1、2015-2016 学年湖北省荆州市沙市中学高三（下）第一次半月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分1 （5 分）已知集合 A=x|y= ） ，B=x|x 210，则 AB=（ ）A （，1） B0，1） C （1，+） D0，+ ）2 （5 分）已知复数 z=2+i，则 =（ ）A i B i C i D3 （5 分）下列结论中正确的是（ ）AnN *，2n 2+5n+2 能被 2 整除是真命题Bn N*，2n 2+5n+2 不能被 2 整除是真命题CnN *，2n 2+5n+2 不能被 2 整除是真命题Dn N*，2n 2+5n+2 能被 2 整除是假命题4
2、（5 分）已知双曲线 C： （a 0，b0）的离心率为 ，且过点（2， ） ，则双曲线 C的标准方程为（ ）A B C Dx 2y2=15 （5 分）已知等差数列a n，满足 a1+a5=6，a 2+a14=26，则 an的前 10 项和 S10=（ ）A40 B120 C100 D806 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）在1，+）上单调递增，且 f（x+1）为偶函数，则（ ）Af（0）f （ ） Bf（2）f（2） Cf（1）f（3） Df （ 4）=f（4）7 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A56 B36 C54 D648 （5 分）要得到函数 的图象，只
3、需将函数 的图象（ ）A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度9 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=|2x+3y2|的取值范围是（ ）A7，8 B0，8 C ，8 D ，710 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A8+ B8+ C8+ D8+311 （5 分）已知函数 f（x） = ，其图象在区间a，a（a0）上至少存在 10 对关于 y轴对称的点，则 a 的值不可能为（ ）A B5 C D612 （5 分）关于函数 f（x） = +lnx，下列说法错误的是（ ）Ax=2 是 f（x）的极小值点B函数
4、 y=f（ x） x 有且只有 1 个零点C存在正实数 k，使得 f（x）kx 恒成立D对任意两个正实数 x1，x 2，且 x2x 1，若 f（x 1）=f（x 2） ，则 x1+x24二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）已知函数 f（x） =lg（1 ）的定义域为（4，+） ，则 a= 14 （5 分）已知| |=2，| |= ， ， 的夹角为 30， （ +2 ）（2 + ） ，则（ + ） ）（ ）= 15 （5 分）已知三棱锥 PABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，PA=PB=2 ，其外接球的表面积为 24，则外接球球心到平面 ABC 的距离为 16 （5
5、 分）古埃及数学中有一个独特现象：除 用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式例如 = + ，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给 5 个人，每人 不够，每人 余 ，再将这 分成 5 份，每人得 ，这样每人分得 + 形如 （n=5，7，9，11，）的分数的分解： = + ， = + ， = + ，按此规律，则（1） = （2） = （n=5，7，9，11，）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，B= ，且（cosA 3cosC）b=（3ca）cosB（）求 tanA 的值；（
6、）若 b= ，求ABC 的面积18 （12 分）在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于 60 分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过 40 分的选手将直接被淘汰成绩在（40，60）内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛（）已知成绩合格的 200 名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，估计这 200 名参赛选手成绩的平均数和中位数；（）现有 6 名选手的海选成绩分别为（单位：分）43，45，52，53，58，59，经过复活赛后，有二名选手进入到第二轮比赛，求这 2 名选手的海选成绩均在（50，60）的概率
