1、2015-2016 学年江苏省无锡市江阴市高三（下）暑假数学试卷一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分）1 （5 分） （2015 春 扬州期末）已知集合 A=x|x0，B= 1，0，1，2，则 AB= 2 （5 分） （2011 江苏二模）若 （i 是虚数单位）是实数，则实数 a 的值是 3 （5 分） （2015 江西二模）已知 =（3，4） ， =（1，2m ） ， =（m，4） ，满足 ，则 m= 4 （5 分） （2016 梅州二模）在ABC 中，若A=60， B=45，BC=3 ，则 AC= 5 （5 分） （2013 春 兴庆区校级期末）已知函数 f（x）
2、= 若 f（2 a2）f （a） ，则实数a 的取值范围为 6 （5 分） （2015 蓟县校级模拟）不论 k 为何实数，直线 y=kx+1 与曲线 x2+y22ax+a22a4=0 恒有交点，则实数 a 的取值范围是 7 （5 分） （2014 镇江二模）已知奇函数 f（x）是 R 上的单调函数，若函数 y=f（x 2）+f（kx）只有一个零点，则实数 k 的值是 8 （5 分） （2015 陕西）设曲线 y=ex 在点（0，1）处的切线与曲线 y= （x0）上点 P 的切线垂直，则 P 的坐标为 9 （5 分） （2011 天津）已知直角梯形 ABCD 中，AD BC，ADC=90 ，AD
3、=2，BC=1，P 是腰 DC上的动点，则| +3 |的最小值为 10 （5 分） （2013 福建）椭圆 ： =1（a b0）的左右焦点分别为 F1，F 2，焦距为 2c，若直线 y= 与椭圆 的一个交点 M 满足MF 1F2=2 MF2F1，则该椭圆的离心率等于 11 （5 分） （2014 秋 苏州期末）已知圆 M：（x1） 2+（y 1） 2=4，直线 l：x+y6=0，A 为直线 l 上一点，若圆 M 上存在两点 B，C 使得： BAC=60，则点 A 的横坐标 x0 的取值范围是 12 （5 分） （2014 广州一模）设 为锐角，若 cos（ ）= ，则 sin（ ）= 13 （
4、5 分） （2014 春 青羊区校级期末）已知正实数 x，y 满足 x+y+3=xy，若对任意满足条件的 x，y，都有（x+y） 2a（x+y）+10 恒成立，则实数 a 的取值范围为 14 （5 分） （2015 张家港市校级模拟）已知函数 f（x）=x 2+bx+c（b，c R） ，对任意的 xR，恒有f（x）f（x） 若对满足题设条件的任意 b，c ，不等式 f（c） f（b）M（c 2b2）恒成立，则 M 的最小值为 二、解答题（共 6 小题，满分 90 分）15 （14 分） （2012 天津）已知函数 f（x）=sin（2x+ ）+sin（2x ）+2cos 2x1，xR（1）求函
5、数 f（x）的最小正周期；（2）求函数 f（x）在区间 上的最大值和最小值16 （14 分） （2014 南京校级四模）如图，四棱锥 PABCD 中，O 为菱形 ABCD 对角线的交点，M 为棱PD 的中点，MA=MC （1）求证：PB平面 AMC；（2）求证：平面 PBD平面 AMC17 （14 分） （2015 杨浦区一模）如图，有一块扇形草地 OMN，已知半径为 R，MON= ，现要在其中圈出一块矩形场地 ABCD 作为儿童乐园使用，其中点 A、B 在弧 上，且线段 AB 平行于线段MN（1）若点 A 为弧 的一个三等分点，求矩形 ABCD 的面积 S；（2）设AOB=，求 A 在 上何
6、处时，矩形 ABCD 的面积 S 最大？最大值为多少？18 （16 分） （2015 盐城一模）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 的右准线方程为 x=4，右顶点为 A，上顶点为 B，右焦点为 F，斜率为 2 的直线 l 经过点 A，且点 F 到直线 l 的距离为 （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）将直线 l 绕点 A 旋转，它与椭圆 C 相交于另一点 P，当 B，F，P 三点共线时，试确定直线 l 的斜率19 （16 分） （2009 沙坪坝区校级模拟）已知 f（x）=|x 21|+x2+kx；（）若 k=2，求方程 f（x）=0 的解；（）若关于 x 的方程 f（x） =0 在（0，2）
7、上有两个解 x1、x 2，求 k 的取值范围20 （16 分） （2015 四川）已知函数 f（x）=2xlnx +x22ax+a2，其中 a0（）设 g（x）是 f（x）的导函数，讨论 g（x）的单调性；（）证明：存在 a（0，1） ，使得 f（x）0 恒成立，且 f（x）=0 在区间（1，+）内有唯一解2015-2016 学年江苏省无锡市江阴市高三（下）暑假数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分）1 （5 分） （2015 春 扬州期末）已知集合 A=x|x0，B= 1，0，1，2，则 AB= 【分析】由 A 与 B，求出两集合的交集即可【
8、解答】解：A=x|x0，B=1，0，1，2，AB=1，0 ，故答案为：1 ，0【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （5 分） （2011 江苏二模）若 （i 是虚数单位）是实数，则实数 a 的值是 【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质化简 ，由虚部等于 0，求出a 值【解答】解： = = 是实数，a= 1，故答案为：1【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数3 （5 分） （2015 江西二模）已知 =（3，4） ， =（1，2m ） ， =（m，4） ，满足
