1、集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型1 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合 A=x,xy,lgxy,集合B=0,x,y,且 A=B,则 x+y= 2 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合 M=yy=x 2 ,xR,N=yy=x 2+1,xR,求 MN；与集合 M=（x,y）y=x 2 ,xR,N=(x,y)y=x 2+1,xR，求 MN;以及 M=xy=x 2 ,xR,N=yy=x 2xR,Q=（x,y）y=x 2 ,xR,求 MN，MQ，QN 的区别。3 区别 与 。 :表示空集， ：不是空
2、集，是指含 的一个元素。4 集合 A、B， 时，注意“极端”情况： 或 ；求集合子集 时ABBA否忘记 . eg. 对一切 恒成立，求 a 范围，讨论了 a20122xaxRx情况了吗？ 5 对于含有 n 个元素的有限集合 M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 如满足条件 的集合 M 共有多少个，2，1， .2n 4,3216 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有 10 名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中 7 人会唱歌跳舞 5 人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？7 两集合之间的关系。 ,14,12 Zk
3、xNZkxM(CUA)( C U B) = CU(AB) (C UA)( C UB) = CU(AB)； ；BAA8.可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或” 、 “且”和“非”.p、q 形式的复合命题的真值表:p q P 且 q P 或 q真 真 真 真真 假 假 真集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型假 真 假 真假 假 假 假9.命题的四种形式及其相互关系互逆 逆互 互互 为 互否 逆 逆 否否 否 互 逆原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.注意区别否命题与命题的否定。10.对映射的概念了解了吗？映射 f：AB 中，A 中元素的任意性和 B 中与它对应元素的唯一
4、性，哪几种对应能够成映射？11.函数的几个重要性质：如果函数 对于一切 ，都有 或 f（2a-x）=f（x） ，那么xfyRxxaff函数 的图象关于直线 对称.f a如果函数 对于一切 ，都有 或 f（2a-x）=-f（x） ，那xfyxxafxf么函数 的图象关于点（a,0）对称.函数 与函数 的图象关于直线 对称；xfyxfy0x集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型函数 与函数 的图象关于直线 对称；xfyxfy0y函数 与函数 的图象关于坐标原点对称.ff若奇函数 在区间 上是递增函数，则 在区间 上也是递增xfy,0xfy0,函数若偶函数 在区间 上是递增函数，则 在区间 上是递
5、减函xfy, xfy,数函数 的图象是把函数 的图象沿 x 轴向左平移 a 个单位得到axfy)0(xfy的；函数 ( 的图象是把函数 的图象沿 x 轴向右平移 个单位得到的；函数 +a 的图象是把函数 助图象沿 y 轴向上平移 a 个单位得到的;xfy)0(axfy函数 +a 的图象是把函数 助图象沿 y 轴向下平移 个单位得到的.12.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？13.求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数 y= 的定义域是 ；2)3lg(4x复合函数的定义域弄清了吗？函数 的定义域是0,1,求 的定义域. 函数 的)(xf )(log5.0xf )
6、(xf定义域是 , 求函数 的定义域ba,0)(xfF14.含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。若函数 y=asin2x+2cosx-a-2(a R)的最小值为 m, 求 m 的表达15.函数与其反函数之间的一个有用的结论：设函数 y=f(x)的定义域为 A,值域为 C,则若 aA,则 a=f-1 f(a); 若 bC,则 b=ff-1 (b); 若 pC,求 f-1 (p)就是令p=f(x),求 x.(xA) 即 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x.bf1aaf对称,集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型16.互为反函数的两个函数具有相同的单调性;原函数 在区间 上单调递增，则x
