1、2015-2016 学年湖南省湘西州高三（上）第二次质检数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1 （5 分）若集合 A=x|x22x30，集合 B=x|3x8，则 AB 等于（ ）A （1， 3） B （ ， 1） C （3，+） D （log 38，+）2 （5 分）复数 z= 的实部和虚部之和为（ ）A3 B4 C3 D113 （5 分）已知函数 f（x）=sin（x ） （0）的最小正周期为 ，则 f（ ）等于（ ）A B C D4 （5 分）命题 p：k（0，2） ，直线 y=kx 与双曲
2、线 =1 有交点，则下列表述正确的是（ ）Ap 是假命题，其否定是： k（2，+） ，直线 y=kx 与双曲线 =1 有交点Bp 是真命题，其否定是： k（0，2） ，直线 y=kx 与双曲线 =1 无交点Cp 是假命题，其否定是： k（0，2） ，直线 y=kx 与双曲线 =1 无交点Dp 是真命题，其否定是： k（2，+ ） ，直线 y=kx 与双曲线 =1 无交点5 （5 分）袋子中装有大小相同的 6 个小球，2 红 4 白，现从中有放回的随机摸球 3 次，每次摸出 1 个小球，则至少有 2 次摸出白球的概率为（ ）A B C D6 （5 分）如图是一个程序框图，则输出 s 的值是（ ）
3、A5 B7 C9 D117 （5 分）函数 y=（x 21）e |x|的图象大致是（ ）A B C D8 （5 分）若 x ， ，则 f（x）= 的最大值为（ ）A1 B2 C3 D49 （5 分）已知向量 、 满足| |=2，| |=3，且 与 + 夹角的余弦值为 ，则 可以是（ ）A2 B3 C 2 D410 （5 分）已知椭圆 + =1（ab0）的左右焦点分别为 F1（c，0） 、F 2（c，0） ，过点 F2 且斜率为的直线 l 交直线 2bx+ay=0 于 M，若 M 在以线段 F1F2 为直径的圆上，则椭圆的离心率为（ ）A B C D11 （5 分）如图是一个几何体的三视图，则该
4、几何体的体积为（ ）A B C23 D2412 （5 分）已知函数 f（x） = （bR） 若存在 x ，2，使得 f（x）+xf（x）0，则实数 b 的取值范围是（ ）A （， ） B （ ， ） C （ ，3） D （， ）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）如果实数 x，y 满足条件 ，则 z= 的最大值为 14 （5 分） （2 ） （x 2+ ） 5 的展开式的常数项为 15 （5 分）在三棱锥 A1ABC 中，AA 1底面 ABC，BCA 1B，AA 1=AC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为 16 （5 分）在ABC
5、 内角 A，B ，C 的对边分别是 a，b，c，cos = ，且 acosB+bcosA=2，则ABC 的面积的最大值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）在等差数列a n中，a 2=6，其前 n 项和为 Sn等比数列b n的各项均为正数，b 1=1，且b2+S4=33，b 3=S2（1）求 an 与 bn；（2）设数列c n的前 n 项和为 Tn，且 cn=4bna5，求使不等式 TnS 6 成立的最小正整数 n 的值18 （12 分）某技术公司新开发了 A，B 两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 82
6、为正品，小于 82 为次品，现随机抽取这两种产品各 100 件进行检测，检测结果统计如下：测试指标 70，76） 76，82） 82，88） 88，94） 94，100产品 A 8 12 40 32 8产品 B 7 18 40 29 6（1）试分别估计产品 A，产品 B 为正品的概率；（2）生产一件产品 A，若是正品可盈利 80 元，次品则亏损 10 元；生产一件产品 B，若是正品可盈利 100元，次品则亏损 20 元；在（1）的前提下记 X 为生产一件产品 A 和一件产品 B 所得的总利润，求随机变量 X 的分布列和数学期望19 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，AB
