1、2015-2016 学年湖北省孝感市高级中学高三（下）4 月调考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设全集 I=R，集合 A=y|y=log2x，x2，B=x|y= ，则（ ）AA B BAB=A CAB= DA （ IB）2 （5 分）若命题“x 0R，使得 x02+mx0+2m30” 为假命题，则实数 m 的取值范围是（ ）A2，6 B 6，2 C （2，6） D （6，2）3 （5 分）已知锐角 且 5 的终边上有一点 P（sin（ 50） ，cos130 ） ，则 的值为（ ）A8 B44 C
2、26 D404 （5 分）已知向量 ，命题 p： = ，命题 q： = ，则 p 是 q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）已知在等差数列a n中，a 3+a9+a15=15，则数列a n的前 17 项之和 S17=（ ）A45 B85 C95 D1056 （5 分）若函数 y=logax（a0，且 a1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（ ）A B C D7 （5 分）若两个正实数 x，y 满足 + =1，且不等式 x+ m 23m 有解，则实数 m 的取值范围（ ）A （1， 4） B （ ， 1）（4，+） C （ 4，1
3、） D （，0）（3，+）8 （5 分）把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，形成的三棱锥 CABD 的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（ ）A B C D9 （5 分）已知函数 f（x）= sinx+cosx（0）的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，把函数 f（x）的图象沿 x 轴向左平移 个单位，得到函数 g（x）的图象若在区间上随机取一个数 x，则事件“g（x）1”发生的概率为（ ）A B C D10 （5 分）在ABC 中，D 是 BC 边上的一点， =（ + ） | |=2，| =4，若记= ， = ，则用 表示 所得的结果为（ ）A B
4、 C D11 （5 分）己知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f （0）=0，当 x（0，1时，f（x）=log 2x，则在区间（8，9）内满足方 f（x）程 f（x ）+2=f（ ）的实数 x 为 （ ）A B C D12 （5 分）已知函数 f（x） =x2+ex （x0）与 g（x）=x 2+ln（x a）的图象上存在关于 y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A B C D二、填空题13 （5 分）若数列a n的前 n 项和 Sn= an+ ，则 a4= 14 （5 分）定积分 sin（ x+ ）dx= 15 （5 分）某所学校计划招聘男教师 x 名，女教
5、师 y 名，x 和 y 须满足约束条件 ，则该校招聘的教师最多是 名16 （5 分）在ABC 中，AC=6 ，BC=7， ，O 是ABC 的内心，若 ，其中0x1，0y1，则动点 P 的轨迹所覆盖的面积为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或步骤.17 （12 分）如图，在梯形 ABCD 中，ABDC，ADAB，AD=DC=1，AB=2，点 P，Q 分别在线段BC，CD 上运动，且 = ， =（1） （1）当 = 时，求| |；（2）求 的取值范围18 （12 分）已知向量 =（cosx ， 1） ， =（ sinx， ） （1）当 时，求 的值；（2）已知在锐角ABC 中，a，b，c
6、分别为角 A，B，C 的对边， c=2asin（A+B） ，函数 f（x）=（ +） ，求 f（B）的取值范围19 （12 分）如图，已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为菱形，PA平面 ABCD，ABC=60，E，F 分别是 BC，PC 的中点（1）证明：AEPD；（2）若 PA=AB=2，求二面角 EAFC 的余弦值20 （12 分）已知数列a n满足 + + =n2+n（nN *） （1）求数列a n的通项公式；（2）设数列a n的前 n 项和为 Sn，问是否存在实数 使得 是一个与 n 无关的常数，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由21 （12 分）已知函数 g（x）=f（x
7、）+ bx，函数 f（x）=x+alnx 在 x=1 处的切线 l 与直线 x+2y=0 垂直（1）求实数 a 的值；（2）若函数 g（x）存在单调递减区间，求实数 b 的取值范围；（3）设 x1、x 2（x 1x 2）是函数 g（x）的两个极值点，若 b ，求 g（x 1）g（x 2）的最小值三、选考题：请在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22 （10 分）如图所示，已知O 1 与O 2 相交于 A、B 两点，过点 A 作O 1 的切线交O 2 于点 C，过点B 作两圆的割线，分别交O 1、O 2 于点 D、E，DE 与 AC 相交于点 P（）求证：A