9、 ，则 m= 【分析】根据平面向量的坐标运算，利用两向量垂直，数量积为 0，求出 m 的值【解答】解： =（3，4） ， =（1，2m） ， =（m，4） ， + =（2，2m +4） ；又 ，2m+（4）（2m+4）=0 ，解得 m= 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算以及两向量垂直的应用问题，是基础题目4 （5 分） （2016 梅州二模）在ABC 中，若A=60， B=45，BC=3 ，则 AC= 【分析】由 A 与 B 的度数分别求出 sinA 与 sinB 的值，再由 BC 的长，利用正弦定理即可求出 AC 的长【解答】解：A=60，B=45，BC=3 ，由正弦定理 =
10、 得：AC= = =2 故答案为：2【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键5 （5 分） （2013 春 兴庆区校级期末）已知函数 f（x）= 若 f（2 a2）f （a） ，则实数a 的取值范围为 【分析】先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，从而得到函数 f（x）的单调性，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可【解答】解：函数 f（x） ，当 x0 时，f （x）=x 2+4x，由二次函数的性质知，它在 0，+）上是增函数，当 x0 时，f（x）=4x x2，由二次函数的性质知，它在（，0）上是增函数，该函数连续，则函数
11、f（x） 是定义在 R 上的增函数f（2 a2）f（a） ，2a 2a解得2 a1实数 a 的取值范围是（2，1）故答案为：（2，1）【点评】本题是奇偶性与单调性结合的一类最主要的题型，利用单调性将不等式 f（2a 2）f（a ）转化为一元二次不等式，求出实数 a 的取值范围，属于中档题6 （5 分） （2015 蓟县校级模拟）不论 k 为何实数，直线 y=kx+1 与曲线 x2+y22ax+a22a4=0 恒有交点，则实数 a 的取值范围是 【分析】直线 y=kx+1 与曲线 x2+y22ax+a22a4=0 恒有交点，说明直线系过的定点必在圆上或圆内【解答】解：直线 y=kx+1 恒过（0
12、，1）点的直线系，曲线 x2+y22ax+a22a4=0 表示圆圆心（ a，0） ，半径为： ） ，直线与曲线 x2+y22ax+a22a4=0 恒有交点，必须定点在圆上或圆内，即： 所以，1a 3故答案为：1 a3【点评】本题考查直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，两点间的距离公式，直线系等知识是中档题7 （5 分） （2014 镇江二模）已知奇函数 f（x）是 R 上的单调函数，若函数 y=f（x 2）+f（kx）只有一个零点，则实数 k 的值是 【分析】由函数 y=f（x 2）+f（kx）只有一个零点f （x 2）+f（kx）=0 只有一解f（x 2）=f（xk）只有一解x 2=xk
13、有唯一解 =1 4k=0，问题得解【解答】解：函数 y=f（x 2）+f（kx）只有一个零点，只有一个 x 的值，使 f（x 2）+f （k x）=0 ，函数 f（x）是奇函数，只有一个 x 的值，使 f（x 2）=f（xk） ，又函数 f（x）是 R 上的单调函数，只有一个 x 的值，使 x2=xk，即方程 x2x+k=0 有且只有一个解，=1 4k=0，解得：k= 故答案为： 【点评】本题考察了函数的零点，函数的单调性，函数的奇偶性，只要基础牢固，问题容易解决8 （5 分） （2015 陕西）设曲线 y=ex 在点（0，1）处的切线与曲线 y= （x0）上点 P 的切线垂直，则 P 的坐标
14、为 【分析】利用 y=ex 在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标【解答】解：f（x）=e x，f （0）=e 0=1y=e x 在（0，1）处的切线与 y= （x0）上点 P 的切线垂直点 P 处的切线斜率为 1又 y= ，设点 P（x 0，y 0） =1，x 0=1，x0，x 0=1y 0=1点 P（1，1）故答案为：（1，1）【点评】本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中9 （5 分） （2011 天津）已知直角梯形 ABCD 中，AD BC，ADC=90 ，AD=2，BC=1，P 是腰 DC上的动点，则| +3 |
15、的最小值为 【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线 DA，DC 分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系，则A（2，0） ，B（1，a） ，C（0，a） ，D（0，0） ，设 P（0，b） （0ba） ，求出 ，根据向量模的计算公式，即可求得 ，利用完全平方式非负，即可求得其最小值【解答】解：如图，以直线 DA，DC 分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系，则 A（2，0） ，B（1，a） ，C （0，a） ，D（0，0）设 P（0，b） （0ba）则 =（2， b） ， =（1，a b） ， =（5，3a4b） = 5故答案为 5【点评】此题是个基础题考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同
