1、2015-2016 学年江西省南昌三中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的1 （5 分）设复数 z1，z 2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1=2+i，则 z1z2=（ ）A5 B5 C 4+i D4i2 （5 分）已知集合 Ax|x23x+2=0，x R ，B=x|0x5，xN ，则满足条件 ACB 的集合 C 的个数为（ ）A1 B2 C3 D43 （5 分）已知命题 p：对任意 xR，总有 2x0；q：“x1”是“ x2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）Apq
2、 Bpq C pq Dpq4 （5 分）设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 bm ，则“ ”是“ab”的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a6=18a7，则 S12=（ ）A18 B54 C72 D1086 （5 分）由直线 y=2x 及曲线 y=3x2 围成的封闭图形的面积为（ ）A B C D7 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（ ）A B C D8 （5 分）已知 O 是坐标原点，点
3、 A（1，0） ，若 M（x，y）为平面区域 上的一个动点，则 |的取值范围是（ ）A B C1，2 D9 （5 分）已知函数 y=f（x） （x R）满足 f（x+1）=f（x 1）且当 x1，1时，f（x）=x 2，则函数y=f（x）log 5x 的零点个数为（ ）A2 B3 C4 D510 （5 分）设 M 是ABC 内一点，且 =2 ，BAC=30 定义 f（M）=（m，n，p） ，其中m，n，p 分别是MBC， MCA，MAB 的面积若 f（P）=（ ，x，y） ，则 log2x+log2y 的最大值是（ ）A5 B4 C 3 D211 （5 分）设函数 y=f（x）在（，+）内有定
4、义对于给定的正数 K，定义函数 ，取函数 f（x）=2 xex若对任意的 x（+，） ，恒有 fk（x）=f（x） ，则（ ）AK 的最大值为 2 BK 的最小值为 2 CK 的最大值为 1 DK 的最小值为 112 （5 分）已知函数 f（x） =ex（sinxcosx） ，x （0，2013 ） ，则函数 f（x）的极大值之和为（ ）A BC D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知 x（0，+） ，观察下列各式：x+ 2，x+ 3，x+ 4，类比得：x+ ，则 a= 14 （5 分）在矩形 ABCD 中，AB=3BC= ， =2 ，点 F 在边
5、CD 上，若 =3，则 = 15 （5 分）对于任意定义在区间 D 上的函数 f（x） ，若实数 x0D，满足 f（x 0）=x 0，则称 x0 为函数f（x）在 D 上的一个不动点，若 f（x）=2x+ +a 在区间（0，+）上没有不动点，则实数 a 取值范围是 16 （5 分）设函数 f（x）=x|x|+bx+c ，给出四个命题：c=0 时，y=f（x）是奇函数；b=0，c0 时，方程 f（x）=0 只有一个实数根；y=f（x）的图象关于（0，c ）对称；方程 f（x）=0 至多有两个实数根；上述命题中正确的命题的序号是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证
6、明过程或演算步骤17 （10 分）已知向量 =（cosx ， 1） ， =（ sinx， ） ，设函数 f（x）=（ + ） （1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）已知 a，b，c 分别为三角形 ABC 的内角对应的三边长，A 为锐角，a=1，c= ，且 f（A）恰是函数f（x）在0， 上的最大值，求 A，b 和三角形 ABC 的面积18 （12 分）某旅行社为 3 个旅游团提供甲、乙、丙、丁共 4 条旅游线路，每个旅游团任选其中一条（1）求恰有 2 条线路没有被选择的概率；（2）设选择甲旅行线路的旅游团数为 ，求 的分布列和数学期望19 （12 分）若不等式 对一切正整数 n 都成立，（
7、1）猜想正整数 a 的最大值，（2）并用数学归纳法证明你的猜想20 （12 分）如图，在几何体 ABCA1B1C1 中，点 A1、B 1、C 1 在平面 ABC 内的正投影分别为 A、B、C ，且 ABBC，AA 1=BB1=4，AB=BC=CC 1=2，E 为 AB1 的中点（）求证：CE平面 A1B1C1；（）求二面角 B1AC1C 的大小：（）设点 M 为ABC 所在平面内的动点，EM平面 AB1C1，求线段 BM 的长21 （12 分）已知数列a n满足 a1= ，a n=2 （n2） ，S n 是数列b n的前 n 项和，且有 =1+bn（1）证明：数列 为等差数列；（2）求数列b
8、n的通项公式；（3）设 cn= ，记数列c n的前 n 项和 Tn，求证：T n122 （12 分）已知二次函数 h（x）=ax 2+bx+c（其中 c3 ） ，其导函数 y=h（x）的图象如图，f（x）=6lnx+h（x） （I）求函数 f（x）在 x=3 处的切线斜率；（）若函数 f（x）在区间（ m，m+ ）上是单调函数，求实数 m 的取值范围；（）若对任意 k1，1，函数 y=kx，x（0，6的图象总在函数 y=f（x）图象的上方，求 c 的取值范围2015-2016 学年江西省南昌三中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5
