1、2015-2016 学年江西省宜春市上高二中高三（下）4 月半月考数学试卷（理科） （二）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分）已知集合 A=x| 0，B=x|x 21，则 A（ RB）=（ ）A （ ，1 B 1， ） C （ ， D （ ，1）2 （5 分）已知 i 是虚数单位，则复数 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）已知命题 p：f（x ）= + 为奇函数；命题 q：x（0， ） ，sinx xtanx，则下面结论正确的是（ ）A
2、p（q）是真命题 B （p）q 是真命题 Cpq 是假命题 Dpq 是假命题4 （5 分）已知双曲线 + =1 的离心率为 ，则 sin2=（ ）A1 B C D5 （5 分）在 2014 年 APEC 领导人会议期间，被人们亲切叫做“蓝精灵” 的大学生志愿者参与服务，已知志愿者中专科生、本科生、硕士生、博士生的人数比例为 5：15：9：1，拟采用分层抽样的方法，从志愿者中抽取一个 120 人的样本进行调查，则应从硕士生中抽取（ ）A60 名 B36 名 C20 名 D4 名6 （5 分）已知函数 f（x）=a |x+1|在区间（1，+）上为增函数，则 g（x）= 的图象大致为（ ）A B C
3、 D7 （5 分）设 为单位向量，| |=2， ， = ，两组向量 ， ， ， 和 ， ， ，均由 2 个 和 2 个 排列而成，设 S= + + + ，则把所有的可能结果输入如图框图，则输出的结果为（ ）AA=10 ，B=4 BA=4 ，B=10 CA=7，B=4 DA=10，B=78 （5 分）已知函数 f（x）=sinx（0）在0， 上的最大值为 ，当把 f（x）的图象上所有的点向右平移 个单位，得到函数 g（x） ，且 g（x）满足 g（ +x）=g（ x） ，则正数 的最小值为（ ）A B C D9 （5 分）在平面直角坐标系中，不等式组 （a 为常数）表示的平面区域的面积为 3，则
4、z=x+y 的最大值为（ ）A0 B1 C2 D310 （5 分）如图：网格上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面面积中的最大值为（ ）A16 B8 C2 D611 （5 分）若函数 f（x）= 与函数 g（x）=kx 的图象上存在关于原点对称的点，则实数 k 的最大值是（ ）A1 B C D12 （5 分）已知过抛物线 G：y 2=2px（p0）焦点 F 的直线 l 与抛物线 G 交于 M，N 两点（M 点在 x 轴上方） ，满足 =3 ，|MN|= ，则以 M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ）A （x ） 2+（y ） 2= B （x ）
5、2+（y+ ） 2=C （x3） 2+（ y2 ） 2=16 D （x3） 2+（y+2 ） 2=16二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在题中的横线上.）13 （5 分）已知 a= （ x2 ）dx，则（ ax ） 10 的展开式中有理项共有 项14 （5 分）已知ABC，A= ，BC=2 ，以 BC 为边作一个等边三角形 BCP，则线段 AP 最大长度为 15 （5 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，从单位圆外一点 A 引圆 O 的两条切线，切点分别为B1，B 2，若满足条件| （ + ）|=| |的向量 的模最大时，则 = 16 （5 分）定义函数
6、：F（x）= ，以下命题正确的是 F（a）F（b）=F （a ）+F （ b） ； F（a b） ；F（a）+F（b）2F（ ）F（ab）=F（a）F （b）三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知等差数列a n的首项 a1=1，公差 d0，且 a52=a2a14，设关于 x 的不等式x2+n2x 3nxn2n（nN *）的解集中整数的个数为 cn（1）求数列a n的前 n 项和为 Sn；（2）若数列b n满足 c1b1+c2b2+c3b3+cnbncn= ，求数列b n的通项公式18 （12 分）某县电视台决定于 2015
7、 年元旦前夕举办“弘扬核心价值观，激情唱响中国梦 ”全县歌手大奖赛，比赛分初赛演唱部分和决赛问答题部分，各位选手的演唱部分成绩频率分布直方分布图（1）如图：已知某工厂的 6 名参赛人员的演唱成绩得分（满分 10 分）如茎叶图（2） （茎上的数字为整数部分，叶上的数字为小数部分） （1）根据频率分布直方分布图和茎叶图评估某工厂 6 名参赛人员的演唱部分的平均水平是否高于全部参赛人员的平均水平？（计算数据精确到小数点后三位数）（2）已知初赛 9.0 分以上的选手才有资格参加决赛，问答题部分为 5 道题，选手对其依次回答，累计答对3 题或答错 3 题即结束比赛，答对 3 题者直接获奖，已知该工厂参赛
