1、2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则 （以下简称为“竞赛章程和参赛规则” ，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载） 。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛
2、章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： B 我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号）： 所属学校（请填写完整的全名）： 北京航空航天大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名) ： 冯伟 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）
3、日期： 2014 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1标题摘要本文以一种采用铰链连接的可折叠桌子为研究对象，立足于折叠桌从平板状态到撑起后桌子状态的变化过程，建立了三维空间代数几何模型和多目标线性规划模型，分析并解决了下列问题。对于问题 1，我们借助建立的几何模型，以桌腿升起的高度作为变化过程的推进量，根据钢筋所在位置确定各个桌
4、腿所在直线，又结合桌腿长度，最终得到每根木条末端位置的数学描述，进一步从单个木条的变化到桌角边缘线的变化最后到桌子整体的变化，利用数学表达式和直观图像两方面，由点到面逐步详细地分析并描述了该折叠桌变形的动态变化过程（如图，公式） 。然后利用各个木条所在直线、钢筋位置、木条末端位置的数学描述，借助空间几何知识，得到了折叠桌的设计加工参数：；桌腿木条最大开槽长度 17.8728cm ；撑起后桌子的桌角边缘线的数学描述为： 2225x1.9tzylz对于问题 2，我们建立了多目标规划模型，首先借助参考文献一中桌子的稳固性的欧洲标准和检测方法，对我们所要设计的折叠桌进行稳固性检测模拟，结合相关力学知识
5、给出满足稳固性要求的数学表达作为约束条件，同时把用料最少作为目标函数，最优化求解后最终确定最外侧桌腿的长度，进而确定长方形平板材料的尺寸。然后考虑加工的便捷性，把各个木条末端距离槽的距离的最小值作为目标函数，求得此目标函数取最大时对应的钢筋位置作为其最佳位置。最后根据问题 1 中的几何模型和相关位置的数学描述方法求得开槽长度。对于题目中给定的桌高 70 cm，桌面直径 80 cm 的情形，我们的运算结果如下：平板尺寸为长 166.48cm，钢筋距离中心 45cm，最大开槽长度为 34.3357cm对于问题 3，基于问题 1 中的代数几何模型和问题 2 中稳固性和用料量的优化处理方法，对于任意设
6、定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状和桌角边缘线的形状，我们给出了设计加工参数的数学模型和具体操作步骤：1) 确定最外侧桌腿长度；2) 确定钢筋位置；3) 确定剩余桌腿长度；4) 确定平板材料形状尺寸；5)稳固性检验与可行性检验。该模型的适用性很广，根据上述模型与操作步骤，对于顾客给出的任意桌面边缘线、桌角边缘线和桌面高度，不管桌子是否对称，是否规则，我们基本能够最大限度地满足顾客需求，呈现出相应形状尺寸且满足桌子稳固性标准的折叠桌。最后，我们给出了三个自己设计的创意折叠桌。关键词：桌角边缘线、桌子稳固性、多目标规划2一、 问题背景与重述题目给出了一种创意平板折叠桌，重量轻，变形容易。桌面呈圆形，
7、桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板，桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。基于这种创意平板折叠桌，我们具体分析了以下三方面的问题：问题一给定这种桌子的平板尺寸、木条宽度以及折叠后桌子的高度，又已知钢筋固定的位置，我们建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，并给出了桌子的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。问题二对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，我们把产品稳固性、加工便捷性、用材数量三方面考虑在内，确定最优的设计加工参数，并给出计算实例。问题三对于顾
