1、2015 届江西省师大附中、鹰潭一中高三下学期 4 月联考试题数学理2015.4第卷一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项1设集合 ，集合 ，则 等于|24xA|lg(1)BxyABA (1,2) B (1,2 C 1,2) D 1,22下面是关于复数 的四个命题: 1p: 2z， :2zi， 3:pz的共轭复数为iz1， 4:p的虚部为 ， 其中真命题为i1A B C D23,12,24,34,3下列四个结论：若 ，则 恒成立；0xsinx命题“若 ”的逆命题为“若 ”；sin,则 0sin0x， 则“命题 为真” 是
2、“ 命题 为真” 的充分不必要条件；pqpq命题“ ”的否定是“ ”,lxRx00,lxR其中正确结论的个数是A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为 2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是A B 2420C D 5阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出 i 的结果为A7 B9 C10 D116已知实数 满足 ，若目标函数 的最大值为 ， yx,206yymxz102m最小值为 ，则实数 的取值范围是mA B C D2,11,3,23,7对于函数 ，下列说法正确的是3()cos()6fxxA 是奇函数
3、且在（ ）上递增 B 是奇函数且在（ ）上递， ()fx6，减C 是偶函数且在（ ）上递增 D 是偶函数且在（ ）上递减()fx60， ()f0，8定义：在数列 中，若满足 （ ，d 为常数） ，称 为“等naan12Nna差比数列”。已知在“ 等差比数列” 中， 则,3,21a20135A B C D240152404249设函数 在区间 上的导函数为 ， 在区间 上的导函数yfx,abfxf,b为 ，若在区间 上 恒成立，则称函数 在区间 上为 )(xf xa“凸函数”；已知 在 上为“凸函数”，则实数 m 的取值234612)(mf1,范围是A B C D3(,)9,59),(),210
4、在爸爸去哪儿第二季第四期中，村长给 6 位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务。已知：食物投掷地点有远、近两处；由于 Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有A80 种 B70 种 C40 种 D10 种 11已知椭圆 C: 的左右焦点为 ，若椭圆 C 上恰好有 6 个)0(12bayx 21,F不同的点 ，使得 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是PFA B C D31， ， 3， 123，12. 已知实数 满足 其中 是自然对数的底数
5、 , 则,abcd12dcbeae的最小值为2ca2dbA8 B10 C12 D18第卷2、填空题：本大题共四小题，每小题 5 分。13.已知向量 (1， )， (3 ，m )若向量 在 方向上的投影为 3，则实数 m ar3 brbra14.已知 ，则二项式 的展开式中 的系数为 dx0sin252xx15对于集合 ，定义：021,aan和 常 数的0210202 ,)(sin)(si)(sin aaan相 对为 集 合 “正弦方差”，则集合 的“正弦方差”为 。067,5相 对16已知动点 P 在棱长为 1 的正方体 的表面上运动，且ABCD1，记点 P 的轨迹长度为 .给出以下四个命题：
6、(03)Ar()fr ； 1)2f ； ( 3)f函数 在 上是增函数， 在 上是减函数。(r0,1()fr2,3)其中为真命题的是 （写出所有真命题的序号）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别是 a，b，c，满足 b2c 2bca 2.（1）求角 A 的大小；（2）已知等差数列a n的公差不为零，若 a1cosA1，且 a2，a 4， a8 成等比数列，求的前 n 项和 Sn.4anan 118.（本小题满分 12 分）某大学的一个社会实践调查小组,在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中,随机发放了 l20 份
7、问巻。对收回的 l00 份有效问卷进行统计，得到如下 2 x2 列联表:做不到光盘 能做到光盘 合计男 45 10 55女 30 15 45合计 75 25 100（1）现已按是否能做到光盘分层从 45 份女生问卷中抽取了 9 份问卷，若从这 9 份问卷中随机抽取 4 份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为 ，试求随机变量 的分布列和数学期望（2）如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过 P，那么根据临界值表最精确的 P 的值应为多少？请说明理由。附：独立性检验统计量 K2= , 其中 ，)()(2dbcadbannabcd独立性检验临界表：P(K2 k0)0.25 0.15 0.1
8、0 0.05 0.025k0 1.323 2.072 2.706 3.840 5.02419（本小题满分 12 分）在如图所示的空间几何体中，平面 平面 ， 与 是边长为 的等ACDBACDB2边三角形， ， 和平面 所成的角为 ，且点 在平面 上的射影落2BEABC60EABC在 的平分线上AC（1）求证： 平面 ；/DEABC（2）求二面角 的余弦值20 （本小题满分 12 分）已知抛物线 E：y 22px （p 0）的准线与 x 轴交于点 K，过点 K 作圆 C：( x2) 2y 21 的两条切线，切点为 M，N，|MN | 423（1）求抛物线 E 的方程；（ 2） 设 A、 B 是