7、19 （12 分）如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面ABC 是边长为 6 的等边三角形，点 A1在底面ABC 内的射影为ABC 的中心 O，D ，E 分别为 A1B1，BC 的中点（）求证：DE平面 ACC1A1；（）若 AA1=4 ，求四棱锥 A1CBB1C1 的表面积20 （12 分）已知椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为 ，右焦点 F 到直线 x= 的距离为 1（）求椭圆 C 的方程；（）不过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 中点为 D，O 为坐标原点，直线 OD 与y= x+2 平行，求OAB 面积的最大值21 （12 分）已知函数 f（x
8、） =lnxx2+xm（）求函数 f（x）的极值（）若函数 f（x）2xx 2（x 2）e x 在 x（0，3）上恒成立，求实数 m 的取值范围请考生从第 22、23、24 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分 【选修 4-1：几何证明选讲】22 （10 分）如图，AB 是O 的一条弦，延长 AB 到点 C，使得 AB=BC，过点 B 作 BDAC 且DB=AB，连接 AD 与O 交于点 E，连接 CE 与O 交于点 F（）求证：D，F ，B ，C 四点共圆；（）若 A
9、B= ，DF= ，求 BE2选修 4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 （ 为参数）上的两点 A，B 对应的参数分别为 ，+（）求 AB 中点 M 的轨迹的普通方程；（）求点（1，1）到直线 AB 距离的最大值选修 4-5：不等式选讲24已知函数 f（x）=|x a|+|x2|，a 0（1）当 a=3 时，解不等式 f（ x）4；（2）若正实数 a，b，c 满足 a+b+c=1，且不等式 f（x） 对任意实数 x 都成立，求 a 的取值范围2015-2016 学年湖北省荆州市沙市中学高三（下）第一次半月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小
10、题，每小题 5 分1 （5 分） （2016 春 荆州校级月考）已知集合 A=x|y= ） ，B=x|x 210，则 AB=（ ）A （，1） B0，1） C （1，+） D0，+ ）【分析】求解定义域化简集合 A，解不等式化简 B，然后直接利用交集运算求解【解答】解：2 x10，解得 x0，即 A=0，+） ，由 x210 得到 x1 或 x1，即 B=（ ，1）（1，+） ，AB=（1，+） ，故选：C【点评】本题考查了交集及其运算，考查了函数的定义域，是基础题2 （5 分） （2016 春 荆州校级月考）已知复数 z=2+i，则 =（ ）A i B i C i D【分析】由复数 z=2+
11、i，先计算 z22z=1+2i，代入 计算即可得出【解答】解：复数 z=2+i，z 22z=（2+i ） 22（2+i）=3 +4i42i=1+2i，则 = = = = + i故选：A【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分） （2016 春 荆州校级月考）下列结论中正确的是（ ）AnN *，2n 2+5n+2 能被 2 整除是真命题Bn N*，2n 2+5n+2 不能被 2 整除是真命题CnN *，2n 2+5n+2 不能被 2 整除是真命题Dn N*，2n 2+5n+2 能被 2 整除是假命题【分析】举例说明 n=1 时 2n2+5n+2 不能被
12、2 整除，n=2 时 2n2+5n+2 能被 2 整除，从而得出结论【解答】解：当 n=1 时，2n 2+5n+2 不能被 2 整除，当 n=2 时，2n 2+5n+2 能被 2 整除，所以 A、B、D 错误，C 项正确故选：C【点评】本题考查了全称命题与特称命题的真假性判断问题，是基础题目4 （5 分） （2016 春 唐山校级月考）已知双曲线 C： （a0，b0）的离心率为 ，且过点（2， ） ，则双曲线 C 的标准方程为（ ）A B C Dx 2y2=1【分析】根据双曲线的离心率以及过点的坐标，建立方程关系进行求解即可得到结论【解答】解：双曲线的离心率为 ，e= = ，即 c= a，则
13、b2=c2a2= a2a2= a2，则双曲线的方程为 =1，双曲线过点（2， ） ， =1，即 =1，得 a2=2，b 2=3，则双曲线 C 的标准方程为 ，故选：A【点评】本题主要考查双曲线方程的求解，根据条件建立方程关系进行求解是解决本题的关键5 （5 分） （2016 春 荆州校级月考）已知等差数列a n，满足 a1+a5=6，a 2+a14=26，则a n的前 10 项和S10=（ ）A40 B120 C100 D80【分析】由等差数列a n的性质可得：a 1+a5=2a3，a 2+a14=2a8，解得 a3，a 8，可得a n的前 10 项和 S10=5（a 3+a8） 【解答】解：
14、由等差数列a n的性质可得：a 1+a5=6=2a3，a 2+a14=26=2a8，解得 a3=3，a 8=13，则a n的前 10 项和 S10= =5（a 3+a8）=516=80故选：D【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6 （5 分） （2015 秋 随州期末）已知定义在 R 上的函数 f（x）在1，+）上单调递增，且 f（x+1）为偶函数，则（ ）Af（0）f （ ） Bf（2）f（2） Cf（1）f（3） Df （ 4）=f（4）【分析】根据条件判断函数 f（x）关于 x=1 对称，利用函数对称性和单调性的关系将不等式进行转化即
