1、2015-2016 学年湖南省株洲市高三（上）质检数学试卷（理科） （一）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1 （5 分）复数 z= 的共轭复数是（ ）A2+i B2 i C1+2i D12i2 （5 分）下列有关命题的说法错误的是（ ）A命题“若 x23x+2=0 则 x=1”的逆否命题为：“若 x1，则 x23x+20”B “x=1”是“ x23x+2=0”的充分不必要条件C若 pq 为假命题，则 p、 q 均为假命题D对于命题 p：xR，使得 x2+x+10则p：xR，均有 x2+x+103 （5 分）已知 ta
2、n=2，其中 是第三象限的角，则 sin（+）等于（ ）A B C D4 （5 分）如图，AB 是O 的直径，点 C，D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点， = ， = ，则 =（ ）A B C D5 （5 分）在 的展开式中，常数项为（ ）A20 B20 C15 D156 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 2，则输入的正整数 a 的可能取值的集合是（ ）A1，2，3，4，5 B1 ，2，3，4，5，6 C2，3，4，5 D2，3，4，5，67 （5 分）已知函数 f（x）=sin（x+） （ 0，| ）的最小正周期为 ，且其图象向右平移 个单位后得到函数 g（x）=sin（
3、x）的图象，则函数 f（x）的图象（ ）A关于直线 x= 对称 B关于直线 x= 对称C关于点（ ，0）对称 D关于点（ ，0）对称8 （5 分）已知袋中装有标号为 1，2，3 的三个小球，从中任取一个小球（取后放回） ，连取三次，则取到的小球的最大标号为 3 的概率为（ ）A B C D9 （5 分）圆心在曲线 上，且与直线 2x+y+1=0 相切的面积最小的圆的方程为（ ）A （x1 ） 2+（y 2） 2=5B （x 2） 2+（y1） 2=5C （x 1） 2+（y2） 2=25 D （x2） 2+（y1） 2=2510 （5 分）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱
4、锥的体积是（ ）A1 B2 C3 D411 （5 分）已知点 P 为双曲线 =1（a0，b0）右支上一点，F 1，F 2 分别为双曲线的左右焦点，且|F 1F2|= ， I 为三角形 PF1F2 的内心，若 S =S +S 成立，则 的值为（ ）A B C D12 （5 分）已知函数 f（x） = x +2e 有且只有一个零点，则 k 的值为（ ）Ae+ Be 2+ Ce 2+ De+二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请将答案填在答题卷上）13 （5 分）由曲线 y=x2 和直线 y=1 所围成的封闭图形面积为 14 （5 分）若 x、y 满足约束条件 ，则 z=2x
5、y 的取值范围是 15 （5 分）已知 A、B、C 是球 O 的球面上三点，AB=2，BC=4，ABC=60 ，且棱锥 OABC 的体积为，则球 O 的表面积为 16 （5 分）在ABC 中，B= ，BC=2，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，AD=DC，DEAC，且 DE，则ACB 的最大值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17 （12 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a2=2，S 9=45（）求数列a n的通项公式；（）若数列b n满足 b1=l， = （n N+） ，求数列 的前 n 项和 Tn18 （12 分）
6、为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验得到如下数据的列联表：患病 未患病 总计没服用药 20 30 50服用药 x y 50总计 30 N 100设从没服药的动物中任取两只，未患病数为 ；（I）求出列联表中数据 x，y ，N 的值及 的分布列；（）能够以 97.5%的把握认为药物有效吗？（参考数据如下）（参考公式：K 2= ）P（K 2k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82819 （12 分）在
7、正三角形 ABC 中，E、F、P 分别是 AB、 AC、BC 边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图 1） 将AEF 沿 EF 折起到A 1EF 的位置，使二面角 A1EFB 成直二面角，连结 A1B、A 1P（如图 2）（1）求证：A 1E平面 BEP（2）求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小；（3）求二面角 BA1PF 的余弦值20 （12 分）已知椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x y+12=0 相切（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 A（4，0） ，过点 R（3，0）作与 x 轴不重合的直线 l