7、C 是正三角形，AC 与 BD 的交点为 M，又PA=AB=4，AD=CD，CDA=120，点 N 是 CD 的中点（1）求证：平面 PMN平面 PAB；（2）求二面角 APCB 的余弦值20 （12 分）已知抛物线 C： x2=2py（p0）的焦点为 F，直线 2xy+2=0 交抛物线 C 于 A、B 两点，P 是线段 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q（）D 是抛物线 C 上的动点，点 E（1，3） ，若直线 AB 过焦点 F，求|DF|+|DE |的最小值；（）是否存在实数 p，使|2 + |=|2 |？若存在，求出 p 的值；若不存在，说明理由21 （12 分
8、）设函数 f（x）=mlnx+（m 1）x（1）若 f（x）存在最大值 M，且 M0，求 m 的取值范围（2）当 m=1 时，试问方程 xf（x） = 是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图所示，点 P 是圆 O 直径 AB 延长线上的一点，PC 切圆 O 于点 C，直线 PQ 平分APC ，分别交 AC、BC 于点 M、N求证：（1）CMN 为等腰三角形；（2）PB CM=PCBN选修 4-4：坐标系与参数方程 23在极坐标系中，已知三点 O（0，0
9、） ，A （2， ） ， B（2 ， ） （1）求经过 O，A，B 的圆 C1 的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆 C2 的参数方程为（ 是参数） ，若圆 C1 与圆 C2 外切，求实数 a 的值选修 4-5：不等式选讲24已知 f（x）=|x+1|+|x 1|，不等式 f（x）4 解集为 M（1）求 M；（2）若不等式 f（x）+a0 有解，求 a 的取值范围2015-2016 学年湖南省湘西州高三（上）第二次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
10、项是符合题目要求的）.1 （5 分） （2016 湘西州二模）若集合 A=x|x22x30，集合 B=x|3x8，则 AB 等于（ ）A （1， 3） B （ ， 1） C （3，+） D （log 38，+）【分析】先分别求出集合 A 和集合 B，由此利用交集定义能求出 AB 的值【解答】解：集合 A=x|x22x30= x|x 1 或 x3，集合 B=x|3x8=x|xlog 38，AB=x|x3=（3，+） 故选：C【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次不等式、指数不等式、交集定义的合理运用2 （5 分） （2016 湘西州二模）复数 z= 的实部和虚部之和
11、为（ ）A3 B4 C3 D11【分析】根据复数的代数运算化简复数 z，再求 z 的实部和虚部之和【解答】解：复数 z= = =74i，z 的实部和虚部之和为7+（4）=11故选：D【点评】本题考查了复数的概念与代数运算的应用问题，是基础题目3 （5 分） （2016 湘西州二模）已知函数 f（x）=sin（x） （0）的最小正周期为 ，则 f（ ）等于（ ）A B C D【分析】由已知利用周期公式可求 的值，进而利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可计算得解【解答】解：由题意可得：= =2，f（ ）=sin（2 2）=sin = 故选：A【点评】本题主要考查了三角函数周期公式，诱导公式，特殊角
12、的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题4 （5 分） （2016 湘西州二模）命题 p：k （0，2） ，直线 y=kx 与双曲线 =1 有交点，则下列表述正确的是（ ）Ap 是假命题，其否定是： k（2，+） ，直线 y=kx 与双曲线 =1 有交点Bp 是真命题，其否定是： k（0，2） ，直线 y=kx 与双曲线 =1 无交点Cp 是假命题，其否定是： k（0，2） ，直线 y=kx 与双曲线 =1 无交点Dp 是真命题，其否定是： k（2，+ ） ，直线 y=kx 与双曲线 =1 无交点【分析】求得双曲线的渐近线方程和斜率，由题意可得 k 或 k 可得命题 P 为真命题，运
13、用命题的否定形式，即可得到结论【解答】解：若直线 y=kx 与双曲线 =1 有交点，由双曲线的渐近线方程 y= x，且双曲线的焦点在 y 轴上，可得 k 或 k 故k（0，2） ，直线 y=kx 与双曲线 =1 有交点为真命题；否定是：k（0，2） ，直线 y=kx 与双曲线 =1 无交点故选：B【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的判断，注意运用渐近线的斜率，考查运算能力，属于中档题5 （5 分） （2016 湘西州二模）袋子中装有大小相同的 6 个小球，2 红 4 白，现从中有放回的随机摸球 3次，每次摸出 1 个小球，则至少有 2 次摸出白球的概率为（ ）A B C D【分析】每次摸到
