1、2015 届江西省南昌市十所省重点中学高三二模突破冲刺（一）数学文试题 （解析版）【题文】第卷【题文】一、选择题（本大题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1.已知全集 ,集合 , ,则集合 ( ) UR|2Ax|05Bx)UCAB（A B C D.|02x|0|2|02x【知识点】集合的运算 A1【答案】 【解析】C 解析：由题意易知 ，所以|UA)|02UCABx（故选 C.【思路点拨】先求出 ，再求出 即可。UCA)UB（【题文】2. 设复数 （ 为虚数单位） ， 的共轭复数为 ，则 ( ) iz1zz|)1(|zAB2 C D1【知
2、识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模L4【答案】 【解析】A 解析：由 z=1i，则 ，所以= 故选 A【思路点拨】给出 z=1i，则 ，代入 整理后直接求模【题文】3. 在正项等比数列 中， ，前 项和为 ,且 成等差na1nS423,a数列，则 的值为( ) 7SA. 125 B. 126 C. 127 D. 128【知识点】等差数列的前 n 项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式D2 D3 D4【答案】 【解析】C 解析：设正项等比数列a n的公比为 q（q0） ，且 a1=1，由a 3，a 2，a 4成等差数列，得 2a2=a4a 3即 因为 q0所以 q2q2=0解得 q=1
3、（舍） ，或 q=2则 故选 C【思路点拨】设出等比数列的公比，由已知条件列式求出公比，则等比数列的前 7 项和可求【题文】4. 已知函数 2sincofxx，为了得到函数 sin2cosgxx的图象，只需要将 y的图象( ) A. 向右平移 4个单位长度 B. 向左平移 4个单位长度C. 向右平移 8个单位长度 D. 向左平移 8个单位长度【知识点】函数 y=Asin（x+）的图象变换C4【答案】 【解析】D 解析：由于函数 = sin2x，函数 g（x）=sin2x+cos2x= sin（2x+ ）= sin2（x+ ） ，故将 y=f（x）的图象向左平移 个单位长度，即可得到 g（x）的
4、图象，故选 D【思路点拨】利用二倍角公式、两角和差的正弦公式化简函数 f（x）和 g（x）的解析式，再根据函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【题文】5. 已知 ( , 1)，若将向量2 绕坐标原点逆时针旋转 120 得到向a3a量 ，则 的坐标为：bA(0, 4) B(2 , 2) C( 2 , 2) D(2, 2 ) 33【知识点】旋转变换F1【答案】 【解析】B 解析： =（ ，1） ， 2 =（ 2 ， 2） ，以 x 轴正半轴为始边，夹角为 210，绕坐标原点逆时针旋转 120得到向量 ，在第四象限，与 x 轴的正半轴夹角为 30， =（ 2 ，2） ，故选：B【思路点
5、拨】确定向量2 以 x 轴正半轴为始边的角，绕坐标原点逆时针旋转 120得到向量，在第四象限，与 x 轴的正半轴夹角为 30，即可得出结论【题文】6. 如图，阅读程序框图，任意输入一次 x（0x1）与 y（0y1） ，则能输出数对（x，y）的概率为( ) AB C D【知识点】几何概型K3【答案】 【解析】A 解析：是几何概型，所有的基本事件 =设能输出数对（x，y）为事件 A，则 A= ，S（）=1，S（A）= 01x2dx= = 故选 A【思路点拨】据程序框图得到事件“能输出数对（x，y） ”满足的条件，求出所有基本事件构成的区域面积；利用定积分求出事件 A 构成的区域面积，据几何概型求出
6、事件的概率【题文】7.已知离心率为 的双曲线和离心率为 的椭圆有相同的焦点 是两e2PF,21曲线的一个公共点，若 ，则 等于( ) 321PFeA B C D3【知识点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质H5 H6【答案】 【解析】C 解析：设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的实半轴长为 a2，焦距为2c，|PF 1|=m，|PF 2|=n，且不妨设 mn，由 m+n=2a1，mn=2a 2得 m=a1+a2，n=a 1a 2又 ， ， ，即 ，解得 ，故选：C【思路点拨】利用椭圆、双曲线的定义，求出|PF 1|，|PF 2|，结合F 1PF2= ，利用余弦定理，建立方程，即可求出 e【题文】8
7、. 已知ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长依次为 a,b,c，M 为该三角形所在平面内的一点，若 a b c ，则 M 是ABC 的M0A内心 B重心 C垂心 D外心 【知识点】平面向量及应用F2【答案】 【解析】A 解析： M 是三角形 ABC 的内心理由如下：已知 a +b +c = ，延长 CM 交 AB 于 D，根据向量加法得：= + ， = + ，代入已知得：a（ + ）+b（ + ）+c = ，因为 与 共线，所以可设 =k ，上式可化为（ka+kb+c） +（ a +b ）= ，由于 与 共线， 与 、 不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，a +b ）= ，由 a