8、DEC；（）若 AD 是O 2 的切线，且 PA=6，PC=2，BD=9，求 AD 的长23选修 44：极坐标与参数方程极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴已知曲线 C1 的极坐标方程为 ，曲线 C2 的极坐标方程为 sin=a（a0） ，射线， 与曲线 C1 分别交异于极点 O 的四点 A，B，C，D（）若曲线 C1 关于曲线 C2 对称，求 a 的值，并把曲线 C1 和 C2 化成直角坐标方程；（）求|OA| |OC|+|OB|OD|的值24设 f（x）=|x 1|+|x+1|（1）求 f（x）x+2 的解集；（2）若不等式 f（x）
9、对任意实数 a0 恒成立，求实数 x 的取值范围2015-2016 学年湖北省孝感市高级中学高三（下）4 月调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分） （2015 青岛一模）设全集 I=R，集合 A=y|y=log2x，x2，B= x|y= ，则（ ）AA B BAB=A CAB= DA （ IB）【分析】化简集合 A，B，即可得出结论【解答】解：由题意，A=y|y=log 2x，x2=（1，+） ，B= x|y= =1，+） ，AB，故选：A【点评】本题考查集合的包含关系判断及应用，
10、如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集2 （5 分） （2013 唐山二模）若命题“x 0R，使得 x02+mx0+2m30”为假命题，则实数 m 的取值范围是（ ）A2，6 B 6，2 C （2，6） D （6，2）【分析】先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数 m 的取值范围【解答】解：命题“x 0R，使得 ”的否定为：“x0R，都有 ”，由于命题“x 0R，使得 ”为假命题，则其否定为：“x 0R，都有 ”，为真命题，=m 24（2m3）0，解得
11、2m 6则实数 m 的取值范围是2， 6故选 A【点评】本题考查二次不等式恒成立，解决此类问题要结合二次函数的图象与性质处理3 （5 分） （2013 安徽模拟）已知锐角 且 5 的终边上有一点 P（sin （50） ，cos130 ） ，则 的值为（ ）A8 B44 C26 D40【分析】点 P 化简为 P（cos220，sin220） ，根据 0 90 ，可得 5=220，即可得出结论【解答】解：点 P 化简为 P（cos220 ，sin220） ，因为 090，所以 5=220，所以 =44故选 B【点评】本题考查三角函数的定义，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于基础题4 （5
12、 分） （2015 珠海二模）已知向量 ，命题 p： = ，命题 q： = ，则 p 是 q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由 = ，得| | |cos ， = ， = 或| |cos ， = | |，则 = ，不一定成立，若 = ，则 = ，成立，故 p 是 q 的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量数量积的应用是解决本题的关键5 （5 分） （2014 秋 楚雄州期末）已知在等差数列a n中，a 3+a9+a15=15，则数列a n的前 1
13、7 项之和S17=（ ）A45 B85 C95 D105【分析】由等差数列的性质和已知可得 a9 的值，而 S17=17a9，代值计算可得【解答】解：由等差数列的性质可得 a3+a9+a15=3a9=15，a 9=5，S 17= = =17a9=85故选：B【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，求出 a9 是解决问题的关键，属基础题6 （5 分） （2014 福建）若函数 y=logax（a0，且 a1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（ ）A B C D【分析】由题意可得 a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可【解答】解：由题意可知图象过（3，1） ，故有 1=loga
14、3，解得 a=3，选项 A，y=a x=3x= 单调递减，故错误；选项 B，y=x 3，由幂函数的知识可知正确；选项 C，y=（x） 3=x3，其图象应与 B 关于 x 轴对称，故错误；选项 D，y=log a（x）=log 3（x） ，当 x=3 时，y=1 ，但图象明显当 x=3 时，y=1，故错误故选：B【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题7 （5 分） （2016 陕西校级模拟）若两个正实数 x，y 满足 + =1，且不等式 x+ m 23m 有解，则实数m 的取值范围（ ）A （1， 4） B （ ， 1）（4，+） C （ 4，1） D （，0）（3，+