8、客任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，我们建立数学模型，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状，最后给出了我们自己设计的几款创意平板折叠桌和相应的设计加工参数。二、 问题分析问题一题目给出了长方形平板的尺寸 120 cm 50 cm 3 cm，且每根木条宽 2.5 cm，由此可以由平面几何是知识得到木条的数目以及各个木条的长度。要分析此折叠桌在三维空间内的动态变化过程，我们可以选取桌面升起的高度作为变化推进量来描述整个桌子的动态变化过程。根据桌面升起的高度以及钢筋固定位置我们可以得到相应时刻空间内钢筋所处
9、直线，从而由勾股定理可进一步得知钢筋相对每根木条的位置以及每根木条末端的位置。随之桌面升起高度的渐变，就能得到桌角边缘线的渐变过程以及钢筋相对每根木条平板状态下的偏离距离，每根木条的最大偏移距离即开槽长度也能随之确定。问题二3同样是问题一中提到的折叠桌，对于任意给定的桌子高度和和圆形桌面直径，我们考虑桌子的稳固性、用料量和加工便捷性，使产品设计达到最优化，这是一个多目标规划问题。首先我们可以利用桌子稳固性的欧洲标准和检测方法对折叠桌进行检测模拟，根据力学相关知识给出满足稳固性要求的数学表达式作为约束条件，然后把用料量作为目标函数，求得其最小值时的相关参数，由此确定最外侧桌腿的长度，而长方形平板
10、的宽即圆形桌面的直径已给定，进而平板材料的尺寸可以得到。关于钢筋位置的确定，我们从加工方便的角度出发，由于钢筋位置影响槽的位置，而太过靠近桌腿木条末端的开槽方式在实际加工过程中容易穿透木条，使得加工不便，并且影响桌腿质量与桌子的使用寿命，因此我们可以选取钢筋距离桌腿末端距离最小值作为目标函数，当它取最大值时对应的位置为钢筋的最佳位置。钢筋位置确定后，借助问题一的几何模型，可以求得各个木条具体的开槽位置和长度长度。以题目中给出的桌高 70 cm，桌面直径 80 cm 的情形为例，为使加工方便且美观，我们仍采取每边 20 根，共 40 根木条的方案，给出最优化方案的计算实例。问题三对于客户任意设定
11、的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，我们的设计方法可以参照问题二的模型，把产品的稳固性，用料量也考虑在内，尽可能的设计出满足顾客需求的折叠桌。给出折叠桌高度，我们可以参照第二问提到的桌子稳固性标准和监测方法，首先得到外援桌腿的长度倾斜角度等参数，然后根据桌角边缘线大致形状来确定钢筋的位置，最后，把桌角边缘线还原到每根木条上，可以得到剩余木条的长度，根据钢筋位置与桌面连接处之间距离的变化值进一步求得木条的开槽长度。此时，折叠桌的各个设计参数都已给出，只需把折叠桌还原到平板状态，即可知平板材料的形状尺寸。之后按照上述模型和操作步骤，我们给出了几个设计实例，包含了折叠桌设计的几
12、种典型情况。三、 模型假设假设一：考虑木条时，把它抽象为一根位于真实木条宽度中央处，只有长度没有宽度的线段；假设二：忽略木条之间空隙，充分利用平板，且各个木条活动自如；假设三：桌子质量的计算忽略加工过程中的裁剪，就是平板材料的质量；4四、 符号说明与名词解释符号 符号说明h动态变化研究过程中桌腿升起的高度H折叠桌的高度d钢筋到对应桌面连接处距离t当前研究木条离开中轴线距离tl离开中轴线 处木条的长度t,ttxyz离开中轴线 处木条末端坐标h钢筋所处直线的 轴坐标yz钢筋所处直线的 轴坐标ztC离开中轴线 处的木条上开槽的长度t五、 模型的建立与求解问题一1. 模型建立为了方便描述问题一要解决的