8、+b = 可知： 与 的长度之比为 ，所以由内角平分线定理的逆定理可得 CD 为ACB 的平分线，同理可证 AM，BM 的延长线也是角平分线故 M 为内心故选 A【思路点拨】延长 CM 交 AB 于 D，根据向量加法得： = + ， = + ，代入已知得：a（ + ）+b （ + ）+c = ，由两不共线的向量的和为零向量的结论：已知 ，不共线，若 x +y = ，则 x=y=0，再由内角平分线的判定定理的逆定理，得到 CD 为角平分线，同理可得 AM，BM 的延长线也是角平分线即可判断 M 为内心【题文】9. 已知变量 满足约束条件 若 恒成立，则实数 的y, 52yxa取值范围为( ) A
9、. (-,-1 B. -1,+) C. -1,1 D. -1,1)【知识点】简单线性规划E5【答案】 【解析】C 解析：由题意作出其平面区域，则 x+2y5 恒成立可化为图象中的阴影部分在直线 x+2y=5 的上方，则实数 a 的取值范围为1，1故答案为：1，1【思路点拨】由题意作出其平面区域，则 x+2y5 恒成立可化为图象中的阴影部分在直线 x+2y=5 的上方，从而解得【题文】10.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是( ) A. B.100 C.92 D.84 3108cm3c3cm3cm【知识点】由三视图求面积、体积G2【答案】 【解析】B 解析：如图所示，
10、原几何体为：一个长宽高分别为 6，3，6 的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为 3，4 直角三角形，高为 4因此该几何体的体积=366 =1088=100故选 B【思路点拨】如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为 6，3，6 的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为 3，4 直角三角形，高为 4利用长方体与三棱锥的体积计算公式即可得出【题文】11.已知函数 ( )定义域为 ,则 的图像不可能是xaxf12ln)(Ra)10(xf( ) O xy1 O xy1 O xy1 O xy1A. B. C. D.【知识点】函数的图象B8【答案】 【解析】D 解析：已知函数 f（x）=alnx+
11、（aR） ，定义域为（0，1） ，下面把参数分以下三种情况进行讨论：（1）当 a=0 函数 f（x）=alnx+ 转化为 f（x）= 对定义域（0，1）内的每一个 x 代入关系式得到，f（x）0故 A 符合（2）当 a0 用单调性来进行讨论 由于函数 lnx 在定义域（0，1）内为增函数，则 alnx为减函数同时 = 也为减函数，所以函数 f（x）为减函数，故 A 符合（3）当 a0 利用函数的导数来讨论，已知 f（x）=alnx+ ，则 f（x）= + = ，令 f（x）=0 即 ax2+（2a4）x+a=0则=1616a 下面再分三种情况讨论当 a=1，f（x）= = 0 则函数 f（x）
12、为增函数故 B 符合当 1a0 时 ax2+（2a4）x+a=0 存在两根 x1= ，x 2=，由于 1a0 则 得到 1x 10，x 21 当 x1x0 函数图象为增函数 当 x1x1 时为减函数故 C 符合当 a1 时 f（x）0 恒成立故 B 符合,通过以上讨论，排除得到答案应 D【思路点拨】已知函数 f（x）=alnx+ （aR） ，在函数式中含有参数，所以本题在定义域内对参数的讨论是本题的重点，可以对参数 a 分以下几种情况进行讨论a=0a0a0 根据不同的情况进行具体分析。【题文】 12.设 ，若函数 为单调递增函数，且对任意实数 x，都有xRfx（ 是自然对数的底数） ，则 (
13、) 1xfeeln2fA. B. C. D. 133e第卷【知识点】函数单调性的性质B3【答案】 【解析】C 解析：设 t=f（x）e x，则 f（x）=e x+t，则条件等价为 f（t）=e+1，令 x=t，则 f（t）=e t+t=e+1，函数 f（x）为单调递增函数，函数为一对一函数，解得 t=1，f（x）=e x+1，即 f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C【思路点拨】利用换元法 将函数转化为 f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出 t 的值，即可求出函数 f（x）的表达式，即可得到结论【题文】二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。【题文】13
14、. 若 ，则 的最大值为 . )2,0(2cossin【知识点】二倍角公式；基本不等式 C6 E6【答案】 【解析】 解析：122222iincostans4s44因为 ，所以 ，所以原式 ，故答案为 。)2,0(tan01tatn【思路点拨】利用二倍角公式把原函数化简，再利用基本不等式即可。【题文】14. 设 为实数,函数 的导函数为 ,且xxf )3()(23)(xf是偶函数，则曲线 在点 处的切线方程为 .)(xfy,f【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程B11【答案】 【解析】 解析：f（x）=x 3+ax2+（a3）x，9160-=f（x）=3x 2+2ax+（a3） ，f（x）
15、是偶函数，3（x） 2+2a（x）+（a3）=3x 2+2ax+（a3） ，解得 a=0，f（x）=x 33x，f（x）=3x 23，则 f（2）=2，k=f（2）=9，即切点为（2，2） ，切线的斜率为 9，切线方程为 y2=9（x2） ，即 9xy16=0故答案为：9xy16=0【思路点拨】先由求导公式求出 f（x） ，根据偶函数的性质，可得 f（x）=f（x） ，从而求出 a 的值，然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线方程【题文】15. 已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 平面 ，ABCSOSABC，则球 的表面积为 .3,2,1,32SA【知识点】球的体积和表面积菁