7、fya,一定存在反函数，且反函数 也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定xfy1单调17. 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？ 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;18.根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。19.知道函数 的单调区间吗？（该函数在 和 上单调递增；0axy a,在 和 上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！0,a,20.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？
8、（真数大于零，底数大于零且不等于 1）字母底数还需讨论呀.21.对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（ ）babancalogl,logl 22.还记得对数恒等式吗？（ ）balog23.“实系数一元二次方程 有实数解”转化为“ ”，你是否注02cx 042acb意到必须 ；当 a=0 时， “方程有解”不能转化为 若原题中没有指出是0a 2“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？24. ,区别 f(x)恒大于 0，与 f(x)能取大于 0 的全体数情况。cbxf2)(25.函数值的求法（ 1） 直 接 观 察 法对 于 一 些 比 较 简 单 的 函 数 ， 其
9、值 域 可 通 过 观 察 得 到 。例 1. 求 函 数 x1y的 值 域 。集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型解 ： 0x 0x1显 然 函 数 的 值 域 是 ： ),0(),(例 2. 求 函 数 x3y的 值 域 。解 ： 0 3x,0 故 函 数 的 值 域 是 ： 3,（ 2） 配 方 法配 方 法 是 求 二 次 函 数 值 域 最 基 本 的 方 法 之 一 。例 3. 求 函 数 2,1x,52y的 值 域 。解 ： 将 函 数 配 方 得 ： 4)( 2,1x由 二 次 函 数 的 性 质 可 知 ： 当 x=1时 ， 4ymin， 当 时 ， 8ymax故 函 数
10、 的 值 域 是 ： 4， 8（ 3） 判 别 式 法例 4. 求 函 数 2x1y的 值 域 。解 ： 原 函 数 化 为 关 于 x的 一 元 二 次 方 程0)1y(x)(2（ 1） 当 时 ， Rx 0)1y(4)1(2 解 得 ： 23y1（ 2） 当 y=1时 ， 0， 而 3,故 函 数 的 值 域 为23,例 5. 求 函 数 )x2(y的 值 域 。集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型解 ： 两 边 平 方 整 理 得 ： 0yx)1(22（ 1） Rx 8)y(4 解 得 ： 2y但 此 时 的 函 数 的 定 义 域 由 0)x2(， 得 2x由 0， 仅 保 证 关
11、 于 x的 方 程 ： 0y)1(2在 实 数 集 R有 实 根 ， 而 不 能确 保 其 实 根 在 区 间 0， 2上 ， 即 不 能 确 保 方 程 （ 1） 有 实 根 ， 由 0求 出 的 范 围 可能 比 y的 实 际 范 围 大 ， 故 不 能 确 定 此 函 数 的 值 域 为 23,。可 以 采 取 如 下 方 法 进 一 步 确 定 原 函 数 的 值 域 。 2x0 0)x2(y 21y,0min代 入 方 程 （ 1）解 得 ： ,41即 当x41时 ，原 函 数 的 值 域 为 ： 21,0注 ： 由 判 别 式 法 来 判 断 函 数 的 值 域 时 ， 若 原 函
12、 数 的 定 义 域 不 是 实 数 集 时 ，应 综 合 函 数 的 定 义 域 ， 将 扩 大 的 部 分 剔 除 。（ 4） 反 函 数 法直 接 求 函 数 的 值 域 困 难 时 ， 可 以 通 过 求 其 原 函 数 的 定 义 域 来 确 定 原 函 数 的 值 域 。例 6. 求 函 数 6x543值 域 。解 ： 由 原 函 数 式 可 得 ： 3y564x则 其 反 函 数 为 ： 3x5y64， 其 定 义 域 为 ：53x故 所 求 函 数 的 值 域 为 ： 53,（ 5） 函 数 有 界 性 法集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型直 接 求 函 数 的 值 域
13、困 难 时 ， 可 以 利 用 已 学 过 函 数 的 有 界 性 ， 反 客 为 主 来 确定 函 数 的 值 域 。例 7. 求 函 数 1eyx的 值 域 。解 ： 由 原 函 数 式 可 得 ： 1yx 0ex 01y解 得 ： 1y 故 所 求 函 数 的 值 域 为 )1,(例 8. 求 函 数 3xsincoy的 值 域 。解 ： 由 原 函 数 式 可 得 ： y3xcosiy， 可 化 为 ：3)x(sin1y2即 1y3)x(sin2 R 即1y312解 得 1,)x(sin： 42y故 函 数 的 值 域 为 42,（ 6） 函 数 单 调 性 法例 9. 求 函 数 )