8、人员甲进入了决赛且答对每道题的概率为这 6 位中任意抽取 2 位演唱得分分差大于 0.5 的概率，且各题对错互不影响，设甲决赛获奖答题的个数为 X，求 X 的分布列及 X 的数学期望19 （12 分）如图（1） ，在三角形 PCD 中，AB 为其中位线，且 2BD=PC=2 ，CD=2 ，若沿 AB 将三角形 PAB 折起，使 PAD=120，构成四棱锥 PABCD，如图（2） ，E 和 F 分别是棱 CD 和 PC 的中点，（1）求证：平面 BEF平面 PCD；（2）求平面 PBC 与平面 PAD 所成的二面角的余弦值20 （12 分）已知椭圆 E： =1（ab0） ，椭圆 E 的右焦点到直
9、线 xy+1=0 的距离为 ，椭圆 E的右顶点到右焦点与到直线 x=2 的距离之比为（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）过原点 O 作两条动直线 AC、BD 分别交椭圆 E 与 A、C 和 B、D 两点，且满足 =0，求四边形ABCD 面积的最小值21 （12 分）已知函数 f（x） =ex，h（x）=k （x+1）（1）当函数 f（x）的图象恒在 h（x）的图象上方时，求正实数 k 的取值范围（2）当函数 f（x）h（x）有两个零点 x1，x 2 时，证明：x 1+x20请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号选修 4-1 几何证明选讲2
10、2 （10 分）如图，AB 为圆 O 的直径，过点 B 作圆 O 的切线，任取圆 O 上异于 A，B 的一点 E，连接AE 并延长交 BC 于点 C，过点 E 作圆 O 的切线，交边 BC 于一点 D（1）求 的值；（2）连接 OD 交圆 O 于一点 M，求证：2DE 2=DMAC+DMAB选修 4-4 坐标系与参数方程 23以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位，已知曲线 C1 的极坐标方程为 24cos=0，已知点 A 的极坐标为（3 ， ） ，直线 l 的极坐标方程为 cos（ ）=a，且点A 在直线 l 上（1）把曲线 C1 的极坐标方程化为参数方程；（
11、2）求曲线 C1 上任意一点到直线 l 的距离的最大值选修 4-5 不等式选讲24已知函数 f（x）=|x a2|+|2x+ |3（1）当 a=1 时，求不等式 f（ x）2 的解集；（2）若对于任意非零实数 a 以及任意实数 x，不等式 f（ x）b|xa 2|恒成立，求实数 b 的取值范围2015-2016 学年江西省宜春市上高二中高三（下）4 月半月考数学试卷（理科） （二）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分） （2016 春 宜春校级月考）已知集合 A=x| 0，B=x|x
12、 21，则 A（ RB）=（ ）A （ ，1 B 1， ） C （ ， D （ ，1）【分析】求出 A 与 B 中不等式的解集分别确定出 A 与 B，找出 A 与 B 补集的交集即可【解答】解：由 A 中不等式解得： x2，即 A=（ ，2） ，由 B 中不等式解得：x1 或 x 1，即 B=（， 1） （ 1，+） ， RB=1，1，则 A（ RB） =（ ，1，故选：A【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2 （5 分） （2016 春 宜春校级月考）已知 i 是虚数单位，则复数 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限
13、D第四象限【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 ，求出共轭复数，再进一步求出其在复平面内对应的点的坐标，则答案可求【解答】解： = ，共轭复数为 其在复平面内对应的点为（ ， ） ，位于第二象限故选：B【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分） （2016 春 宜春校级月考）已知命题 p：f（x）= + 为奇函数；命题 q：x（0， ） ，sinxxtanx ，则下面结论正确的是（ ）Ap（q）是真命题 B （p）q 是真命题 Cpq 是假命题 Dpq 是假命题【分析】对于命题 p：函数 f（x）的定义域为（，0）（0，+） ，
14、关于原点对称，计算 f（x）+f（x）即可判断出奇偶性命题 q：如图，设AOT=x，OA=1 ，则 MP=sinx，OM=cosx，AT=tanx，由图可知：SAOP S 扇形 OAPS OAT ，即可得出结论【解答】解：对于命题 p：函数 f（x）的定义域为（，0）（0，+） ，关于原点对称，且 f（x）+f （x）= + + + =1+ =0，即 f（x）= f（x） f（x）为奇函数，命题 p 正确命题 q：如图，设AOT=x，OA=1 ，则 MP=sinx，OM=cosx，AT=tanx，由图可知：S AOP S 扇形 OAPS OAT ，sinxxtanx，故命题 q 正确由复合命题
