1、2015-2016 学年江西省上饶中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）（零班、培优班、文补班）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）已知集合 M=y|y=2x，x0，N= x|y=lg（2xx 2），则 MN 为（ ）A （1，2） B （1，+） C2，+） D1，+）2 （5 分）下列四个函数中，在区间（0，1）上为减函数的是（ ）Ay=log 2x B C D3 （5 分）已知 、 均为单位向量，它们的夹角为 60，那么 | |=（ ）A B C D44 （5 分）设 a=30.5，b=log 32，c=cos2，则（ ）Acba Bc ab
2、Ca bc Dbca5 （5 分）要得到 y=2sin（ x+ ） （0）的图象，只需将函数 y=2sinx 的图象（ ）A向左平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向右平移 个单位6 （5 分）平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（1，0） ，B（0，1） ，点 C 在第二象限内，AOC= ，且|OC|=2，若 = + ，则 ， 的值是（ ）A ，1 B1， C 1， D ，17 （5 分）已知 ， 均为单位向量，其夹角为 ，有下列四个命题p1：| + |10， ） p2：| + |1（ ，p3：| |10， ） p4：| |1（ ，其中真命题是（ ）Ap 1，p 4 Bp
3、1，p 3 Cp 2，p 3 Dp 2，p 48 （5 分）给出下列四个结论：若命题 p：x 0R，x 02+x0+10，则p：xR，x 2+x+10；“（x3） （x4）=0” 是“x 3=0”的充分而不必要条件；命题“若 m0，则方程 x2+xm=0 有实数根”的逆否命题为：“ 若方程 x2+xm=0 没有实数根，则 m0”；函数 f（x）=cos（2x ）的图象关于直线 x= 对称其中正确结论的个数为（ ）A1 B2 C3 D49 （5 分）设动直线 x=a 与函数 f（x）=2sin 2（ +x）和 g（x）= cos2x 的图象分别交于 M、N 两点，则|MN|的最大值为（ ）A B
4、 C2 D310 （5 分）已知在实数集 R 上的可导函数 f（x） ，满足 f（x+1）是奇函数，且当 x1 时，1（其中 f（x）为 f（x）的导函数） ，则不等式 f（x）x1 的解集是（ ）A （0，1） B （1，+） C （ ，1） D （，0）11 （5 分）如图，半径为 1 的圆 M，切直线 AB 于点 O，射线 OC 从 OA 出发，绕 O 点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中 OC 交M 于 P，记PMO 为 x，弓形 PNO 的面积 S=f（x） ，那么 f （x）的图象是（ ）A B C D12 （5 分）函数 f（x）上任意一点 A（x 1，y 1）处的切线 l1，在其
5、图象上总存在异与点 A 的点 B（x 2，y 2） ，使得在 B 点处的切线 l2 满足 l1l 2，则称函数具有“自平行性” 下列有关函数 f（x）的命题：函数 f（x）=sinx +1 具有“自平行性”；函数 f（x）=x 3（ 1x2）具有“自平行性”；函数 f（x）= 具有“自平行性”的充要条件为实数 m=1；奇函数 y=f（x） （x0）不一定具有“自平行性”；偶函数 y=f（x）具有“ 自平行性”其中所有叙述正确的命题的序号是（ ）A B C D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）曲线 y=2xx3 在点（1， 1）处的切线方程为 14 （
6、5 分）设函数 f（x）=x 3cos x+sin x+1若 f（a）=11 ，则 f（a）= 15 （5 分）若正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 在线段 AC 上运动，则 （ + ）的取值范围是 16 （5 分）设 f（x）是定义在 R 上的偶函数，对任意 xR，都有 f（x 2）=f（x+2）且当 x2，0时，f（x）=（ ） x1，若在区间（2，6内关于 x 的方程 f（x）log a（x+2）=0（a1）恰有 3 个不同的实数根，则 a 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17 （10 分）已知命题 p：实数 x 满足