15、）【分析】将不等式 有解，转化为求（x+ ） minm 23m，利用“ 1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于 m 的一元二次不等式的解集即可得到答案【解答】解：不等式 有解，（x+ ） minm 23m，x0，y0，且 ，x+ =（x+ ） （ ）= +2=4，当且仅当 ，即 x=2，y=8 时取“ =”，（x+ ） min=4，故 m23m4，即（ m+1） （m 4）0，解得 m1 或 m4，实数 m 的取值范围是（，1）（4，+） 故选：B【点评】本题考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等” 的判断运用
16、基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解属于中档题8 （5 分） （2014 淄博一模）把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，形成的三棱锥 CABD 的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（ ）A B C D【分析】画出几何体的图形，根据三视图的特征，推出左视图的形状，然后求解即可【解答】解：在三棱锥 CABD 中，C 在平面 ABD 上的射影为 BD 的中点，左视图的面积等于 ，故选：D【点评】本题考查空间几何体的三视图的画法，三棱锥的三视图的画法，有难度，注意左视
17、图的形状，及其数据，是解题的关键9 （5 分） （2016 春 孝感校级月考）已知函数 f（x）= sinx+cosx（0）的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，把函数 f（x）的图象沿 x 轴向左平移 个单位，得到函数 g（x）的图象若在区间 上随机取一个数 x，则事件“g（x）1” 发生的概率为（ ）A B C D【分析】根据题意化简函数 f（x） ，得出 的值与 f（x）的解析式；根据图象平移写出 g（x）的解析式，令 g（x）1，求出“g（x）1“的解集，再利用几何概型计算对应的概率值【解答】解：函数 f（x）= sinx+cosx=2sin（ x+ ） ，其图象与
18、x 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，f（x）的最小正周期为 T=，= =2，f（x）=2sin（2x+ ） ；把 f（x）的图象沿 x 轴向左平移 个单位，得函数 g（x）=2sin2（x+ ）+ =2cos2x 的图象，令 g（x）1，得 cos2x ，解得 +kx +k，k Z；在区间 上满足“g（x）1“的区间为 ， ；随机取一个数 x，事件“g（x）1”发生的概率为P= = 故选：B【点评】本题考查了三角函数的化简与图象平移问题，也考查了几何概型的应用问题，是综合性题目10 （5 分） （2015 春 桂林校级期中）在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，=（ + ） | |
19、=2，| =4，若记 = ， = ，则用 表示 所得的结果为（ ）A B C D【分析】B，D，C 三点共线，所以根据已知条件对于 ，能够得到 ，所以得到 ，所以 = 【解答】解：如图，B，D，C 三点共线，存在 ，使 ； ； ；又 ； ； ； ； = 故选 C【点评】考查共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，向量的减法11 （5 分） （2016 春 孝感校级月考）己知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f （0）=0，当 x（0， 1时，f（x）=log 2x，则在区间（8，9）内满足方 f（x）程 f（x）+2=f（ ）的实数 x 为 （ ）A B C D【分
20、析】由 f（x+1）为奇函数，可得 f（x）=f（2x） 由 f（x）为偶函数可得 f（x）=f（x+4） ，故 f（x）是以 4 为周期的函数当 8x9 时，求得 f（x）=f（x 8）=log 2（x 8） 由 log2（x8）+2= 1 得 x 的值【解答】解：f（x+1）为奇函数，即 f（x+1）=f（x+1） ，即 f（x）=f（2x） 当 x（1，2）时，2x（0，1） ，f（x）=f（2x）=log 2（2x） 又 f（x）为偶函数，即 f（x）=f（x） ，于是 f（x）= f（x+2） ，即 f（x）= f（ x+2）=f（x+4） ，故 f（x）是以 4 为周期的函数f（1）=0 ，当 8x9 时，0x 81，f （x）=f（x8）=log 2（x8） 由 f（ ）= 1， f（x）+2=f（ ）可化为 log2（x8）+2=1，得 x= 故选：D【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，函数的奇偶性与周期性的应用，抽象函数的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题12 （5 分） （2016 春 孝感校级月考）已知函数 f（x）=x 2+ex （x0）与 g（x）=x 2+ln（x a）的图象上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（ ）A B C D