14、红球的概率都是 ，摸到白球的概率都是 ，由此利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式能求出至少有 2 次摸出白球的概率【解答】解：袋子中装有大小相同的 6 个小球，2 红 4 白，现从中有放回的随机摸球 3 次，每次摸出 1个小球，每次摸到红球的概率都是 ，摸到白球的概率都是 ，至少有 2 次摸出白球的概率为：p= = 故选：A【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生k 次的概率计算公式的合理运用6 （5 分） （2016 湘西州二模）如图是一个程序框图，则输出 s 的值是（ ）A5 B7 C9 D11【分析
15、】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的 s 值【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；s=38，n=1，s=19+12=18，n=1 +2=3，sn 不成立；s=9+32=10，n=3+2=5 ，sn 不成立；s=5+52=8，n=5+2=7 ，sn 不成立；s=4+72=9，n=7+2=9 ，sn 成立，退出循环，输出 s 的值为 9故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，是基础题7 （5 分） （2016 湘西州二模）函数 y=（x 21）e |x|的图象大致是（ ）A B C D【分析】根据函数的函数奇偶性，值域即可
16、判断【解答】解：因为 f（x）= （x 21）e |x|=f（x） ，所以 f（x）为偶函数，所以图象关于 y 轴对称，故排除 B，当 x+时，y +，故排除 A当1 x 1 时， y0，故排除 D故选：C【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数奇偶性，值域，属于基础题8 （5 分） （2016 湘西州二模）若 x ， ，则 f（x）= 的最大值为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】由条件求得 cotx 的范围，再利用两角和差的三角公式化简 f（x）为 + cotx，从而求得它的最大值【解答】解：由 x ， ，可得 cotxcot ，1再根据 cot = = = =2 ，故 cotx2
17、，1f（x）= = = = + =+ cotx，故当 x= 时，f（x）取得最大值为 1，故选：A【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，余切函数的定义域和值域，属于中档题9 （5 分） （2016 湘西州二模）已知向量 、 满足| |=2，| |=3，且 与 + 夹角的余弦值为 ，则 可以是（ ）A2 B3 C 2 D4【分析】根据平面向量的数量积公式，表示出 ，方程解之【解答】解：由已知向量 、 满足| |=2，| |=3，且 与 + 夹角的余弦值为 ，则 （ + ） =| | + | = ，即 ，所以 =2 或 ；故 可以是2 或者 ；故选：A【点评】本题考查了平面向量的数量积公式的运用
18、；考查了方程思想10 （5 分） （2016 湘西州二模）已知椭圆 + =1（ab0）的左右焦点分别为 F1（c，0） 、F2（c，0） ，过点 F2 且斜率为 的直线 l 交直线 2bx+ay=0 于 M，若 M 在以线段 F1F2 为直径的圆上，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【分析】由已知得出过点 F2 且斜率为 的直线 l 的方程，与 2bx+ay=0 联立即可解得交点 M 的坐标，代入以线段 F1F2 为直径的圆的方程，即可得出离心率 e【解答】解：设过点 F2 且斜率为 的直线 l 的方程为 y= （x c） ，与 2bx+ay=0 联立，可得交点 M（ ， ）点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆上，（ ） 2+（ ） 2=c2，b= a，c= a，e= = 故选：C【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，熟练掌握椭圆的离心率、直线的点斜式、圆的方程是解题的关键11 （5 分） （2016 章丘市二模）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
