13. 已知各项皆为正数的等比数列 a（ N ） ，满足 7652a，若存在两项 ma、n使得 14mn，则 n的最小值为 .14. 在平面直角坐标系 xOy中，将直线 l沿 x轴正方向平移 3 个单位, 沿 y轴正方向平移5 个单位,得到直线 1l.再将直线 1l沿 轴正方向平移 1 个单位, 沿 轴负方向平移 2 个单位,又与直线 l重合.若直线 l与直线 1l关于点 (2,3)对称,则直线 l的方程是 .二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的
4、答案，选对得 5 分，否则一律得零分. 15.组合数 (,)rnCrN恒等于( )A. 1rn B. 1rnC C. 1rn D. 1rnC16.函数213(0)xy的反函数是 ( )A 31logx B 31log()yxC 1()y D 17.已知数列 na的通项公式为 2,4(*),nnaN，则 limna( ) A 2 B0 C 2 D不存在18.下列四个命题中，真命题是 ( )A和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线; B和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线;C和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线;D若 a、b 是异面直线 , b、c 是异面直线,则 a、c 是
5、异面直线.三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19 （ 本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分如图，在棱长为 1 的正方体 DCBA中，E 为 AB 的中点. 求：(1)异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值；(2)点 A 到平面 EC的距离.20 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 10 分，第 2 小题满分 4 分.李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新 ”. 某创客，白手起家，2015 年一月初向银行贷款十万元做创业资
6、金，每月获得的利润是该月初投入资金的 20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的 10%，每月的生活费等开支为3000 元，余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.(1)问到 2015 年年底( 按照 12 个月计算)，该创客有余款多少元？(结果保留至整数元)(2)如果银行贷款的年利率为 5%，问该创客一年(12 个月) 能否还清银行贷款？21 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.设 P1 和 P2 是双曲线 xyab上的两点，线段 P1P2 的中点为 M，直线 P1P2 不经过坐标原点 O.(1)若直
7、线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在且分别为 k1 和 k2，求证:k 1k2= ab；(2)若双曲线的焦点分别为 1(3,0)F、 2(,)，点 P1 的坐标为(2 ，1) ，直线 OM的斜率为 3，求由四点 P1、 F1、P 2、F 2 所围成四边形 P1 F1P2F2 的面积. 22 （本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 10 分.在平面直角坐标系 xOy中，点 A在 y轴正半轴上，点 n在 x轴上，其横坐标为 nx，且 nx是首项为 1、公比为 2 的等比数列，记 1nP， N(1)若 3arct，求点 的坐标；(2)若点 A的坐标
8、为 (0 8)， ，求 n的最大值及相应 的值23 （ 本小题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8 分.已知定义在实数集 R 上的偶函数 xf和奇函数 xg满足 1xfg. (1)求 fx与 g的解析式；(2)若定义在实数集 R 上的以 2 为最小正周期的周期函数 ()，当 时，()，试求 ()在闭区间 015,6上的表达式，并证明 ()x在闭区间2015,6上单调递减；(3)设 22hxmx（其中 m 为常数） ，若 21hgm对于,恒成立，求 m 的取值范围.静安区 2015 学年高三年级第一学期期末教学质量检测理科数
9、学试卷参考答案及评分标准 2016.01说明1 本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分P20 xyAP1 P3 P4 2 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分3 第 19 题至第 23 题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数4 给分或扣分均以 1 分为单位一填空题（本大题满分 56 分）本
10、大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1. a1 22025 3. ,42. 4. 12288 5. 3x 6. 70xy7. 7z 8. 80 9. 13968 10. 2561xyxy 11.312 12. 87 13.144()(5)mnnm14. :60lxy.二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律得零分. 15.D 16.B 17.A 18.C三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在