15、真假的判断方法可知：（p）q 是真命题故选：B【点评】本题考查了函数的奇偶性、三角函数的单调性、简易逻辑的判断方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4 （5 分） （2016 春 宜春校级月考）已知双曲线 + =1 的离心率为 ，则 sin2=（ ）A1 B C D【分析】根据双曲线 + =1 的离心率为 ，求出 tan= ，利用 sin2= =，即可得出结论【解答】解：因为双曲线 + =1 的离心率为 ，所以 =3，所以 tan= ，所以 sin2= = = 故选：C【点评】本题考查双曲线离心率的计算问题在求双曲线的离心率时，其关键是求出 c，a 之间的关系，即可求出双曲线的离心率，属于
16、基础题5 （5 分） （2016 春 宜春校级月考）在 2014 年 APEC 领导人会议期间，被人们亲切叫做“蓝精灵” 的大学生志愿者参与服务，已知志愿者中专科生、本科生、硕士生、博士生的人数比例为 5：15：9：1，拟采用分层抽样的方法，从志愿者中抽取一个 120 人的样本进行调查，则应从硕士生中抽取（ ）A60 名 B36 名 C20 名 D4 名【分析】根据分层抽样的定义，即可得到结论【解答】解：根据题意，应从硕士生中抽取 =36 名故选：B【点评】本题主要考查分层抽样的应用，利用分层抽样的定义建立比例关系是解决本题的关键，比较基础6 （5 分） （2016 春 宜春校级月考）已知函数
17、 f（x）=a |x+1|在区间（1，+）上为增函数，则 g（x）=的图象大致为（ ）A B C D【分析】先判断 a 与 1 的大小关系，在根据 g（x）在（1，0）和（0， ）上的函数值的符号进行判断【解答】解：当 x1 时， f（x）=a x+1 是增函数，a1当 x（0，）时，sinx0，log a（x+2）0，g（x） 0，排除 A、D；当 x（1，0）时，sinx 0，log a（x+2）0，g（x）0，排除 C故选 B【点评】本题考查了函数的图象判断，主要从定义域，值域，特殊点，对称性等方面进行判断，属于中档题7 （5 分） （2016 春 宜春校级月考）设 为单位向量，| |=
18、2， ， = ，两组向量 ， ， ，和 ， ， ， 均由 2 个 和 2 个 排列而成，设 S= + + + ，则把所有的可能结果输入如图框图，则输出的结果为（ ）AA=10 ，B=4 BA=4 ，B=10 CA=7，B=4 DA=10，B=7【分析】S= + + + ， =1，| |=2， ， = ， =1可得 S 可能的取值有 3 种情况，即可得出【解答】解：S= + + + ， =1，| |=2， ， = ， =1则 S 可能的取值有 3 种情况：S 1= =10，S 2= + +2 =7，S 3= =4，又因为随着 k 的取值不同，x 可以取遍实数 S1，S 2，S N，依次与 A，B
19、 比较，A 始终取较大的那个数，B 始终取较小的那个数，直到比较完为止，故最终输出的 A，B 分别是这 N 个数中的最大数与最小数，A=10，B=4故选：A【点评】本题考查了向量数量积运算性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8 （5 分） （2016 春 宜春校级月考）已知函数 f（x）=sinx（0）在0， 上的最大值为 ，当把f（x）的图象上所有的点向右平移 个单位，得到函数 g（x） ，且 g（x）满足 g（ +x）=g（ x） ，则正数 的最小值为（ ）A B C D【分析】由函数的最大值求得 的值，由正弦函数图象变换，求得 g（x）的解析式，由函数的对称性求得 g
20、（x）的对称轴，可知 2 2=k+ ，kZ，解得 = + ，kZ，当 k=0 时，即可求得正数 的最小值【解答】解：由题意，函数 f（x）在区间0， 上单调递增，sin（ ） = ， = ，=2 ，由 f（x）的图象上所有的点向右平移 个单位，g（x）=sin（2x2） ，又 g（ +x）=g（ x） ，所以 x= 是函数 g（x）的一条对称轴，故 2 2=k+ ，kZ，= + ，kZ，当 k=0 时，正数 取最小值 故答案选：C【点评】本题考查正弦函数的最值，函数图象变换，正弦函数的周期性质，考查学生对题目的理解和基础知识的掌握能力，属于中档题9 （5 分） （2016 春 宜春校级月考）在平面直角坐标系中，不等式组 （a 为常数）表示的平面区域的面积为 3，则 z=x+y 的最大值为（ ）A0 B1 C2 D3【分析】画出约束条件的可行域，求出 C 的纵坐标，利用三角形的面积，求出 a，判断目标函数经过的点，求解 z 的最大值即可【解答】解：由题意 a2，联立 解得 y= ；所以不等式组表示的平面区域面积为 ，a=1，因为 z=x+y，所以 y=x+z，如下图，当直线过 y=x+z 点 C 时，Z 最大，又 得 ，C（1，2）所以 Z 的最大值为 3故选：D