13、折叠桌动态变化过程，我们记平板状态为初始状态，以平板时刻桌面圆盘中心为坐标原点，竖直向上方向为 轴正方向建z立空间直角坐标系（如图 1） ，桌面保持原位置不变，让桌腿逐渐升高直到变形成倒立撑起的桌子模样。把边缘桌腿升起高度 作为动态变化推进量，令 从hh0 变化到桌子高度 来描该改折叠桌从平板状态逐渐变为桌子状态的动态变化H全过程。由于长方形平板厚 3cm，故折叠后桌子下表面的高度为 50cm，以下我们只考虑桌子升起高度时只考虑桌面下表面。5图 1考虑木条时，把它抽象为一根位于真实木条宽度中央处没有宽度的线段（如图 2） 。图 2首先由平面几何知识，我们求得距离中心 处的木条长度为t2605t
14、l由假设一可知抽象后 ，由根据平板尺寸可知每一边共有1.251tn20 根木条，对称后即 。当边缘桌腿升起高度 时，因为连接桌腿,.9,nh木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，且 ，由2223.75603.75l勾股定理及空间几何知识可知此时钢筋的位置为 23.7523.751hhyllz6并且桌子的每根木条都要与上述钢筋所在直线相交，即桌面上每一点出发的木条，均会通过点 ，由此确定出每根木条所在直线,0tAxy,yzhCx25hhztx又考虑到每根木条的长度一定，我们可以得到每根木条末端坐标满足：,ttBxyz， 2225ttt tththxzylz同时，这也就是桌脚边缘线关于 的参数
15、方程（图 1） 。t2. 折叠桌动态描述为了清晰的描述折叠桌的动态变化过程，我们先从单个木条运动轨迹、桌角边缘线变化过程两个方面进行描述，最后构勒出整个桌子的动态变化过程，具体如下：1) 单个木条运动轨迹上述模型给出了每根木条末端坐标边缘桌腿上升高度 的关系式（） ，当h从 0cm 逐渐增大变化到 50cm 时，折叠桌完成了从平板到桌子的变形，对于h每个 处特定的木条，我们能给出其底端运动的轨迹，即围绕桌面边缘连接xt处在 平面内的圆周运动的一部分，不同木条转动的角度不同：。 arcsinttzl因此木条所在直线随边缘桌腿上升高度 从 0cm 逐渐增大变化到 50cm 时，h运动轨迹即在 平面
16、内扫过圆心角为 的扇面。以 、xtt1.25tcm、 的木条为例，下图给出了对应的动态变化过程（如图21.5tcm32.75c3） 。7图 32) 桌角边缘线变化过程上述坐标方程（）同样可以看做是以 为参数的桌脚边缘线，随着 从 0cmt h逐渐增大变化到 50cm，桌角边缘线从一条直线逐渐变为空间曲线，如图 4，两个曲面的交线即为所求边缘线。图 43) 折叠桌的动态变化过程根据上述各个木条以及桌角边缘线的动态变化过程，再按照假设一将直线复原为矩形，就可以得到了桌腿构成的曲面在桌角逐渐升高的过程中的变化过程，即折叠桌由平板状态逐渐变为撑起的桌子状态的动态变化过程。 （图 5）详细参考附件动图
17、18图 53. 模型具体求解1) 折叠椅加工参数题目中给出了平板的尺寸 120 cm 50 cm 3 cm 和每根木条宽度 2.5 cm，在假设二下，我们可以容易得出木条根数：每边 20 根，共 40 根。在上述模型建立时，我们得到了当桌面上升高度为 时，钢筋所在位置h，23.7523.75160hhyllz也就是说从桌面上任一点 出发的木条，也一定穿过钢筋通过的点,Axy，因此两者之间的距离为,yzhCx，25thhdytz对于桌面边缘出发的任意一根木条，我们能证明钢筋所处位置到桌面边缘点 之间的距离 是随着 增大而逐渐增大的，,yzhCx,Axtd具体如下：我们把各个木条投影到 平面上来研
18、究其动态变化过程，由于钢筋固定在yoz最外侧木条的中心位置，所以在运动过程中钢筋的投影点到最外侧木条的起始点 的距离不变，沿最外侧木条的起始点 做圆周运动，当最外侧钢筋转动一o o个角度 时，由钢筋所处位置 以及研究木条的起始点位置 即可确定此时木CA条的状态，如图 6，由几何知识可知，两者之间的距离随着角度 的增大而增9大，即 是关于 的单调不减函数（除最外侧桌腿木条 时外，均为单调增tdh 38t函数） 。图 6由分析可知当 从 0cm 逐渐增大变化到 50cm 时，上述距离 的浮动即为木h td条所需开槽的长度，所以对于每根桌腿木条来讲，其开槽长度为。0HtttCd我们借助 Mathem
