1、2015-2016 学年福建省漳州市龙海二中高三（下）开学数学试卷（理科）一、本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 M=x|x22x0，N=x|log 2（x 1）1，则 MN=（ ）A0，3） B0，3 C1，2） D1，22 （5 分）已知 a 为实数，若复数 z=a23a4+（a 4）i 为纯虚数，则复数 aai 在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）下列命题中正确命题的个数是（ ）（1）cos0 是 的充分必要条件（2）f（x）= |sinx|+|
2、cosx|，则 f（x）最小正周期是 （3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变（4）设随机变量 服从正态分布 N（0，1） ，若 P（ 1 ）=p，则 A4 B3 C2 D14 （5 分）已知一组数据 1，3，5，7 的方差为 n，则在二项式（2x ） n 的展开式所有项中任取一项，取到有理项的概率为（ ）A B C D5 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A B C D6 （5 分）已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A16 B32 C36 D487 （5 分）已知函数 f（x）=sin（x+） （ 0，| ）的最小正周
3、期是 ，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数 f（x）的图象（ ）A关于直线 x= 对称 B关于直线 x= 对称C关于点（ ，0）对称 D关于点（ ，0）对称8 （5 分）已知在圆 x2+y24x+2y=0 内，过点 E（1，0）的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD，则四边形ABCD 的面积为（ ）A B6 C D29 （5 分）在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一步或最后一步，程序 B 和 C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ）A24 种 B48 种 C96 种 D144 种10 （5 分）已知实数 x，y 满
4、足条件 若目标函数 z=3x+y 的最小值为 5，其最大值为（ ）A10 B12 C14 D1511 （5 分）已知中心均在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 F1、F 2，这两条曲线在第一象限的交点为 P，PF 1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形若|PF 1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e 2，则 e1e2 的取值范围为（ ）A B C （2，+） D12 （5 分）函数 f（x）= ，直线 y=m 与函数 f（x）的图象相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为 a，b，c，d，有以下四个结论m3，4）abcd0，e 4）a+b+c+d若关于 x 的方
5、程 f（x）+x=m 恰有三个不同实根，则 m 取值唯一则其中正确的结论是（ ）A B C D二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13 （5 分）已知向量 ， 满足（2 ） （ + ）=6，且| |=2，| |=1，则 与 的夹角为 14 （5 分）由曲线 y=x2 和直线 y=1 所围成的封闭图形面积为 15 （5 分）已知在直角梯形 ABCD 中，ABAD，CDAD ，AB=2AD=2CD=2，将直角梯形 ABCD 沿AC 折叠成三棱锥 DABC，当三棱锥 DABC 的体积取最大值时，其外接球的体积为 16 （5 分）设ABC 的内角 A，B ，C 所对的边分别
6、为 a，b，c，则下列命题正确的是 （填写所有正确命题的序号）若 sinAsinB=2sin2C，则 0C ；若 a+b2c，则 0C ；若 a4+b4=c4则ABC 为锐角三角形； 若（a+b）c2ab，则 C 三解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17 （12 分）已知正项等比数列a n前 n 项和为 Sn，且满足 S3= ，a 6，3a 5，a 7 成等差数列（）求数列a n的通项公式；（）设数列 bn= ，且数列 bn 的前 n 项的和 Tn，试比较 Tn 与 的大小18 （12 分）某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取 40 件产品，测量这些产品的重量（单
