1、2015 届广东省肇庆市高三第三次统一检测 数学（文）本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分. 考试用时 120 分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区） 、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用 2B 铅笔将准考证号涂黑.2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂
2、改液. 不按以上要求作答的答案无效.参考公式：锥体的体积公式 ，其中 S 为锥体的底面积， 为锥体的高. 13Vhh列联表随机变量 . 与 k 对2 )()(22 dbcadbanK)(2KP应值表： )(2kP0.15 0.10 0.05 0.025 0.01k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 A=-1，0，1，B=1，2，则 AB=A1 B0，1 C-1 ，0，2 D-1，0，1，22设 为虚数单位，则复数 对应的点位于i )1(iz
3、A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知向量 ， ，则)4,2(a),(bba2A （3，7） B （3，9） C （5，7） D （5，9）4设 ，则函数 的零点位于区间)(xf )(xfA （2，3） B （1，2） C （0，1） D （-1，0）5在ABC 中， AB=5，AC=3，BC =7，则BAC =A B C D6332656执行如下图的程序框图，则输出的值 P=A12 B10 C8 D67某几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积是A B C D653221618设等比数列 的前 n 项和为 ，若 ，则下列式子中数值不能确定的是anS085aA B C D353
4、5n1nS19过抛物线 的焦点 F 的直线交该抛物线于点 A. 若|AF|=3 ，则点 A 的坐标为xy42A （2， ） B （2 ， ） C （2， ） D （1，2）10对于非空集合 A、B，定义运算： . 已知,|BxxB且， ，其中 a、b、c、d 满足 ，|bxaM|cxN dcba，则0cdbA B C D),(,),(,bda,二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. （一）必做题（1113 题）11如右图是某高三学生进入高中三年来第 1 次至 14 次的数学考试成绩茎叶图，根据茎叶图计算数据的中位数是 .12函数 的定义域 .xxy
5、3)2ln(13已知为不等式组 所表示的平面区域，E 为圆601yx 7986 3 893 9 8 4 1 5103 114（ ）及其内部所表示的平面区域，若“点 ”22)()(rbyax0 ),(yx是“ ”的充分条件，则区域 E 的面积的最小值为 .E,（ ） 14 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系 中，点（1，0）关)2,0)(,于直线 对称的点的极坐标是 .1sin215 （几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆 O 的直径，且 AB=6，CD 是弦，BA 、CD 的延长线交于点 P，PA=4，PD=5，则COD= . 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分. 解答须写出文字
6、说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分 12 分）已知函数 xxxf 2cos)sin()i(3)( （1）求函数 的最小正周期；（2）若 ， ，求 的值0,2103)(f )42si(17 （本小题满分 12 分）某校高一年级有四个班，其中一、二班为数学课改班，三、四班为数学非课改班. 在期末考试中，课改班与非课改班的数学成绩优秀与非优秀人数统计如下表.优秀 非优秀 总计课改班 50非课改班 20 110合计 210（1）请完成上面的 22 列联表，并判断若按 99%的可靠性要求，能否认为“成绩与课改有关” ；（2）若采用分层抽样的方法从课改班的学生中随机抽取 4 人，则数学成绩优秀
7、和数学成绩非优秀抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从中随机抽取 2 人，求两人数学成绩都优秀的概率.18 （本小题满分 14 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，PD 底面 ABCD，PD=AD，E为 PC 的中点，F 为 PB 上一点，且 EFPB.（1）证明：PA/平面 EDB；PA BCDEF（2）证明：ACDF ；（3）求三棱锥 BADF 的体积. 19 （本小题满分 14 分）已知数列 满足： ， （ ） ；数列 满足：na411231naNnb（ ）.nb1N（1）求数列 的通项公式及其前 n 项和 ；n nS（）证明：数列 中的任意三项不可能成
8、等差数列.b20 （本小题满分 14 分）已知直线 l： 与双曲线 C： （ ）相交于 B、D 两点，2xy12byax0,ba且 BD 的中点为 M（1，3）. （1）求双曲线 C 的离心率；（2）设双曲线 C 的右顶点为 A，右焦点为 F， ，试判断ABD 是17|B否为直角三角形，并说明理由. 21 （本小题满分 14 分）已知函数 .xf3)(（1）讨论 的单调区间；（2）若函数 在 ，3 上有三个零点，求实数 m 的取值范围；mxfg)(23（3）设函数 （e 为自然对数的底数） ，如果对任意的neh4，都有 恒成立，求实数 n 的取值范围.,21,x)(21xf肇庆市 2015 届
9、高中毕业班第三次统测数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D A C B C B A D C D二、填空题1194.5 12 13 14 153,2417)4,2(3三、解答题16 （本小题满分 12 分）解：（1） （2 分）xxf 2cossin3)(（4 分）1i2（5 分）)6sin(x所以函数 的最小正周期 . （6 分）)(f 2T（2）由（1）得 ，21cos)2sin(16)3(si)32 （7 分）由 ，得 . （8 分）0cos54cos因为 ，所以 . （9 分）,23in所以 ， ， （11 分）2csisin 25