9、抛 物 线 E 上 分 别 位 于 x 轴 两 侧 的 两 个 动 点 ， 且 （ 其 中 O 为 坐 标 原94OAB点 ） 求证：直线 AB 必过定点，并求出该定点 Q 的坐标；过点 Q 作 AB 的垂线与抛物线交于 G、D 两点，求四边形 AGBD 面积的最小值21 （本小题满分 12 分）设函数 ，其中 和 是实数，曲线 恒与 轴相切1ln1fxaxbabyfx于坐标原点（1）求常数 的值；b（2）当 时，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围；00fxa（3）求证：对于任意的正整数 ，不等式 恒成立.n11nne请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做
10、的第一题记分答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑22（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图所示, 为圆 的切线, 为切点, ，PAOA两 点 ，于交 圆 CBOP,20PA1,B的角平分线与 和圆 分别交于点 和 BCBDE（1）求证 C（2）求 的值ADE23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，圆 的参数方程 为参数） 以 为极点， 轴的非xOyC1cos(inxyOx负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆 的极坐标方程；（2）直线 的极坐标方程是 ，射线 与圆 的交点为l2si()3:3MC，与直线 的交点为 ，求线段 的长P、
11、QP数学（理）参考答案及评分标准一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C B A B A D C D C D A二、填空题13 ； 14. ； 15. ； 16. 3 -8021三、解答题17.解： (1)b 2c 2a 2bc， . cosA .b2 c2 a22bc bc2bc 12 12又 A(0，)，A . 5 分3(2)设a n的公差为 d， 由已知得 a1 2，且 a a 2a8.1cosA 24(a13 d)2( a1d)( a17d) 又 d 不为零，d2. 9 分an2n. 10 分 . 114anan 1 1nn 1 1n 1n 1S
12、n(1 ) ( )( )( )1 . 12 分12 12 13 13 14 1n 1n 1 1n 1 nn 118. 解：（1）因为 9 份女生问卷是用分层抽样方法取得的，所以 9 份问卷中有 6 份做不到光盘，3 份能做到光盘。2 分6 分所以 8 分3421521045E（2） 2K03.1752500)()( 2dbcadban10 分因为 ,所以能在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为良好“光盘习840.3.706.2惯”与性别有关，即精确的值应为 12 分1.19. 解：（1）由题意知， ， 都是边长为 2 的等边三角形，取 中点 ，ABCDACO连接 ，则 ， ，2 分DOB
13、,O又平面 平面 ， 平面 ，作 平面 ，ACEFB那么 ，根据题意，点 落在 上，EF/F ，易求得 ，4 分603E四边形 是平行四边形， ， 平面 6 分/A（2）解法一：作 ，垂足为 ，连接 ，BGG 平面 ， ，又 ，ACF 平面 ， ， 就是二面角 的BCFEBCE平面角9 分中， ， ， ERt2130sin 321 即二面角 的余弦值为 .12 分cosGA3解法二：建立如图所示的空间直角坐标系 ，可知平面 的一个法向量为xyzOBC)1,0(1n设平面 的一个法向量为BCE),(2n则， 可求得 9 分2 13所以 ，13|,cos2121nn又由图知，所求二面角的平面角是锐
14、角，所以二面角 的余弦值ABCE为 12 分320.解：（1）由已知得 K( ，0 )，C (2，0) p2设 MN 与 x 轴交于点 R，由圆的对称性可知，| MR| 223由 得： 或 （舍去），94OAB21112()9864yy12y即 ，所以直线 AB 过定点 ； 7 分8tt(,0)Q()由( )得 ，2167,m同理得， 2GDy则四边形 AGBD 面积 2211166772SABGDmm2 24()(85)mm令 ，则 是关于 的增函数，21418170S故 .当且仅当 时取到最小值 88 12 分min8S21. 解：(1) 对 求导得： ，根据条件知()fx()ln()ax
15、fxab，所以 . (0)f101b2 分(2) 由(1)得 ，()ln(fa01x()lnxfxa.22(1)(1)ax 当 时，由于 ，有 ，于是 在2a0x21)0(af ()fx上单调递增，从而 ，因此 在 上单调递增，即0,1()0ffx,而且仅有 ；()0fx(0)f当 时，由于 ，有 ，于是 在 上31a1x21()0()axf()fx0,1单调递减，从而 ，因此 在 上单调递减，即()ff ,而且仅有 ；()0fx(0)当 时，令 ，当 时，321aam20xm，于是 在 上单调递减，从而21()0fxx()f,，因此 在 上单调递减，(0f(f,即 而且仅有 .综上可知，所求实数 的取值范围是 . 8 分 a1(,2(3) 对要证明的不等式等价变形如下：对于任意的正整数 ，不等式 恒成立. 并且继续nnn1ll作如下等价变形n l1l1l1lqnnp 01l1对于 相当于（2）中 ，情形，有 在 上单调递减，即()p0a()fx,而且仅有 . 0fx()f取 ，得：对于任意正整数 都有 成立；1n 01ln对于 相当于（2）中 情形，对于任意 ，恒有 而且仅有()q1ax,()0fx. 0f取 ，得：对于任意正整数 都有 成立.1xnn1l1n因此对于任意正整数 ，不等式 恒成立 12ne分