19、atica 求得计算后得到每根桌腿木条上的槽长从最外侧到最内侧依次如下表（木条编号 从最边缘开始编）：nn1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Htd26.096925.090025.030925.273125.616625.970426.287526.541526.717426.8072tcm38 34 30 26 22 18 14 10 6 2tC0 4.356447.6637210.368412.592614.39315.803116.844517.531417.87282) 桌角边缘线上述给出的木条末端坐标同样也是桌角边缘线的参数表达形式，这里取，即可得到折叠桌的桌角边缘线，整理如下
20、：（图 7 中两曲面的交线）50hcm2225x1.tzylz10图 7问题二问题二中给出桌高 70 cm，桌面直径 80 cm 的情形，通过理论力学分析发现，由于对称性，钢筋对于两腿没有力的作用，也就是说中间搭在钢筋上的木条对于桌子的稳固性并没有很大影响（忽略内部摩擦的影响） ，且桌面直径即长方形平板的宽度，已经给定，所以木条根数对于用料也没有影响。因此，在设计优化过程中，为加工方便且外形美观，我们仍然选择每边 20 根木条，共 40 根木条的模型。同时平板厚度仍然为 3cm，以下给出设计的优化实例。我们首先对问题进行定性分析，折叠桌的设计要求做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。当用材最少
21、时，很明显应该是桌脚处于垂直的状态时，此时还有着不易因摩擦不足而滑行失稳的优点，但是也明显存在着容易侧翻使得不稳固的缺点，而加工方便与用材少没有太大关联。于是我们对于这个优化问题分布求解，先将产品稳固（不侧翻）作为约束条件，以用料最少作为目标函数求得平板的尺寸，再求钢筋的位置使得加工最便捷。1. 平板尺寸按照问题一中建立的模型，圆桌直径即长方形平板的宽。而长方形平板长的确定我们综合了产品稳固性要求和用料量的多少，于是我们以平板长（设为L）为决策变量，产品稳固（不侧翻）作为约束条件，以用料最少作为目标函数建立优化模型。不侧翻的约束条件，我们参考了欧洲关于家具的标准和检测方法 BS EN 581-
22、1,2,3（文献1）和 BS EN 12521-2009（文献2 ）中关于稳定性的要求，根据桌子的分类，我们按照据文献1中提到的桌子稳固性的标准和检测方法，来确定产品稳固的约束条件首先桌子要满足垂直加载测试（图 8）：11图 8我们在距离桌子边缘向内 最危险的位置施加竖直向下大小为 的力，50m1F保证桌子不发生侧翻。我们又根据文献3得知所有木材的密度几乎相同，约为 ，平30.4.5gcm均值为 ，其表现密度因树种不同而稍有不同。下面计算在假设三的条30.54gcm件下，忽略加工过程中的裁剪，同时折叠桌密度取木材平均密度。于是得到桌子的质量 M 为我们按照最严格的标准取 ，在最危险的位置施加力
23、，使桌子仍然40FN无法侧翻，如图 9图 9在上述方案下，每根木条间隔 4cm，最外边的木条位于 处，此时对38tcm应的 。于是得到支持点到重心的距离为240381.49y3cm80gL122(/)dLyh对支持力所在处取力矩，使得桌子无法倾倒，得到以下约束：(405d)MF我们再对桌子进行水平加载测试，如图 10图 10在桌子中心放置重物 (不超过 50kg)，使得在力 =100N 的作用下，保持M2F稳定。可以发现 在该种情况下可以忽略。,cdF于是，按照相同的方法，对支持力所在处取力矩，使得桌子无法倾倒，得到以下约束： 2()hd至此建立了模型二的关于求解平板尺寸的部分： 2min(M
24、)405d)3cm80d)FgLhM 将数据带入求解，得到最优的桌子长度 L=166.48cm。2. 钢筋位置由问题一分析可知，钢筋所处位置影响木条上开槽的长度，对于每个木条来讲，槽的长度影响该木条的质量，在实际操作中考虑到加工的便捷性，木条上的槽越靠近木条末端，加工时的微小差错就越容易穿透木条，桌腿木条的质量大大受其影响，更容易导致不合格品的产生；且在桌子使用过程中，过于靠近桌腿木条末端的开槽更容易穿透木条，会影响桌子的使用寿命。因此我们选取各个木条末端距离槽的距离的最小值最大时对应的钢筋位置作为其最佳位置。13在上节分析中长方形平板的长和宽参数已给出，因而可进一步得知每根木条的长度，即，2