10、71cos2s所以 . （12 分）034inc4oin)4i(17 （本小题满分 12 分）解：（1）优秀 非优秀 总计课改班 50 50 100非课改班 20 90 110合计 70 140 210（2 分）， （5 分）635.8.2140710)595(2K所以按照 99%的可靠性要求，能够判断成绩与课改有关 . （6 分）（2）数学成绩优秀抽取的人数 （人） ， （7 分）数学成绩非优秀抽取的人数 （人）. （8 分）24105（3）由（2）知，数学成绩优秀抽取的人数为 2 人，设为 、 ；数学成绩非优秀抽取1A2的人数为 2 人，设为 、 ；则所有基本事件有：（ ， ） ， （ ，
11、 ） ， （ ， ） ，1B2 1B1A2（ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ）共 6 种. （10A112分）其中满足条件的基本事件有：（ ， ）共 1 种， （11 分）1A2所以两人数学成绩都优秀的概率 . （12 分）6p18 （本小题满分 14 分）证明：（1）连接 AC 交 BD 于点 G，连接 EG. （1 分）因为四边形 ABCD 是正方形，所以点 G 是 AC 的中点， （2 分）又因为 E 为 PC 的中点，因此 EG/PA. （3 分）而 EG平面 EDB，所以 PA/平面 EDB. （4 分）（2）因为四边形 ABCD 是正方形，所以 ACBD. （5 分）因为 P
12、D底面 ABCD，AC底面 ABCD，所以 ACPD. （6 分）而 PDBD =D，所以 AC平面 PBD. （7 分）又 DF平面 PBD，所以 ACDF. （8 分）（3）过点 F 作 FH/PD，交 BD 于 H.PA BCDEFGH因为 PD底面 ABCD，FH/PD，所以 FH底面 ABCD. （9 分）由题意，可得 ， ， .3PB2CPE由 RtPFERt PCF，得 ， . （10 分）BF3C由 Rt BFHRt BPD，得 ， . （11 分）PDH2PF所以 ， （13 分）9132131SVABDABF所以 ，即三棱锥 BADF 的体积为 . （14 分）919 （本
13、小题满分 14 分）解：（1）由 ，得 . （2 分）1231na)1(321nna因为 ，所以 .4a43因此数列 是以 为首项， 为公比的等比数列. （3 分）n所以 ，即 （ ）. （5 分）1)32(1n 1)32(nnaN所以 （6 分）)(412 nnaS（ ）. （8 分）9)3(142nn （2）由（1） ，得 . （9 分）11)32(4)(3)(41 nnnnnab下面用反证法证明：数列 中的任意三项不可能成等差数列.假设数列 中存在三项 （ ）按某种顺序成等差数列，由于数列 是ntsrb,tnb首项为 ，公比为 的等比数列，于是有 ，则只能有 成立.（114132tsrb
14、trsb2分）所以 ，111)32(4)()(2 trs两边同乘 ，化简得 . （13 分）rt3rtrtstrs因为 ，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾. 故数tsr列 中的任意三项不可能成等差数列. nb（14 分）20 （本小题满分 14 分）解：（1）设 ， ）.),(1yxB2,(yxD把 代入 ，并整理得 ， （1 分）2y2ba 04)( 222 baxab则 ， . （2 分）2214abx214abx由 M（1，3）为 BD 的中点，得 ，即 ， （3 分）122123ab故 ， （4 分）abc22所以 C 的离心率为 . （5 分）ce（2）由（
15、1） ，得 C 的方程为 ， ， ，132ayx)0,(A),2(aF， ，故不妨设 ， ， （6 分）21x0421x12， （7 分）1212111 3)()(| xaaxyaBF ， （8 分）xxD 22222|（9 分）454)()(| 111 ax又 ，所以 ，7|FB78452a解得 或 （舍去）. （10 分）a9所以 ， ， . （11 分）)0,1(A21x1， ， （12 分）),(,yB )2,1(2xAD， （13 分）05)(2)()1( 21221 xxxxADB所以 ，即ABD 是为直角三角形. （14 分）21 （本小题满分 14 分）解：（1） 的定义域为
16、R， . （1 分）)(xf )1(3)(2 xxf因为当 或 时， ；当 时， ； （2 分）10)(f10)(f所以 的单调递增区间为（-，-1 ）和（1，+） ，单调递减区间为（-1，1）.（3 分）)(xf（2）法 1：由（1）知， 在（-， -1）和（1，+）上单调递增，在（ -1，1）上单调递减；)(xg所以 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 .mg2)(xmg2)(（5 分）因为 在 ，3上有三个零点，所以有： ， （7 分）)(xg230)3(1)23(g即 ，解得 ，故实数 m 的取值范围为 . （8 分）01829m2892,89法 2：要函数 在 ，3 上有三个零点，
17、就是要方程xfg)(23在 ，3 上有三个实根，也就是只要函数 和函数()xf ()yfx的图象在 ，3上有三个不同的交点. y23（5 分）由（1）知， 在（-， -1）和（1，+）上单调递增，在（ -1，1）上单调递减；()fx所以 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 .f()2fx()2f又 ， . （7 分）39()28()f故实数 m 的取值范围为 . （8 分）2,（3）对任意的 ，都有 恒成立，等价于当 时，,1,2x)(21xhf2,1x成立. （10 分）minax)()(hf由（1）知， 在 ，1上单调递减，在1，2 上单调递增，且 ，f2 8)2(f，所以 在 ，2 上的最大值 . 2)(f)(x12)(maxf（11 分），令 ，得 . （12 分）exh)(0)(hx因为当 时， ；当 时， ；所以 在 ，1上单调递减，在1x10)(h)(xh21上单调递增；故 在 ，2上的最小值 . （132,)(2min4n分）所以 ，解得 或 ，故实数 n 的取值范围是 .42n1n ,12,（14 分）