7、 x24ax+3a20（其中 a0） ，命题 q：实数 x 满足 0（1）若 a=1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围；（2）若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围18 （12 分）已知函数 f（x） =cos2xsin2x+2 sinxcosx+1（1）求 f（x）的最小正周期，并求 f（x）的最小值；（2）若 f（a）=2 ，且 a ， ，求 a 的值19 （12 分）已知： 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）（1）若| |=2 ，且 ，求 的坐标；（2）若| |= ，且 +2 与 2 垂直，求 与 的夹角 20 （12 分）在ABC 中，角 A、B
8、 、C 的对边分别为 a，b，c，且满足（ ax） =c （）求角 B 的大小；（）若| |= ，求ABC 面积的最大值21 （12 分）已知函数 f（x）的定义域是（ 0，+） ，当 x1 时，f （x）0，且 f（xy）=f（x）+f（y） （1）求 f（1）的值；（2）证明 f（x）在定义域上是增函数；（3）如果 f（3）=1，求满足不等式 f（x）f（ ）2 的 x 的取值范围22 （12 分）已知 f（x）=xlnx，g（x）=x 2+ax3（1）求函数 f（x）在t，t+2（t0）上的最小值；（2）对一切 x（0，+） ，2f （x）g（x）恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）证
9、明：对一切 x（0， +） ，都有 lnx 成立2015-2016 学年江西省上饶中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科） （零班、培优班、文补班）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分） （2013 东至县一模）已知集合 M=y|y=2x，x0，N=x|y=lg （2xx 2），则 MN 为（ ）A （1，2） B （1，+） C2，+） D1，+）【分析】通过指数函数的值域求出 M，对数函数的定义域求出集合 N，然后再求 MN【解答】解：M=y|y1，N 中 2xx20N= x|0x 2，M N=x|1x2，故选 A【点评】本题考查指
10、对函数的定义域和值域，不要弄混2 （5 分） （2011 青岛一模）下列四个函数中，在区间（0，1）上为减函数的是（ ）Ay=log 2x B C D【分析】由对数函数，指数函数，幂函数的单调性很容易得到答案【解答】解：A、y=logx 在 （0，+）上是增函数，y=logx 在 （0，1）上是增函数，故错；B、 在 （0，+）上是减函数， 在 （0，1）上是减函数，故对；C、 在 R 上是增函数， 在 （0 ，1）上是增函数，故错；D、 在 R 上是增函数， 在 （0，1）上是增函数，故错；故选 B【点评】本题考查了常见函数单调性，以及函数单调性的判断与证明，是个基础题3 （5 分） （20
11、04 山东）已知 、 均为单位向量，它们的夹角为 60，那么| |=（ ）A B C D4【分析】求向量模的运算，一般要对模的表达式平方整理，平方后变为向量的模和两个向量的数量积，根据所给的单位向量和它们的夹角代入数据求出结果【解答】解： 均为单位向量，它们的夹角为 60| |=1，| |=1，=cos60| |= = =故选 C【点评】启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质4 （5 分） （2014 北海一模）设 a=30.5，b=log 32，c=cos2，则（ ）Acba Bc ab Ca bc D
12、bca【分析】有指数函数的性质得到 a1，由对数函数的性质得到 b 大于 0 小于 1，由余弦函数象限符号得到c 小于 0，则答案可求【解答】解： ，0=log31log 32log 33=1，又 ，cos2 0，所以 cba故选 A【点评】本题考查了不等式的大小比较，考查了指数函数和对数函数的性质，考查了余弦函数的性质，属基础题型5 （5 分） （2015 秋 上饶校级月考）要得到 y=2sin（ x+ ） （0）的图象，只需将函数 y=2sinx 的图象（ ）A向左平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向右平移 个单位【分析】根据三角函数图象平移变换规律求解【解答】解：由题