25、83.40tlt假设钢筋位于最外侧腿长距离木条顶部 分点处，则钢筋所处坐标为m，23838.hhylHlz这时钢筋沿木条距离桌面边缘的距离为，240thhdytz根据问题一第三节中关于距离 变化的讨论我们得知当 时，距离 取t 70cmtd得最大值，此时钢筋位置最靠近各个桌腿木条的末端，对应开槽的最远距离。按照上述分析我们有目标函数：，0,38inttDld其中 表示各个桌腿木条末端到槽距离的最小值，它是关于分位点 的一元函D m数， 的范围 为约束条件，求取目标函数的最大值，此时对应的 即m0,1描述了钢筋的最佳位置。针对题目中的情况，我们代入具体数据计算后得到： 。0.46还原到实物上，即
26、钢筋最佳位置应该位于距离长方形平板长的中线 处。5c（图 8）3. 开槽长度根据前两节的分析，我们已经确定出了的钢筋位置，即 时对应的钢0.46m筋所在直线方程： ，此时，代入钢筋位置沿木条距离桌面边缘的17.832hycmz距离 ，有td。22238380.46.40.46tlhlth事实上，对于不同木条，即 取不同值时，令 从 0cm 逐渐增大变化到th70cm，此时对应距离 浮动的大小就确定了相应木条上的槽长。又根据问题一td第三节中关于距离 变化的讨论，我们知道 是关于 的单调不减函数（除最t td14外侧桌腿木条 时外，均为单调增函数） ，所以每根木条的槽长 即为38t tC。计算后
27、得到每根桌腿木条上的槽长从最外侧到最内侧依次如下表70tttCd（木条编号 从最边缘开始编）：n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10tcm38 34 30 26 22 18 14 10 6 2tC0 8.4660614.922720.15724.414827.827530.478532.424333.702334.3357至此我们得到了满足问题二桌面直径和桌子高度的最优化设计方案，此折叠桌的模型图如下（图 11）：图 11事实上，由力学分析可知，撑起的桌子有克服地面与桌腿之间摩擦力和铰链系统之间的摩擦力向平板状态改变的趋势，最外侧的承重桌腿与竖直方向的夹角越小，桌子稳定性越高，越不容易变为
28、平板状态；另一方面，为了达到便携式桌子稳固性监测的欧洲标准，桌腿需要一定的倾斜角度以防止侧翻。我们给出的折叠桌设计加工方案桌腿与竖直方向的夹角较小，因此上述模型和设计方案在直观上也是合理的，可以被欣然接受。问题三为了尽可能的满足顾客的需求，对顾客任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线形状大小和桌角边缘线的大致形状，我们首先采取文献1中提到的便携式15桌子稳固性标准和监测方法，将桌子的稳固性考虑在内，确定折叠桌的最外侧桌脚也就是桌腿的长度，然后根据顾客提供的桌脚边缘线的大致高度确定钢筋的位置，确定桌子侧面的形状，再将顾客所要求的边缘线的形状投影到所得到的侧面上，得到折叠桌成品，再重新经过安全性测试和可
29、行性测试，就得到最终的折叠桌成品（如下图 12） 。图 12在下面的处理中，我们仍取平板材料厚度为 进行计算，实际生产中可3cm提供多种材料供顾客选择，在此不考虑；为使加工方便，我们规定桌腿均为一边 20 根，共 40 根，在实际生产中可根据顾客要求桌面尺寸大小确定合适的桌腿数目；1. 确定最外侧桌腿长度首先，我们对顾客给出的桌面边缘线进行处理，选取合适的位置（规则图形的几何中心）作为坐标原点，以桌腿的方向为 轴，建立平面直角坐标系，x运用相关软件拟合出该桌面边缘线的函数表达式 。在此平面直角坐标yf系的基础上以竖直向上为 轴正方向建立空间直角坐标系（图 1） 。此时， 的z x取值范围为 ，
30、因为每半边桌子 20 根桌腿，所以桌腿之间间隔minax,16，由此我们可以确定每根桌腿的位置，maxin20。ax1,23.0t 为使折叠桌满足桌子稳固性的欧洲标准，我们选择最容易发生侧翻的沿轴方向距离原点最远的边缘向内 处进行测验，在其正上方施加竖直向y 5m下的力 ，同样的，我们取最严格的标准 ，记撑起的折叠桌边缘桌腿F40FN在 平面的投影线段长为 。上述分析中我们得知，边缘桌腿倾斜角度越小xod稳定性越好，在桌腿与垂直方向夹角很小的情况下，我们可以用桌面高度近似代替桌腿长度，并仍然按照长方形平板材料进行计算，在假设三的条件下，若折叠桌关于 方向轴对称，折叠桌不发生侧翻，有下列等式成立
