1、最短路径之 Dijkstra 算法详细讲解 最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返 A 地区和B 地区之间，我们最希望知道的可能是从 A 地区到B 地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括：（）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。 （）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。 （）确定起点终点的最短
2、路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 （）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。- 4 -用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法” ， 有时被简称作“路径算法”。 最常用的路径算法有：Dijkstra 算法、 A*算法、Bellman-Ford 算法、Floyd-Warshall 算法、 Johnson 算法。本文主要研究 Dijkstra 算法的单源算法。 Dijkstra 算法2.1 Dijkstra 算法Dijkstra 算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra 算
3、法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。Dijkstra 算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。 2.2 Dijkstra 算法思想Dijkstra 算法思想为：设 G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合 V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用 S 表示，初始时 S 中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将 加入到集合 S 中，直到全部顶点都加入到 S 中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用 U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入 S
4、中。在加入的过程中，总保持从源点 v 到 S 中各顶点的最短路径长度不大于从源点 v到 U 中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离， S 中的顶点的距离就是从 v 到此顶点的最短路径长度，U 中的顶点的距离，是从 v 到此顶点只包括 S 中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。2.3 Dijkstra 算法具体步骤 （1）初始时， S 只包含源点，即 S，v 的距离为 0。U 包含除 v 外的其他顶点，U 中顶点 u 距离为边上的权（若 v 与 u 有边）或 ）（若 u 不是 v 的出边邻接点）。（2）从 U 中选取一个距离 v 最小的顶点 k，把 k，加入 S 中（该选定的距离就
5、是 v 到 k 的最短路径长度）。（3）以 k 为新考虑的中间点，修改 U 中各顶点的距离；若从源点 v 到顶点 u（u U）的距离（经过顶点 k）比原来距离（不经过顶点 k）短，则修改顶点 u 的距离值，修改后的距离值的顶点 k 的距离加上边上的权。（4）重复步骤（ 2）和（ 3）直到所有顶点都包含在 S 中。- 5 -2.4 Dijkstra 算法举例说明如下图，设 A 为源点，求 A 到其他各顶点（B、C 、D、E、F ）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）图一：Dijkstra 无向图算法执行步骤如下表：【注：图片要是看不到请到“相册-日志相册”中，名为“Dijkstra 算法过程”的图就是了】53435236 DCBFEA2