16、优 G8【答案】 【解析】 解析：如图，三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，6pSA平面 ABC， ，AB=1，AC=2，BAC=60，BC= = ，ABC=90ABC 截球 O 所得的圆 O的半径 r= =1，球 O 的半径 R= =2，球 O 的表面积 S=4R 2=16故答案为 .16p【思路点拨】由三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SA平面ABC， ，AB=1，AC=2，BAC=60，知 BC= ，ABC=90故ABC 截球 O所得的圆 O的半径 r= =1，由此能求出球 O 的半径，从而能求出球 O 的表面积【题文】16. 已知 是函数 的两个零点， ，
17、则 的取值范围是 .21,x|ln)(xef12x【知识点】函数的零点与方程根的关系B9【答案】 【解析】 解析：令 f（x）=0 ，则 ，12e|lxe作出 和 在 R 上的图象，|lnyxxy可知恰有两个交点，设零点为 x1，x 2 且 ，x 11，x 21，故有 x 2，即12|n|llx1x21又 f（ ）0，f（1）0，e x 11，x 1x2 故答案为：（ ，1） e e【思路点拨】作出 和 在 R 上的图象，可知恰有两个交点，设零点为|lnyxxyex1，x 2且 ，再结合零点存在定理，可得结论12|n|l【题文】三、解答题：本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、
18、证明过程或演算步骤。【题文】17.（本小题满分 12 分）设各项均为正数的数列 的前 项和为 ,满足nanS,且 恰好是等比数列 的前三项.NnSan,1412 1452,b(1) 求数列 、 的通项公式；b(2) 记数列 的前 项和为 ，若对任意的 恒成nbnT63)2(,nkTNn立,求实数 的取值范围.k【知识点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式D1 D4 D5【答案】 【解析】(1) (2) 解析：(1)由题意， ，当 n2 时，4a n=4Sn4S n1 = ， ，又 an0，a n+1=an+2当 n2 时，a n是公差 d=2 的等差数列又 a2，a 5，a 14构成等
19、比数列， ， ，解得a2=3，由条件可知， ，a 1=1，又 a2a 1=31=2，a n是首项 a1=1，公差 d=2 的等差数列数列a n 的通项公式为 an=2n1，则b1=a2=3，b 2=a5=9，b 3=a14=27，且b n是等比数列，数列b n的通项公式为 (2)= = ， 对 nN *恒成立， 对 nN *恒成立，令 cn= ，c nc n1 = = ，当 n3 时，c nc n1 ，当n4 时，c nc n1 ， ， 【思路点拨】(1) 由 得，当 n2 时，两式相减并化简，得数列a n为等差数列，再由题目中其他条件计算出a n、b n的通项公式(2)由(1)计算得到 Tn
20、= ，再进行参数分离，将题中不等式转化为： 对nN *恒成立，令 cn= ，作差确定数列的单调性，求出数列的最小值即可【题文】18. (本题满分 12 分）近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱厨余垃圾 400 100 100可回收物 30 240 30其他垃圾 20 20 60(1)试估计 厨余垃圾投放正确的概率;(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设
21、厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾”箱的投放量分别为,其中 , .当数据 的方差 最大时,写出 的值(结论abc060abc,abc2S,abc不要求证明),并求此时 的值.(注:方差 ,其中2S2 212()()nsxxxn为 的平均数)x12,nx【知识点】模拟方法估计概率；极差、方差与标准差I4【答案】 【解析】(1) ; (2) 0.3 ;(3) 80003解析：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 = “余”余 23+401(2)设生活垃圾投放错误为事件 A,则事件 表示生活垃圾投放正确. A事件 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃 圾量、 “可回收物”箱里可回收物量
22、与A“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即 P( ),约为A.所以 P(A)约为 1-0.7=0.3. +=074261(3)当 a, 时, 取得最大值.因为 , bc2S1()203xabc所以 . 2 22(6)(0)(0)83S【思路点拨】 （1）厨余垃圾 600 吨，投放到“厨余垃圾”箱 400 吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；（2）生活垃圾投放错误有 200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；（3 ）带入计算方差可得结果。【题文】19.（本小题满分 12 分）如图,四棱锥 ,侧面 是边长为 的正三角PABCDP2形,且与底面垂直,底面 是 的菱形, 为 的中点.ABCD60M(1) 求证: ； (2) 求点 到平面 的距离.P