31、：x，maxma53222Ffdfghfdf同样的，若折叠桌不对称，则只需要对左右两边分别进行上述分析即可。由垂直加载测试，我们可以得到满足稳固性条件下最好的桌腿水平面上的投影距离 ，进而可以根据桌面高度 由勾股定理求得边缘桌腿的长度dh。2边 缘 lHd2. 确定钢筋位置由上述分析我们知道钢筋的位置对折叠桌的稳固性影响不大，但是影响桌腿木条的开槽长度：桌角边缘线只能出现在钢筋位置到木条末端的范围内，钢筋位置的不同也会影响桌角边缘线的范围。所以为了尽可能的满足顾客对桌角边缘线的要求，使加工方便，我们把桌角边缘线作为设定钢筋位置时首要考虑的因素：将选取距顾客给出的桌角边缘线 处作为钢筋所在位置，
32、具体如下。3cm通过上述步骤，我们可以求得边缘桌腿的长度和倾斜角度，由边缘桌腿的起点 和末端 ，可以确定边缘桌腿所在直线 ，t,0Aft,Bfdh zyxt此时桌子的轮廓已经确定，我们把桌子轮廓投影到 竖直平面上，并把顾客xoz给出的桌角边缘线绘制在 竖直平面的投影上，得到投影曲线 ，选取xoz zg桌角边缘线 轴上最小值 沿负方向低 处作为钢筋所在高度（图 11） ，即zmin5c，且钢筋在边缘桌腿上，经过点 ，因而由边缘桌腿min3hz 1t,z,hC17所在直线可求得钢筋所在直线 ，钢筋在边缘桌腿上的固定位置由此1zhy可知。3. 确定剩余桌腿长度剩余桌腿的长度我们主要通过客户给出的桌角
33、边缘线以及钢筋位置来定。以特定的木条为研究对象，对于桌面上任意一点 出发的桌腿，均经t,0Af对应钢筋上一点 ，由此两点可以确定研究桌腿所在直线1t,z,hC。zyxt又由顾客给出的桌角边缘线在 平面上的投影函数 ，可得知当ozgx时的桌角高度，把此高度再还原到对应的木条上即可得到研究木条尾端的xt位置 ，进一步由勾股定理自然得到所研究木条的长度。1,z,gBt4. 确定平板材料形状尺寸由以上三步我们确定了各个木条的长度，再结合顾客给出的桌面边缘曲线，我们可以还原出折叠桌摊平时的形状，即平板材料的形状，其最大宽度是桌面最大宽度，最大长度是沿 轴方向桌腿长度与桌面长度和的最大值，平板边缘y曲线由
34、桌腿长度以及桌面边缘线共同确定。5. 稳固性检验与可行性检验稳固性检验：将求得的木板材料的质量带回欧洲标准关于桌子不侧翻的要求中进行检验是否合理，如不合理，则改变木板质量为该质量，然后重新进行该流程，知道满足稳固性为止。可行性检验：主要是初始开槽位置的确立，问题一中类似，对于任意一根从 出发的木条，当桌面降落高度 时钢筋落回木条上的t,0Af h点，检验该点是否原理桌面，如不可行，则提醒客户所涉及桌脚形zhCxy状太高，需要重新设置。同时利用问题一中的模型方法，可以求解出各木条的开槽长度： 。0Htttd。6. 设计实例1) 假设客户要求制作一个桌面为 的椭圆，而高22/40/31xy度为 7
35、0cm，桌脚形状为高度为 35cm 的三角形的折叠桌18按照流程图，我们首先按照 1 中方法对于最外侧桌腿长度进行求解，得到长度为 L=79.73cm接着，由于桌脚高度为 30cm,所以我们将钢筋固定在距离地面30+3=33cm 处，投影高为 30，宽为 80，于是按照客户的要求，给出如/403zx的投影函数，将其投影到由桌脚和钢筋位置以及确定的各木条上，作为桌脚的边缘。综上就得到了我们的椭圆三角椅子如下图 13图 13对应的各木条长度（从内到外）分别为：34.5309, 37.9146, 41.0566, 43.9077, 46.4253, 48.5808, 50.3781, 51.8996
36、, 53.4501, 56.2804再将数据带回得到动态变化过程（详细参见附件动图 2） ，如图 14：图 1419求得其开槽长度（从内到外）分别为：25.7067, 25.2418, 24.3036, 22.8746, 20.926, 18.4137, 15.27, 11.3832, 6.53209, 0.（2）其他创意桌子：桌子为对角线长为 50cm 的正方形，高度为 50，桌脚边缘线一侧大致是M 字样，另外一侧直接是全部着地。动态变化过程如图 15：图 15其中对应的各木条长度（从内到外）分别为：M 一侧：49.8418, 45.7792, 40.602, 34.9945, 29.762