13、意：将函数 y=2sinx 的图象平移得到 y=2sin（ x+ ） （0）的图象，设函数 y=2sinx，平移 m 个单位后得：2sin （x+m）=2sin（x+m）则：x+ +2k=x+m， （ kZ）解得： ，0，当 k=0 时，m= ，左平移 个单位可以得到故选：C【点评】本题考查了三角函数平移变化的规律的运用，属于基础题6 （5 分） （2012 秋 丰台区期末）平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（1，0） ，B （0，1） ，点 C 在第二象限内，AOC= ，且|OC|=2，若 = + ，则 ， 的值是（ ）A ，1 B1， C 1， D ，1【分析】由题意可得点 C 的坐标，
14、进而可得向量 的坐标，由向量相等可得 ，解之即可【解答】解：点 C 在第二象限内， ，且|OC |=2，点 C 的横坐标为 xC=2cos = ，纵坐标 yC=2sin =1，故 =（ ，1） ，而 =（1，0） ， =（0，1） ，由 可得 ，解得 ，故选 D【点评】本题考查平面向量的坐标运算，以及相等向量，属基础题7 （5 分） （2015 秋 朔州校级月考）已知 ， 均为单位向量，其夹角为 ，有下列四个命题p1：| + |10， ） p2：| + |1（ ，p3：| |10， ） p4：| |1（ ，其中真命题是（ ）Ap 1，p 4 Bp 1，p 3 Cp 2，p 3 Dp 2，p 4
15、【分析】利用向量的数量积的定义和性质与余弦函数的性质，即可作出正确判断【解答】解：| |=| |=1，其夹角为 ，| |1| |211+1+2cos1，cos ，又 0，0 又|ab|1| |211+12cos1，cos ，又 0， 故正确答案为：P 1，P 4故选 A【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查向量的数量积及余弦函数的性质，属于中档题8 （5 分） （2015 秋 上饶校级月考）给出下列四个结论：若命题 p：x 0R，x 02+x0+10，则p：xR，x 2+x+10；“（x3） （x4）=0” 是“x 3=0”的充分而不必要条件；命题“若 m0，则方程 x2+xm=0 有
16、实数根”的逆否命题为：“ 若方程 x2+xm=0 没有实数根，则 m0”；函数 f（x）=cos（2x ）的图象关于直线 x= 对称其中正确结论的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】写出原命题的否定，可判断；根据充要条件的定义，可判断；写出原命题的逆否但，可判断；分析函数的对称性，可判断 【解答】解：命题 p：x 0R，x 02+x0+10，则p：xR ，x 2+x+10，故 正确；“（x 3） （x4）=0” “x=3 或 x=4”， “x3=0”“x=3”“（x 3） （x4）=0” 是“x 3=0”故的必要不充分条件，故 错误；命题“ 若 m0，则方程 x2+xm=0 有实数根”的
17、逆否命题为：“若方程 x2+xm=0 没有实数根，则 m0” ，故正确；当 x= 时，cos（2x ）=0 ，故函数 f（x）=cos（2x ）的图象关于（ ，0）点对称，故错误故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了命题的否定，充要条件，四种命题，三角函数的图象和性质，难度中档9 （5 分） （2010 温州模拟）设动直线 x=a 与函数 f（x） =2sin2（ +x）和 g（x）= cos2x 的图象分别交于 M、N 两点，则|MN|的最大值为（ ）A B C2 D3【分析】利用二倍角公式先化简 f（x） ，将|MN|表示成 a 的三角函数，利用公式化简|MN|，利用三角
18、函数的有界性求出最大值【解答】解： ，= 故选 D【点评】本题考查三角函数的二倍角公式、诱导公式、公式 、三角函数的有界性10 （5 分） （2015 秋 上饶校级月考）已知在实数集 R 上的可导函数 f（x） ，满足 f（x+1）是奇函数，且当x1 时， 1（其中 f（x）为 f（x）的导函数） ，则不等式 f（x）x1 的解集是（ ）A （0，1） B （1，+） C （ ，1） D （，0）【分析】确定 f（1）=0，令 g（x）=f（x） x，则 g（x） =f（x）10，函数在 R 上单调递减，即可求出不等式 f（x）x1 的解集【解答】解：f（x+1）是奇函数，f（x）关于（1，0
19、）对称， f（1）=0，当 x1 时， 1，0f（x） 1令 g（x）=f（x）x，则 g（x）=f （x）10，（1，+）上单调递减，结合对称性可得：函数在 R 上单调递减，g（1）=f（1）1= 1，不等式 f（x）x1 可化为 g（x）g（1） ，x1，故选：C【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生解不等式的能力，属于中档题11 （5 分） （2010 襄城区校级模拟）如图，半径为 1 的圆 M，切直线 AB 于点 O，射线 OC 从 OA 出发，绕 O 点顺时针方向旋转到 OB，旋转过程中 OC 交M 于 P，记PMO 为 x，弓形 PNO 的面积 S=f（x） ，