14、10x2(log2y35x的 值 域 。解 ： 令 ,1 则 21y,在 2， 10上 都是 增 函 数所 以 21y在 2， 10上 是 增 函 数 当 x=2时 ， 8logy3min当 x=10时 ， 39log5max 故 所 求 函 数 的 值 域 为 ：集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型 3,81例 10. 求 函 数 1xy的 值 域 。解 ： 原 函 数 可 化 为 ：2令 1xy,21， 显 然 21y,在 ,上 为 无 上 界 的 增 函 数所 以 ， 在 ,上 也 为 无 上 界 的 增 函 数所 以 当 x=1时 ， 21y有 最 小 值 2， 原 函 数 有 最
15、 大 值 2显 然 0y， 故 原 函 数 的 值 域 为 ,0(（ 7） 换 元 法通 过 简 单 的 换 元 把 一 个 函 数 变 为 简 单 函 数 ， 其 题 型 特 征 是 函 数 解 析 式 含 有根 式 或 三 角 函 数 公 式 模 型 ， 换 元 法 是 数 学 方 法 中 几 种 最 主 要 方 法 之 一 ， 在 求 函数 的 值 域 中 同 样 发 挥 作 用 。例 11. 求 函 数 1xy的 值 域 。解 ： 令 tx， )0( 则 1tx2 4321tty2又 0t， 由 二 次 函 数 的 性 质 可 知当 0t时 ， min 当 时 ， y故 函 数 的 值
16、 域 为 ),1例 12. 求 函 数 2)1x(2xy的 值 域 。集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型解 ： 因 0)1x(2 即 1)x(2 故 可 令,cos1x 1cosincos1y2)4sin(2 450,21)4sin(20故 所 求 函 数 的 值 域 为 ,0例 13. 求 函 数 1x2y43的 值 域 。解 ： 原 函 数 可 变 形 为 ： 22x1y可 令 tgx， 则 有22cosx1,sinx14in1iy当 82k时 ， 41ymax当 82k时 ， ymin 而 此 时 tn有 意 义 。故 所 求 函 数 的 值 域 为 41,例 14. 求 函 数
17、)1x)(cos(siny， 2,的 值 域 。解 ： )1x(i1xcosini 令 tcosin， 则 )1t(2xcosin集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型 22)1t(t)1t(y由 )4/xsin(2coxsint 且2,1x可 得 ： t2 当 t时 ， 23ymax， 当2t时 ， 243y故 所 求 函 数 的 值 域 为 ,4。例 15. 求 函 数 2x54y的 值 域 。解 ： 由 0x2， 可 得 | 故 可 令 ,0cos5x4)sin(10si54cos5y 0 45当 4/时 ， 104ymax 当 时 ， ymin故 所 求 函 数 的 值 域 为 ：
18、,5（ 8） 数 形 结 合 法其 题 型 是 函 数 解 析 式 具 有 明 显 的 某 种 几 何 意 义 ， 如 两 点 的 距 离 公 式 直 线 斜率 等 等 ， 这 类 题 目 若 运 用 数 形 结 合 法 ， 往 往 会 更 加 简 单 ， 一 目 了 然 ， 赏 心 悦 目 。例 16. 求 函 数 22)8x()(y的 值 域 。解 ： 原 函 数 可 化 简 得 ： |8x|2|y上 式 可 以 看 成 数 轴 上 点 P（ x） 到 定 点 A（ 2） ， )8(B间 的 距 离 之 和 。集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型由 上 图 可 知 ， 当 点 P在 线
19、 段 AB上 时 ， 10|AB|8x|2|y当 点 P在 线 段 AB的 延 长 线 或 反 向 延 长 线 上 时 ， |故 所 求 函 数 的 值 域 为 ： ,10例 17. 求 函 数 5x413x6y22的 值 域 。解 ： 原 函 数 可 变 形 为 ： 2222 )10()x()0()3x(y 上 式 可 看 成 x轴 上 的 点 ,P到 两 定 点 )1,2(B),3A的 距 离 之 和 ，由 图 可 知 当 点 P为 线 段 与 x轴 的 交 点 时 ， 43)12()3(|ymin ，故 所 求 函 数 的 值 域 为 ,43例 18. 求 函 数 5x413x6y22的
20、 值 域 。解 ： 将 函 数 变 形 为 ： 222)10()()0()( 上 式 可 看 成 定 点 A（ 3， 2） 到 点 P（ x， 0） 的 距 离 与 定 点 ,B到 点 )0,x(P的 距 离之 差 。即 ： |BP|y由 图 可 知 ： （ 1） 当 点 P在 x轴 上 且 不 是 直 线 AB与 x轴 的 交 点 时 ， 如 点 P， 则 构成 AP， 根 据 三 角 形 两 边 之 差 小 于 第 三 边 ， 有26)1()23(| 即 ： 6y2集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型（ 2） 当 点 P恰 好 为 直 线 AB与 x轴 的 交 点 时 ， 有 26|A
21、B|P|综 上 所 述 ， 可 知 函 数 的 值 域 为 ： 26,(注 ： 由 例 17， 18可 知 ， 求 两 距 离 之 和 时 ， 要 将 函 数 式 变 形 ， 使A、 B两 点 在 x轴的 两 侧 ， 而 求 两 距 离 之 差 时 ， 则 要 使A， B两 点 在 x轴 的 同 侧 。如 ： 例 17的 A， B两 点 坐 标 分 别 为 ： （ 3， 2） ， )1,(， 在 x轴 的 同 侧 ； 例 18的A， B两 点 坐 标 分 别 为 （ 3， 2） ， )1,(， 在 x轴 的 同 侧 。（ 9） 不 等 式 法利 用 基 本 不 等 式 abc3a,b2a)R,