37、5, 25.8508, 24.4116, 26.9223, 35.3421, 52.2921直面一侧：50.514, 50.2193, 50.0478, 50.001, 50.079, 50.2814, 50.6066, 51.0524, 51.6155, 52.2921其开槽长度（从内到外）分别为：M 一侧：25.637, 21.9088, 18.361, 15.0158, 11.8937, 9.01181, 6.38135, 4.00634, 1.88293, 0.直面一侧：均为 020桌子上部为相距 30cm，宽 60cm 的两抛物线，高度为 60，桌脚边缘线大致都为抛物线。动态变化过程
38、如图 16：图 16其中对应的各木条长度（从内到外）分别为：如图左侧：45.0247, 45.8445, 47.3706, 49.3887, 51.614, 53.7526, 55.6252, 57.4053, 60.0362, 65.7313如图右侧：43.4689, 43.8917, 44.7213, 45.9357, 47.5291, 49.549, 52.1513, 55.6719, 60.6959, 68.0848其开槽长度（从内到外）分别为：如图左侧：10.9825, 10.8866, 10.6848, 10.3554, 9.85879, 9.12694, 8.04332, 6.4
39、0761, 3.8873, 0如图右侧：27.0446, 26.2748, 24.7526, 22.5149, 19.6229, 16.1689, 12.2846, 8.14729, 3.97473,0六、 模型的评价改进与推广1. 模型的优点1) 根据问题一建立的模型，我们从单个木条变化过程到桌角边缘线变化过程最后到整个折叠桌的变化过程，用数学表达式和直观图像两种方式，由点到21面再到体全方位多形式的描述了折叠桌从平板状态逐渐变化为撑起的桌子状态的动态变化过程，直观清晰，丰富全面，还原准确；2) 借助力学分析，综合考虑了折叠桌的稳固性、用料量以及加工的便捷程度，立足于桌子稳固性的欧洲标准和监
40、测方法，给出了最优设计加工参数，可靠性强；3) 问题三有关设计加工参数的数学模型的灵活度大、适用性广，并且给出了实际操作的具体步骤，根据此模型与操作步骤，基本能不受限制地满足顾客提出的各种折叠桌桌面形状、桌子高度和桌角边缘线的要求，不管桌子是否对称，是否规则，我们都能够呈现出相应形状尺寸且满足桌子稳固性标准的折叠桌。2. 模型的缺点与改进第二个多目标规划模型建立时对于折叠桌的稳固性我们直接以整体为研究对象进行稳固性检测模拟，并没有对具体的桌腿木条以及钢筋做详细的受力分析，最优化设计方案确定过程中考虑并不是很全面。因此接下来的研究可以对桌腿木条以及钢筋进行受力分析，从力学的角度给出满足折叠桌稳固
41、性要求的数学描述，增加约束条件，使得折叠桌的设计得到进一步地优化。3. 模型拓展本文中建立的几何模型为桌椅的设计，尤其是综合考虑桌椅稳固性、用料量和加工便捷程度等方面设计实物的具体加工参数提供了思路。设计师在设计桌椅等家具时，除了要追求美观与创意，更重要的是要达到相应的稳固性要求，设计出实用且独具创意的优秀作品。问题二中建立的多目标规划模型在需要考虑多种因素进行优化的实际生产过程中非常实用，能够很好的权衡生产成本以及产品质量等生产要素。问题三中的模型为题目中提到的由顾客提出的要求确定对应设计加工参数的软件的开发提供了支持，使得这一软件能极大可能地满足顾客的需求，提高顾客满意度。七、 参考文献1 BS EN 581-1,2,3 欧洲户外家具测试标准 .2 BS EN 12521-2009 家具.强度、耐久性和安全性.家用桌子的要求223 张帆.基于有限元法的实木框架式家具结构力学研究 . 北京：北京林业大学，2012.1-34 GB-T 3326-1997 家具 桌、椅、凳类主要尺寸s八、 附录