9、分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的1 （5 分） （2014 新课标 II）设复数 z1，z 2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1=2+i，则 z1z2=（ ）A5 B5 C 4+i D4i【分析】根据复数的几何意义求出 z2，即可得到结论【解答】解：z 1=2+i 对应的点的坐标为（2，1） ，复数 z1，z 2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（2，1） ，则对应的复数，z 2=2+i，则 z1z2=（2+i） （ 2+i）=i 24=14=5，故选：A【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关
10、键，比较基础2 （5 分） （2012 湖北）已知集合 Ax|x23x+2=0，x R ，B=x|0x5，xN ，则满足条件 ACB的集合 C 的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】先求出集合 A，B 由 ACB 可得满足条件的集合 C 有1，2，1，2，3，1，2，4，1，2，3，4，可求【解答】解：由题意可得，A=1，2，B=1，2，3，4 ，AC B，满足条件的集合 C 有1，2 ，1，2，3，1，2，4，1，2，3，4共 4 个，故选 D【点评】本题主要考查了集合的包含关系的应用，解题的关键是由 ACB 找出符合条件的集合3 （5 分） （2016 吉林校级模拟）已知命题 p：对
11、任意 xR，总有 2x0；q：“x1”是“ x2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）Apq Bpq C pq Dpq【分析】由命题 p，找到 x 的范围是 xR，判断 p 为真命题而 q：“ x1”是“ x2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答【解答】解：因为命题 p 对任意 xR，总有 2x0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题 q：“x1” 不能推出“x2”；但是“x2”能推出“x1”所以：“ x1”是“x2” 的必要不充分条件，故 q是假命题；所以 pq 为真命题；故选 D；【点评】判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断4 （5 分
12、） （2012 安徽）设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且bm，则“ ”是“ ab” 的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论【解答】解：bm，当 ，则由面面垂直的性质可得 ab 成立，若 ab，则 不一定成立，故“” 是“ ab” 的充分不必要条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键5 （5 分） （2014 秋 洛阳期中）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a6=18a7，则 S12
13、=（ ）A18 B54 C72 D108【分析】利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解【解答】解：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a6=18a7，S 12= （a 1+a12）=6（a 6+a7）=618=108故选：D【点评】本题考查等差数列的前 12 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用6 （5 分） （2015 春 齐齐哈尔校级期末）由直线 y=2x 及曲线 y=3x2 围成的封闭图形的面积为（ ）A B C D【分析】根据图形可以得到直线 y=2x 及曲线 y=3x2 围成的封闭图形的面积为第三象限二分之一矩形的面积减去抛物线在第三象限曲边三
14、角形的面积，加上抛物线在第一和第二象限曲边梯形的面积减去直角三角形的面积【解答】解：如图，由 得： 或 ，所以直线 y=2x 及曲线 y=3x2 围成的封闭图形的面积为S= =8+ =8+（3x ） =8+ 故选 D【点评】本题考查了定积分，考查了数形结合的数学思想，解答此题的关键是明确微积分基本定理7 （5 分） （2014 大庆二模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（ ）A B C D【分析】由已知中几何体的三视图中，正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，我们得出这个几何体的外接球的球心 O 在高线 PD 上，且是等边三角形 P