8、 交椭圆 C 于 P，Q 两点，连接 AP，AQ 分别交直线 x= 于 M，N 两点，若直线 MR、NR 的斜率分别为 k1、k 2，试问：k 1k2 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由21 （12 分）设函数 f（x）=alnx+b（x 23x+2） ，其中 a，bR （I）若 a=b，讨论 f（x）极值（用 a 表示） ；（）当 a=1，b= ，函数 g（x）=2f（x）（+3）x+2，若 x1，x 2（x 1x 2）满足 g（x 1）=g（x 2）且x1+x2=2x0，证明：g（x 0）0请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分选修
9、4-l：几何证明选讲（共 1 小题，满分 10 分）22 （10 分）如图，O 的半径为 6，线段 AB 与相交于点 C、D，AC=4，BOD=A，OB 与O 相交于点 E（1）求 BD 长；（2）当 CEOD 时，求证： AO=AD选修 4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为 ， （ 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 （1）求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程；（2）设 P 为曲线 C1 上的动点，求点 P 到 C2 上点的距离的最小值选修 4-5：不等式选讲24设函数 f（x
10、）=|2x+1|+|x a|（aR） （1）当 a=2 时，求不等式 f（ x）4；（2）当 a 时，若存在 x 使得 f（x）+x3 成立，求 a 的取值范围2015-2016 学年湖南省株洲市高三（上）质检数学试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1 （5 分） （2016 辽宁校级模拟）复数 z= 的共轭复数是（ ）A2+i B2 i C1+2i D12i【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z，则复数 z= 的共轭复数可求【解答】解：z= = ，则复数 z= 的共轭复数是
11、：1+2i故选：C【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的求法，是基础题2 （5 分） （2016 江西模拟）下列有关命题的说法错误的是（ ）A命题“若 x23x+2=0 则 x=1”的逆否命题为：“若 x1，则 x23x+20”B “x=1”是“ x23x+2=0”的充分不必要条件C若 pq 为假命题，则 p、 q 均为假命题D对于命题 p：xR，使得 x2+x+10则p：xR，均有 x2+x+10【分析】根据四种命题的定义，我们可以判断 A 的真假；根据充要条件的定义，我们可以判断 B 的真假；根据复合命题的真值表，我们可以判断 C 的真假；根据特称命题的否定方法，我们可
12、以判断 D 的真假，进而得到答案【解答】解：命题“若 x23x+2=0 则 x=1”的逆否命题为：“若 x1，则 x23x+20” 故 A 为真命题；“x=1”是“x 23x+2=0”的充分不必要条件故 B 为真命题；若 pq 为假命题，则 p、q 存在至少一个假命题，但 p、q 不一定均为假命题，故 C 为假命题；命题 p： xR，使得 x2+x+10则非 p：x R，均有 x2+x+10，故 D 为真命题；故选 C【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，四种命题间的逆否关系，充要条件，是对简单逻辑综合的考查，属于简单题型3 （5 分） （2015 秋 株洲月考）已知 tan=2，其
13、中 是第三象限的角，则 sin（+）等于（ ）A B C D【分析】根据已知中 tan=2， 是第三象限的角，利用同角三角函数的基本关系公式，可得 sin 的值，再由诱导公式，可得答案【解答】解：tan=2， 是第三象限的角，cos= = ，故 sin=costan= ，sin（+）= sin= ，故选：D【点评】本题考查的知识点是同角三角函数的基本关系公式，诱导公式，难度中档4 （5 分） （2014 秋 临沂期中）如图，AB 是O 的直径，点 C，D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点， =， = ，则 =（ ）A B C D【分析】连结 CD、OD，由圆的性质与等腰三角形的性质，证出 CD
14、AB 且 ACDO ，得到四边形ACDO 为平行四边形，再根据题设条件即可得到用表示向量的式子【解答】解：连结 CD、OD，点 C、D 是半圆弧 AB 的两个三等分点， = ，可得 CDAB，CAD=DAB= 90=30，OA=ODADO=DAO=30 ，由此可得CAD=DAO=30，ACDO四边形 ACDO 为平行四边形， = + = + ，故选：A【点评】本题给出半圆弧的三等分点，求向量的线性表示式着重考查了圆周角定理、平行四边形的判定与向量的线性运算等知识，属于中档题5 （5 分） （2015 秋 株洲月考）在 的展开式中，常数项为（ ）A20 B20 C15 D15【分析】 的通项公式