20、那么 f （x）的图象是（ ）A B C D【分析】写出函数 S=f （ x ）的解析式根据函数的单调性和极值判断出函数图象的大体形状即可【解答】解：由题意得 S=f （ x ）= x f（x）= 0 当 x=0 和 x=2 时，f （x）=0，取得极值则函数 S=f （ x ）在0，2上为增函数，当 x=0 和 x=2 时，取得极值结合选项，A 正确故选 A【点评】本题考查了函数的解析式的求法以及函数的求导，根据函数的性质判断函数的图象，求出函数的解析式是解决此题的关键12 （5 分） （2015 秋 上饶校级月考）函数 f（x）上任意一点 A（x 1，y 1）处的切线 l1，在其图象上总存
21、在异与点 A 的点 B（x 2，y 2） ，使得在 B 点处的切线 l2 满足 l1l 2，则称函数具有“自平行性” 下列有关函数f（x）的命题：函数 f（x）=sinx +1 具有“自平行性”；函数 f（x）=x 3（ 1x2）具有“自平行性”；函数 f（x）= 具有“自平行性”的充要条件为实数 m=1；奇函数 y=f（x） （x0）不一定具有“自平行性”；偶函数 y=f（x）具有“ 自平行性”其中所有叙述正确的命题的序号是（ ）A B C D【分析】根据已知中函数具有“自平行性”的定义，逐一分析 5 个函数是否具有“自平行性” ，最后综合讨论结果，可得答案【解答】解：函数 f（x）具有 “
22、自平行性”，即对定义域内的任意自变量 x1，总存在 x2x 1，使得 f（x 1）=f（x 2） 对于，f （x）=cosx，具有周期性，必满足条件，故正确；对于，f （x）=3x 2（1x 2） ，对任意 x1（1，2，不存在 x2x 1，使得 f（x 1）=f（x 2）成立，故错误；对于，当 x0 时，f（x）=e x（0，1） ，而 xm 时，f （x）=1 （0，1） ，解得 x 1（舍去） ，或x1，则 m=1，故 正确；对于，f（x）=x， （x0）不符合定义，故 正确；对于，同，其导函数为奇函数，故 不正确故选：A【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了函数具有“自平行性” 的
23、定义，正确理解函数具有“自平行性”的定义，是解答的关键二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分） （2015 秋 上饶校级月考）曲线 y=2xx3 在点（ 1，1）处的切线方程为 x+y+2=0 【分析】根据导数的几何意义求出函数在 x=1 处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可【解答】解：y=23x 2y|x=1=1而切点的坐标为（1， 1）曲线 y=2xx3 在（1，1）的处的切线方程为 x+y+2=0故答案为：x+y+2=0【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题14 （5 分） （20
24、12 井冈山市模拟）设函数 f（x）=x 3cos x+sin x+1若 f（a）=11，则 f（a）= 9 【分析】利用函数的奇偶性 f（a）+f （ a）=2即可得出【解答】解：f（a）+f（a）=a 3cosa+sina+1a3cosasina+1=2f（ a） =2f（a）=211=9故答案为9【点评】本题考查了函数的奇偶性，属于基础题15 （5 分） （2008 杨浦区二模）若正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 在线段 AC 上运动，则 （ + ）的取值范围是 【分析】借助正方形的两邻边建立直角坐标系，将向量的运算转化为坐标形式的运算，利用向量的坐标形式的数量积公式表示成二次函数
25、，通过配方找出对称轴，求出最值【解答】解：以 AB，AC 为 x，y 轴建立直角坐标系则A（0，0） ，B（1，0） ，C（1 ，1） ，D（0，1）设 P（x，x） （0x1）， =2x（1 2x）= （0x1）所以当 x= 时，函数有最大值 ；当 x=1 时函数有最小值 2故答案为【点评】通过建立坐标系将向量问题转化为代数问题；向量的坐标形式的数量积公式；配方法求二次函数的最值16 （5 分） （2015 开封模拟）设 f（x）是定义在 R 上的偶函数，对任意 xR，都有 f（x2）=f（x+2）且当 x2，0时，f（x）= （ ） x1，若在区间（2，6内关于 x 的方程 f（x）log a（x+2）=0（a 1）恰有3 个不同的实数根，则 a 的取值范围是 （ ，2）