16、时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力10 （5 分） （2013 福建）椭圆 ： =1（a b0）的左右焦点分别为 F1，F 2，焦距为 2c，若直线 y= 与椭圆 的一个交点 M 满足MF 1F2=2 MF2F1，则该椭圆的离心率等于 【分析】由直线 可知斜率为 ，可得直线的倾斜角 =60又直线与椭圆 的一个交点 M满足MF 1F2=2MF 2F1，可得 ，进而 设|MF 2|=m，|MF 1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得 ，解出 a，c 即可【解答】解：如图所示，由直线 可知倾斜角 与斜率 有关系 =tan， =60又椭圆 的一个交点满足MF 1F2=2MF 2F1，
17、 ， 设|MF 2|=m，|MF 1|=n，则 ，解得 该椭圆的离心率 e= 故答案为 【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含 30角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法11 （5 分） （2014 秋 苏州期末）已知圆 M：（x1） 2+（y 1） 2=4，直线 l：x+y6=0，A 为直线 l 上一点，若圆 M 上存在两点 B，C 使得： BAC=60，则点 A 的横坐标 x0 的取值范围是 【分析】从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为AP，AQ，则PAQ 为
18、60时，PMQ 为 120，所以 MA 的长度为 4，故可确定点 A 的横坐标 x0 的取值范围【解答】解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为 AP，AQ，则PAQ 为 60时，PMQ 为 120，所以 MA 的长度为 4，故问题转化为在直线上找到一点，使它到点 M 的距离为 4设 A（x 0，6x 0） ，则M （1，1） ，（x 01） 2+（5x 0） 2=16x 0=1 或 5点 A 的横坐标 x0 的取值范围是 1，5故答案为：1，5【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是明确从直线上的点向
19、圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角12 （5 分） （2014 广州一模）设 为锐角，若 cos（ ）= ，则 sin（ ）= 【分析】根据题意求得 sin（ + ）= ，再根据 sin（ ）=sin（+ ） ，再利用两角差的正弦公式计算求得结果【解答】解： 为锐角，cos（ ）= 为正数，+ 是锐角，sin（+ ）= ，sin（ ）=sin （+ ） =sin（+ ） cos cos（+ ）sin= = ，故答案为： 【点评】本题着重考查了两角和与差的正弦公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题13 （5 分） （2014 春 青羊区校级期末）已知正实数 x，y
20、满足 x+y+3=xy，若对任意满足条件的 x，y，都有（x+y） 2a（x+y）+10 恒成立，则实数 a 的取值范围为 【分析】依题意，由正实数 x，y 满足 x+y+3=xy，可求得 x+y6，由（x+y） 2a（x+y）+10 恒成立可求得 ax+y+ 恒成立，利用双钩函数的性质即可求得实数 a 的取值范围【解答】解：正实数 x，y 满足 x+y+3=xy，而 xy ，x+y+3 ，（x+y） 24（ x+y） 120，x+y6 或 x+y2（舍去） ，x+y6又正实数 x，y 有（x+y） 2a（x+y）+10 恒成立，ax+y+ 恒成立，a ，令 x+y=t（t6， ）g（t）=t
21、 + ，由双钩函数的性质得 g（t）在6，+）上单调递增， =g（t） min=g（6）=6 + = a 故答案为：（， 【点评】本题考查基本不等式，考查双钩函数的单调性质，求得 x+y6 是关键，考查综合分析与运算的能力，属于中档题14 （5 分） （2015 张家港市校级模拟）已知函数 f（x）=x 2+bx+c（b，c R） ，对任意的 xR，恒有f（x）f（x） 若对满足题设条件的任意 b，c ，不等式 f（c） f（b）M（c 2b2）恒成立，则 M 的最小值为 【分析】f （x） =2x+b，由题设，x 2+（b2）x+cb0 恒成立，从而（b2） 24（c b）0，进而 c，由此利用导数性质能求出 M 的最小值为 【解答】解：f（x）=2x +b，由题设，对任意的 xR，2x+bx 2+bx+c，即 x2+（b2）x +cb0 恒成立，所以（b2） 24（c b）0，从而 c ，于是 c1，且 c =|b|=|b|，当 c|b|时，有 M = = ，令 t= ，则1t1， ，而函数 g（t）=2 （1t1）的值域是（ ） ；因此，当 c|b|时，M 的取值集合为 ） ；当 c=|b|时，由（）知，b=2，c=2，此时 f（c）f（ b）=8 或 0，