7、位：克） ，整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间分别为（490，495，（495，500， （500，505， （505，510， （510，515）（I）若从这 40 件产品中任取两件，设 X 为重量超过 505 克的产品数量，求随机变量 X 的分布列；（）若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取 5 件产品，求恰有两件产品的重量超过505 克的概率19 （12 分）如图，已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为菱形，PA平面 ABCD，ABC=60，E，F 分别是 BC，PC 的中点（I）证明：AEPD；（II）H 是 PD 上的动点，EH 与平面 PAD 所成的
8、最大角为 45，求二面角 EAFC 的正切值20 （12 分）已知椭圆 C： =1（ab0）的离心率为 ，且过定点 M（1， ） （1）求椭圆 C 的方程；（2）已知直线 l：y=kx （ kR）与椭圆 C 交于 A、B 两点，试问在 y 轴上是否存在定点 P，使得以弦AB 为直径的圆恒过 P 点？若存在，求出 P 点的坐标和PAB 的面积的最大值，若不存在，说明理由21 （12 分）已知函数 f（x） =x2+a（x+lnx） ，aR（）若当 a=1 时，求 f（x）的单调区间；（）若 f（x） （e+1）a，求 a 的取值范围选做题（请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多
9、做，则按所做的第一题计分） 选修 4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图，AB 是圆 O 的直径，弦 CDAB 于点 M，E 是 CD 延长线上一点，AB=10，CD=8，3ED=4OM，EF 切圆 O 于 F，BF 交 CD 于 G（1）求证：EFG 为等腰三角形；（2）求线段 MG 的长选修 4-4：坐标系与参数方程 23平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 p2cos2+p2sin2psin3=0（1）求直线 l 的极坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求
10、|AB|选修 4-5：不等式选讲24设函数 f（x）=|2x+1|+|x a|，aR（）当 a=2 时，求不等式 f（x）4 的解集（）当 a 时，对于 x（ ， ，都有 f（x）+x3 成立，求 a 的取值范围2015-2016 学年福建省漳州市龙海二中高三（下）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2016 春 龙海市校级月考）已知集合 M=x|x22x0，N=x|log 2（x1）1，则 MN=（ ）A0，3） B0，3 C1，2） D1，2【分析】化简集合 M，
11、集合 N，进而根据集合并集运算规则，求出结果【解答】解：x 22x0，解得 0x2，即 M=0，2log 2（x1）1，0x12，解得 1x3，M=（1，3） ，MN=0，3 ） ，故选：A【点评】本题考查的知识点是，集合的并集运算，不等式的解法，其中求出集合 M，N 是解答本题的关键2 （5 分） （2016 陕西校级模拟）已知 a 为实数，若复数 z=a23a4+（a4）i 为纯虚数，则复数 aai 在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】根据复数是纯虚数求出 a 的值，结合复数的几何意义进行求解即可【解答】解：若复数 z=a23a4+（a 4）i
12、 为纯虚数，则 得 得 a=1，则复数 aai=1+i 对应的坐标为（1，1）位于第二象限，故选：B【点评】本题主要考查复数的几何意义以及复数的概念，求出 a 的值是解决本题的关键比较基础3 （5 分） （2015 秋 哈尔滨校级期末）下列命题中正确命题的个数是（ ）（1）cos0 是 的充分必要条件（2）f（x）= |sinx|+|cosx|，则 f（x）最小正周期是 （3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变（4）设随机变量 服从正态分布 N（0，1） ，若 P（ 1 ）=p，则 A4 B3 C2 D1【分析】 （1）cos0，根据图象可得 k ；（2）根据诱导
13、公式可知 f（x ）最小正周期是 ；（3）根据方差的计算公式可得结论；（4）利用正态分布的性质可解【解答】解：（1）cos0，则 k ，故是 的充分不必要条件，故错误；（2）f（x）= |sinx|+|cosx|，则 f（x）最小正周期是 ，故错误，（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则每个数与平均数的差的平方不变，故样本的方差不变，故正确；（4）设随机变量 服从正态分布 N（0，1） ，若 P（ 1 ）=p，由图象的对称性可得，若 P（1）=P，则 P（ 1）=P ，P（11）=1 2P，则 ，故正确故选：C【点评】考查了余弦函数的性质，周期性，方差的计算和正态分布的性质4
14、 （5 分） （2016 春 龙海市校级月考）已知一组数据 1，3，5，7 的方差为 n，则在二项式（2x ） n 的展开式所有项中任取一项，取到有理项的概率为（ ）A B C D【分析】由条件利用方差的定义求得 n，再求得（2x ） 20 的展开式的通项公式，求得有理项共有 7 项，而所有项共有 21 项，从而求得取到有理项的概率【解答】解：由题意可得，数据 1，3，5，7 的平均值为 4，它的方差为 n=（14） 2+（3 4） 2+（54）2+（74 ） 2=20，二项式（2x ） n=（2x ） 20 的展开式的通项公式为 Tr+1= （1） r220r 令 20 为整数，可得 r=0