15、AC 的中心，得到球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案【解答】解：由已知中知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面 PAC 垂直于底面，高为 ，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图则这个几何体的外接球的球心 O 在高线 PD 上，且是等边三角形 PAC 的中心，这个几何体的外接球的半径 R= PD= 则这个几何体的外接球的表面积为 S=4R2=4（ ） 2=故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积、体积，其中根据三视图判断出几何体的形状，分析出几何体的几何特征是解答本题的关键8 （5 分） （2014 秋 武平县校级期中）已知 O 是坐
16、标原点，点 A（ 1，0） ，若 M（x，y）为平面区域上的一个动点，则 |的取值范围是（ ）A B C1，2 D【分析】作平面区域，求出向量 OA，OM 的和，以及模，通过图象观察当 M 与 B 重合时，取最小；当M 与 D 重合时，取最大，代入计算即可得到范围【解答】解：由约束条件 ，作平面区域如图，A（1 ，0） ，M （x，y） ， =（ 1，0）+（x，y）=（x1，y） ，则| + |= 由图可知，当 M 与 B 重合时，取最小，联立 ，得 B（1，1） | + |的最小值是 1当 M 与 D 重合时，取最大，代入点（0，2） ，可得最大为 则取值范围是1， 故选 A【点评】本题考
17、查了简单的线性规划，考查了数形结合、转化与化归等解题思想方法，考查了向量模的求法，是中档题9 （5 分） （2015 秋 南昌校级月考）已知函数 y=f（x） （xR）满足 f（x+1）=f（x 1）且当 x1，1时，f（x）=x 2，则函数 y=f（x） log5x 的零点个数为（ ）A2 B3 C4 D5【分析】先根据函数 y=f（x） （x R）满足 f（x 1）=f（x +1） ，f （x+2）=f（x） ，得出 f（x）是周期为 2 的周期性函数，再把函数的零点转化为两函数图象的交点，利用图象直接得结论【解答】解：函数 y=f（x） （x R）满足 f（x 1）=f（x +1） ，f
18、（x+2）=f（x） ，f（x）是周期为 2 的周期性函数，又 x1，1时，f（x）=x 2根据函数的周期性画出图形，如图，由图可得 y=f（x）与 y=log5x 的图象有 4 个交点故选：C【点评】本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数 f（x）性质，作出其图象，将函数 y=f（x）log5x 的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本题中的一个亮点，此一转化使得本题的求解变得较容易10 （5 分） （2015 秋 南昌校级月考）设 M 是ABC 内一点，且 =2 ，BAC=30 定义 f（M）=（m，n，p） ，其中 m，n，p 分别是MBC，MCA，MAB 的面积若 f（P
19、）=（ ，x，y） ，则log2x+log2y 的最大值是（ ）A5 B4 C 3 D2【分析】由向量的数量积可得| | |=4，从而求出 SABC =1，进而可得 x+y= ，从而利用基本不等式求最大值【解答】解：由题意， =| | |cos30=2 ，| | |=4，则 SABC = | | |sin30=1又S PBC = ，S ABC =SPAB +SPAC +SPBC =x+y+ =1，x+y= ，xy（ ） 2= （当且仅当 x=y= 时成立） ，log 2x+log2y=log2xylog 2 =4，故选 B【点评】本题考查了向量的运算、三角形面积相等即求法、基本不等式、对数运算
20、等，属于中档题11 （5 分） （2009 湖南）设函数 y=f（x）在（ ，+）内有定义对于给定的正数 K，定义函数 ，取函数 f（x）=2 xex若对任意的 x（+，） ，恒有 fk（x）=f（x） ，则（ ）AK 的最大值为 2 BK 的最小值为 2 CK 的最大值为 1 DK 的最小值为 1【分析】根据新定义的函数建立 fk（x）与 f（x）之间的关系，通过二者相等得出实数 k 满足的条件，利用导数或者函数函数的单调性求解函数的最值，进而求出 k 的范围，进一步得出所要的结果【解答】解：由题意可得出 kf（x） 最大值 ，由于 f（x）=1+e x，令 f（x）=0，e x=1=e0
21、解出 x=0，即 x=0，当 x0 时，f （ x）0，f （x）单调递减，当 x0 时，f （ x）0，f （x）单调递增故当 x=0 时，f（x）取到最大值 f（0）=21=1故当 k1 时，恒有 fk（x）=f （x） 因此 K 的最小值是 1故选 D【点评】本题考查学生对新定义型问题的理解和掌握程度，理解好新定义的分段函数是解决本题的关键，将所求解的问题转化为求解函数的最值问题，利用了导数的工具作用，体现了恒成立问题的解题思想12 （5 分） （2013 秋 德州期中）已知函数 f（x）=e x（sinxcosx） ，x（0，2013 ） ，则函数 f（x）的极大值之和为（ ）A BC
22、 D【分析】先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极大值 f（2k+ ）=e 2k+，再利用数列的求和方法来求函数 f（x）的各极大值之和即可【解答】解：函数 f（x）=e x（sinxcosx） ，f（x）=（e x） （sinx cosx）+e x（sinx cosx）=2e xsinx，x（2k，2k+） （kZ）时，f（x）0，x （2k+，2k +2） （kZ）时，f （x）0，x（2k，2k+） （kZ）时 f（x）递增，x（2k+，2k+2 ） （kZ）时 f（x）递减，当 x=2k+（kZ）时，f（x）取极大值，其极大值为 f（2k+）=e 2k+sin（2k+）cos（2k+）=e2k+（0（1） ）