15、 Tr+1= = x2r，可得（4x 25）T r+1=（4x 25） x2r，22r=0，或2r=0 时， （4x 25）T r+1 为常数项解出即可得出【解答】解： 的通项公式 Tr+1= = x2r，（4x 25）T r+1=（4x 25） x2r，22r=0 ，或2r=0 时， （4x 25）T r+1 为常数项r=1 或 r=0因此常数项= 5 =15故选：C【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6 （5 分） （2016 张家口模拟）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 2，则输入的正整数 a 的可能取值的集合是（ ）A1，2，3，4，5 B1
16、，2，3，4，5，6 C2，3，4，5 D2，3，4，5，6【分析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，构造关于 a 的不等式组，解不等式组可得正整数 a的可能取值的集合【解答】解：输入 a 值，此时 i=0，执行循环体后，a=2a+3，i=1，不应该退出；再次执行循环体后，a=2（2a+3）+3=4a+9，i=2 ，应该退出；故 ，解得：1a5，故输入的正整数 a 的可能取值的集合是2，3，4，5，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知框图，采用模拟循环的方法，构造关于 a 的不等式组，是解答的关键7 （5 分） （2016 海口模拟）已知函数 f（x）=sin（x+）
17、 （0，| ）的最小正周期为 ，且其图象向右平移 个单位后得到函数 g（x）=sin（ x）的图象，则函数 f（x）的图象（ ）A关于直线 x= 对称 B关于直线 x= 对称C关于点（ ，0）对称 D关于点（ ，0）对称【分析】由条件利用正弦函数的周期性，以及正弦函数的图象的对称性，得出结论【解答】解：由函数 f（x）=sin（x+） （ 0，| ）的最小正周期为 ，可得 =，求得=2，f（x）=sin（2x+ ） 其图象向右平移 个单位后得到函数 g（x）=sin（2x）的图象，故有 sin2（x ）+=sin2x，故可取 = ，f（x）=sin（2x+ ） 令 2x+ =k+ ，kZ，求得
18、 x= + ，故函数 f（x）的图象的对称轴方程为 x= + ，kZ令 2x+ =k，kZ，求得 x= ，故函数 f（x）的图象的对称中心为 （ ，0） ，kZ，故选：A【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，以及正弦函数的图象的对称性，属于基础题8 （5 分） （2015 春 福州校级期末）已知袋中装有标号为 1，2，3 的三个小球，从中任取一个小球（取后放回） ，连取三次，则取到的小球的最大标号为 3 的概率为（ ）A B C D【分析】先求出从中任取一个小球（取后放回） ，连取三次，取法为 333=27 种，再分三类，根据分类计数原理求出连取三次，则取到的小球的最大标号为 3 的种数，根据
19、概率公式计算即可【解答】解：从中任取一个小球（取后放回） ，连取三次，取法为 333=27 种，连取三次，则取到的小球的最大标号为 3，分三类，第一类，3 次都取到 3，只有 1 种，第二类，2 次取到 3，C 322=6 种，第三类，1 次取到 3，C 3122=12 种，故取到的小球的最大标号为 3 的种数为 1+6+12=19，故取到的小球的最大标号为 3 的概率为 P= 故选：B【点评】本题考查了古典概型的概率问题，关键是求出取到的小球的最大标号为 3 的种数，属于中档题9 （5 分） （2015 张掖模拟）圆心在曲线 上，且与直线 2x+y+1=0 相切的面积最小的圆的方程为（ ）A
20、 （x1 ） 2+（y 2） 2=5B （x 2） 2+（y1） 2=5C （x 1） 2+（y2） 2=25 D （x2） 2+（y1） 2=25【分析】设出圆心坐标，求出圆心到直线的距离的表达式，求出表达式的最小值，即可得到圆的半径长，得到圆的方程，推出选项【解答】解：设圆心为 ，则 ，当且仅当 a=1 时等号成立当 r 最小时，圆的面积 S=r2 最小，此时圆的方程为（x1） 2+（y 2） 2=5；故选 A【点评】本题是基础题，考查圆的方程的求法，点到直线的距离公式、基本不等式的应用，考查计算能力10 （5 分） （2016 汉中二模）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个
21、四棱锥的体积是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为 2 的正方形，故其底面积为 =2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为 ，对角线长为 2，故棱锥的高为 =3此棱锥的体积为 =2故选 B【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为 底面积高三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”，三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能