11、答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19 如图，在棱长为 1 的正方体 1DCBA中，E 为 AB 的中点。（1 ）求异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值；(2)求点 A 到平面 EC的距离。解（1）延长 DC 至 G，使 CG= DC,连结 BG、 GD1 ，四边形 EBGC 是平行四边形.BGEC. 在21/EB11.DBCE就 是 异 面 直 线 与 所 成 的 角，中 31 152432cos21251112 BGDBG）（，即异面直线 与 CE 所成角的余弦值是（2 ）过 作 交 CE 的延长线于 H.连结 AH. 底面 ABCD 如图所示.由于AHE= B=90， A
12、EH=CEB，则AHECBE设点 A 到平面 1EC的距离为 d，则由三棱锥体积公式可得： 1133ACEACESd，即 61323245。所以 6d，即点 A 到平面 1EC的距离为 6。20 李克强总理在很多重大场合都提出“ 大众创业，万众创新”. 某创客，白手起家，2015 年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的 20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的 10%，每月的生活费等开支为3000 元，余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.(1)问到 2015 年年底( 按照 12 个月计算)，该创客有余款多少元？(结果保留至整
13、数元)(2)如果银行贷款的年利率为 5%，问该创客一年(12 个月) 能否还清银行贷款？解法 1：（1 ）设 n个月的余款为 na，则0.293015a， 22 .93014， 。 。 。 。 。 。 121120.093.2a， =212(.09). 480（元） ，法 2： 10.9315a，一般的， 120n，构造 )(.1cacn， 7013750375(.9)nna 1BD15.ACEH152,25, .BAEABCRtHH在 中 ，137506.08nna， 12948。（2 ） 194890-1000001.05=89890（元） ，能还清银行贷款。21设 P1 和 P2 是双曲
14、线21xyab上的两点，线段 P1P2 的中点为 M，直线 P1P2 不经过坐标原点 O.(1)若直线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在且分别为 k1 和 k2，求证:k 1k2= ab；(2)若双曲线的焦点分别为 1(3,0)F、 2(,)，点 P1 的坐标为(2 ，1) ，直线 OM的斜率为 3，求由四点 P1、 F1、P 2、F 2 所围成四边形 P1 F1P2F2 的面积. (1)解法 1：设不经过点 O 的直线 P1P2 方程为 ykxl，代入双曲线21xyab方程得：2221() 0bakxklabl. 设 P1 坐标为 (,y， P2 坐标为 2(,)xy，中点坐标为 M (
15、x,y),则 1212,xy，2112klxba， 212121ykk，所以， 222111akbak，k 1k2= b。另解：设 P1(x1,y1)、P 2(x2,y2)，中点 M (x,y),则 12,xy且212()xyab（1）-（2）得： 12121212()()0xxyyab。因为,直线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在,所以(x 1+x2)(x1-x2)0，等式两边同除以(x 1+x2)(x1-x2)，得： 12212yyxx即 k1k2= ba。6 分（2 ）由已知得21,3ab,求得双曲线方程为21xy， 直线 P1 P2 斜率为2， 直线 P1 P2 方程为 1()3y
16、x, 代入双曲线方程可解得20(,)7(中点 M 坐标为 23(,)7. 面积 1283Fy. 另解: 线段 P1 P2 中点 M 在直线 32yx上.所以由中点 M(x,y),可得点 P2 的坐标为2(,3)Px,代入双曲线方程可得 2()(1),即 270，解得7（ y） ，所以 201(,)7。面积 2283Fy.22 在平面直角坐标系 xOy中，点 A在 轴正半轴上，点 nP在 x轴上，其横坐标为 nx，且nx是首项为 1、公比为 2 的等比数列，记 1n， N（1 ）若 3arctn，求点 的坐标；（2 ）若点 A的坐标为 (0 8)， ，求 n的最大值及相应 的值解：（1）设 )t
17、， ，根据题意， 12x 由 31arcn，知 3a， 而344334322()tt()1txttOAP， 所以 241t，解得 t或 8t故点 A的坐标为 (0 )， 或 8， （2 ）由题意，点 nP的坐标为 1(2 0)n， ，12tanOP P20 xyAP1 P3 P4 111 228tant() 6288nnnn nOAP因为 16228n，所以 1ta42n，当且仅当nn，即 4时等号成立 易知 0 ta2nyx， 在 (0 )2， 上为增函数， 因此，当 4时， n最大，其最大值为 2arctn4 23 已知定义在实数集 R 上的偶函数 xf和奇函数 xg满足 12xfg. （
18、1 ）求 fx与 g的解析式；（2 ）若定义在实数集 R 上的以 2 为最小正周期的周期函数 (),当 时, (),试求 ()在闭区间 015,6上的表达式,并证明 x在闭区间05,6上单调递减；（3 ）设 22hxmx（其中 m 为常数） ，若 2()1hgm对于1,x恒成立，求 m 的取值范围.解：（1）假设 1()fg，因为 xf是偶函数， x是奇函数所以有 x，即 1()2g f， x定义在实数集 R 上，由和解得， 121()2xf，1()2xxx. (2) ()是 R 上以 2 为正周期的周期函数, 所以当 2015,6时, 06,x, 20166(06)()xxfx,即 ()在闭
19、区间 215上的表达式为 212016x. 下面证明 ()x在闭区间 5,上递减:20162016，当且仅当 2016x,即 6时等号成立.对于任意2015,1 2 1221 2 1206016 0620606 206() ()()xxxxxx xfxf ,因为 ,所以 1, 1,1206x， 1206x, 2101620xx, 从而 (),所以当 56时, ()x递减. (证明 xf在 上递减,再根据周期性或者复合函数单调性得到也可 ) （3） ()tg在 12单调递增， 31524t. 2 2()hmtm对于 ,恒成立， t对于 35,4恒成立， 令2()kt，则212tt，当且仅当 2t时，等号成立，且32所以在区间 35,4t上 ()ktt单调递减， max17()()2k， 172m为 m 的取值范围.