15、可得到结论【解答】解：f（x+1）为偶函数，f（x+1）=f（x+1） ，即函数 f（x）关于 x=1 对称，f（x）在1，+）上单调递增，f（x）在（ ，1上单调递减，f（0）f （ ） ，f （ 2）=f（4）f（2） ，f （ 1）=f（3） ，f（4）=f（6）f（4） ，故选：B【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数对称性和单调性之间的关系是解决本题的关键7 （5 分） （2016 春 河南校级月考）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A56 B36 C54 D64【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件 c20，输出 S 的值即可得解【解答】解：模拟程序的运行
16、，可得：第 1 次循环，c=2，S=4，c 20，a=1，b=2，第 2 次循环，c=3，S=7，c 20，a=2，b=3，第 3 次循环，c=5，S=12，c 20，a=3，b=5，第 4 次循环，c=8，S=20，c 20，a=5，b=8，第 5 次循环，c=13，S=33，c20，a=8，b=13，第 6 次循环，c=21，S=54，c20，退出循环，输出 S 的值为 54故选：C【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法，属于基础题8 （5 分） （2016 河南模拟）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）A向左平移 个单位长度 B向
17、右平移 个单位长度C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度【分析】把 化为 ，故把 的图象向左平移个单位，即得函数 y=cos2x 的图象【解答】解： = ，故把 的图象向左平移 个单位，即得函数 的图象，即得到函数 的图象故选 C【点评】本题考查诱导公式，以及 y=Asin（x+）图象的变换，把两个函数化为同名函数是解题的关键9 （5 分） （2016 春 荆州校级月考）设变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=|2x+3y2|的取值范围是（ ）A7，8 B0，8 C ，8 D ，7【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可【解答】解：作出约束条件的可行域如图：令 =
18、2x+3y2，则 y= ，作出目标函数的平行线，当经过 A 点时， 取得最大值，联立 ，可得 A（ 3，1） ，可得 max=7，当经过（0，2 ）时， 取得最小值8，所以 z=|0，8故选：B【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力10 （5 分） （2016 邯郸校级二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A8+ B8+ C8+ D8+3【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是两个半径为 1 的半球，一个棱长为 2 的正方体以及两个半圆柱组成，即可求出几何体的体积【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是两个半径为 1 的半球，一个
19、棱长为 2 的正方体以及两个半圆柱组成，体积为 +122=8+ 故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状11 （5 分） （2016 春 荆州校级月考）已知函数 f（x）= ，其图象在区间a，a（a0）上至少存在 10 对关于 y 轴对称的点，则 a 的值不可能为（ ）A B5 C D6【分析】将 x0 时，f（x）的图象对称到 y 的右侧，与 x0 时，f （x）=cos2 x 的图象至少存在 10 个交点，得到两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由题意，当 x0 时，f（x）= sinx，其周期为 2，x0 时，f （x）=cos2 x，其周期为 1将 x0 时，f（x）的图象对称到 y 的右侧，与 x0 时，f （x）=cos2 x 的图象至少存在 10 个交点，得到两个函数的图象，如图所示，由图象可知，当 a= 时，只有 9 个交点，B， C，D 均符合题意，故选：A【点评】本题主要考查分段函数的应用，作出函数关于 y 轴对称的图象，利用数形结合的思想是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度12 （5 分） （2016 新余校级一模）关于函数 f（x）= +lnx，下列说法错误的是（ ）Ax=2 是 f（x）的极小值点