22、(， 求 函 数 的 最 值 ， 其 题 型特 征 解 析 式 是 和 式 时 要 求 积 为 定 值 ， 解 析 式 是 积 时 要 求 和 为 定 值 ， 不 过 有 时 需要 用 到 拆 项 、 添 项 和 两 边 平 方 等 技 巧 。例 19. 求 函 数 4)xcos1()xsin1(iy22的 值 域 。解 ： 原 函 数 变 形 为 ：52xcottan3se1xcos1in)xco(iny22222当 且 仅 当 xcottan 即 当 4kx时 )z(， 等 号 成 立故 原 函 数 的 值 域 为 ： ),5集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型例 20. 求 函 数
23、x2siny的 值 域 。解 ： coixsn4cosi427643/)xsin2xsin(i8(i1y22当 且 仅 当 xsin2xsin2， 即 当 32xsin时 ， 等 号 成 立 。由 764y2可 得 ： 938y故 原 函 数 的 值 域 为 ： ,（ 10） 一 一 映 射 法原 理 ： 因 为 )0c(dxbay在 定 义 域 上 x与 y是 一 一 对 应 的 。 故 两 个 变 量 中 ， 若知 道 一 个 变 量 范 围 ， 就 可 以 求 另 一 个 变 量 范 围 。例 21. 求 函 数 1x23y的 值 域 。解 ： 定 义 域 为 21x|或由 1x23y得
24、3y21x故 21或 213yx解 得 23y或故 函 数 的 值 域 为 ,集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型（ 11） 多 种 方 法 综 合 运 用例 22. 求 函 数 3x2y的 值 域 。解 ： 令 )0t(t， 则 1t2（ 1） 当 0t时 ， t1ty2， 当 且 仅 当 t=1， 即 x时 取 等 号 ， 所 以2y0（ 2） 当 t=0时 ， y=0。综 上 所 述 ， 函 数 的 值 域 为 ： 21,注 ： 先 换 元 ， 后 用 不 等 式 法例 23. 求 函 数 423x1y的 值 域 。解 ： 42342x1 22x1令 tanx， 则22cossin2
25、1x1674si2 当 sin时 ， ymax 当 1sin时 ，2ymin此 时 ta都 存 在 ， 故 函 数 的 值 域 为 167,2集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型注 ： 此 题 先 用 换 元 法 ， 后 用 配 方 法 ， 然 后 再 运 用 sin的 有 界 性 。总 之 ， 在 具 体 求 某 个 函 数 的 值 域 时 ， 首 先 要 仔 细 、 认 真 观 察 其 题 型 特 征 ，然 后 再 选 择 恰 当 的 方 法 ， 一 般 优 先 考 虑 直 接 法 ， 函 数 单 调 性 法 和 基 本 不 等 式 法 ，然 后 才 考 虑 用 其 他 各 种 特 殊
26、 方 法 。 1sin2siin21cosy26.函数单调性的常用结论：（1）若均为某区间上的增（减）函数，则在这个区间上也为增（减）函数（2）若为增（减）函数，则为减（增）函数（3）若与的单调性相同，则是增函数；若与的单调性不同，则是减函数。（4）奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。27.函数奇偶性的常用结论：（1）如果一个奇函数在处有定义，则，如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则（反之不成立）（2）两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。（3）一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。28.函数解析式求法（1）待定系数法：例 1 设 是一次
27、函数，且 ，求)(xf 34)(xf)(xf（2）配凑法： 例 2 已知 ，求 的解析式21)(xxf)0()fx（3）换元法： 例 3 已知 ，求xxf2)1( )1(f集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型（4）代入法： 例 4 已知：函数 的图象关于点 对称，求 的解析式)(2xgyxy与 )3,2()(xg（5）构造方程组法： 例 5 设 求,)1(2)(xfxff 满 足 )(f例 6 设 为偶函数， 为奇函数，又 试求 的解析式)(xf)(xg,1)(xgxf )(xgf和（6）赋值法：当题中所给变量较多，且含有 “任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 例 7 已知： ，对于任意实数 x、y，等式 恒成立，求1)0(f )12()(yxfyxf )(xf（7）递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式 例 8 设 是定义在 上的函数，满足 ，对任意的自然数 都有)(xfN1)(f ba,集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型，求abfbaf )()( )(xf集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型