15、， 3，6，9，12，15，18，共计 7 项，而展开式共有 21 项，故在所有项中任取一项，取到有理项的概率为 = ，故选：C【点评】本题主要考查方差的定义，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题5 （5 分） （2016 河南一模）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A B C D【分析】根据程序框图，它的作用是求 + + + 的值，用裂项法进行求和，可得结果【解答】解：该程序框图的作用是求 + + + 的值，而 + + + =（1 ）+（ ）+（ ）+（ ）= ，故选：C【点评】本题主要考查程序框图，用裂项法进行求和，属于基础题
16、6 （5 分） （2015 春 恩施州期末）已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A16 B32 C36 D48【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体为一条侧棱与底面垂直，且底面为直角梯形的四棱锥，结合图中数据求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体为如图所示的四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为直角梯形；其中 BC=2，AD=6，AB=6 ， SA平面 ABCD，SA=6，四棱锥 SABCD 的体积为V= （2+6）66=48故选：D【点评】本题考查了空间三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目7 （5 分） （201
17、6 新余二模）已知函数 f（x）=sin（x+） （0，| ）的最小正周期是 ，若将其图象向右平移 个单位后得到的图象关于原点对称，则函数 f（x）的图象（ ）A关于直线 x= 对称 B关于直线 x= 对称C关于点（ ，0）对称 D关于点（ ，0）对称【分析】根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可【解答】解：函数 f（x）=sin（x+） （ 0，| ）的最小正周期是 ，T= =，解得 =2，即 f（x）=sin（2x+ ） ，将其图象向右平移 个单位后得到 y=sin2（x ）+=sin（2x+ ） ，若此时函数关于原点对称，则 =k，即 = +k，k Z，| ，当 k=1 时，=
18、即 f（x）=sin（2x ） 由 2x = ，解得 x= + ，kZ，故当 k=0 时，函数的对称轴为 x= ，故选：B【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键8 （5 分） （2015 太原一模）已知在圆 x2+y24x+2y=0 内，过点 E（1，0）的最长弦和最短弦分别是 AC 和BD，则四边形 ABCD 的面积为（ ）A B6 C D2【分析】圆 x2+y24x+2y=0 即（x2） 2+（y+1） 2=5，圆心 M（2，1） ，半径 r= ，最长弦 AC 为圆的直径BD 为最短弦，AC 与 BD 相垂直，求出 BD，
19、由此能求出四边形 ABCD 的面积【解答】解：圆 x2+y24x+2y=0 即（x2） 2+（y+1） 2=5，圆心 M（2，1） ，半径 r= ，最长弦 AC 为圆的直径为 2 ，BD 为最短弦AC 与 BD 相垂直，ME=d= ，BD=2BE=2 =2 ，S 四边形 ABCD=SABD +SBDC = BDEA+ BDEC= BD（EA+EC）= BDAC= =2 故选：D【点评】本题考查四边形的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用9 （5 分） （2014 青岛一模）在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一步或最后一步，
20、程序 B 和 C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ）A24 种 B48 种 C96 种 D144 种【分析】本题是一个分步计数问题，A 只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把 A 排列，程序 B 和 C 实施时必须相邻，把 B 和 C 看做一个元素，同除 A 外的 3 个元素排列，注意 B 和 C 之间还有一个排列【解答】解：本题是一个分步计数问题，由题意知程序 A 只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把 A 排列，有 A21=2 种结果程序 B 和 C 实施时必须相邻，把 B 和 C 看做一个元素，同除 A 外的 3 个元素排列，注意 B 和 C 之间还有一个排列，共有 A44A22=48种结果根据分步计数原理知共有 248=96 种结果，故选 C【点评】本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，是一个基础题，注意排列过程中的相邻问题，利用捆绑法来解，不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列
