1、2015-2016 学年四川省南充高中高三（上）1 月诊断数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）若集合 A=x|y=2x，集合 ，则 AB=（ ）A （0，+） B （1，+ ） C0，+） D （，+）2 （5 分）为了得到函数 y=3sin（2x+ ） ，x R 的图象，只需把函数 y=3sin（x+ ） ，xR 的图象上所有的点的（ ）A横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变B横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变C纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变D纵坐标缩短到原来的 倍，横坐
2、标不变3 （5 分）双曲线 =1（a0，b0）的一条渐近线方程是 y= x，则该双曲线的离心率是（ ）A B C D4 （5 分）在复平面内，复数 z=（|a| 1）+（a+1）i（a R，i 为虚数单位）对应的点位于第四象限的充要条件是（ ）Aa1 Ba 1 Ca 1 Da15 （5 分）已知直线 2x+y3=0 的倾斜角为 ，则 的值是（ ）A3 B2 C D36 （5 分）在闭区间4，6上随机取出 个数 x，执行如右图所示的程序框图，则输出的 x不小于 39 的概率为（ ）A B C D7 （5 分）已知点 M 是边长为 2 的正方形 ABCD 的内切圆内（含边界）一动点，则 的取值范围
3、是（ ）A1， 0 B 1，2 C 1，3 D1，48 （5 分）已知正项等比数列a n满足 a5+a4a3a2=5，则 a6+a7 的最小值为（ ）A32 B10+10 C20 D289 （5 分）已知 f（x）= x2+ +c（b，c 为常数）和 g（ x）= x+ 是定义在M=x|1x4 上的函数，对任意的 xM，存在 x0M 使得 f（x）f（x 0） ，g（x）g（x 0） ，且 f（x 0）=g（x 0） ，则 f（x）在集合 M 上的最大值为（ ）A B5 C6 D810 （5 分）已知抛物线 x2=4py（p0）的焦点 F，直线 y=x+2 与该抛物线交于 A，B 两点，M 是
4、线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，若 +（ + ） =15p2，则 p 的值为（ ）A B C1 D2二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上）11 （5 分）某小组 4 个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是 12 （5 分）在 x（x1） 5 展开式中含 x3 项的系数是 （用数字作答） 13 （5 分）从数字 0、1、2、3、4、5 这 6 个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有 个 （用数字作答）14 （5 分）已知点 P 在单位圆 x2+y2=1 上运动，P 到直线 3x4y10=0 与 x=3 的距离分为d1、d 2
5、，则 d1+d2 的最小值是 15 （5 分）现定义一种运算“”：对任意实数 a，b，ab= ，设 f（x）=（x 22x）（x+3） ，若函数 g（x）=f（x）+k 的图象与 x 轴恰有三个公共点，则实数 k 的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16 （12 分）某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品” 的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了 100 名年龄阶段性在10，20） ，20，30） ，30，40） ，40，50） ，50，60）的
6、市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示（）求随机抽取的市民中年龄段在30，40）的人数；（）从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 5 人，求50，60）年龄段抽取的人数；（）从（）中方式得到的 5 人中再抽取 2 人作为本次活动的获奖者，记 X 为年龄在50，60）年龄段的人数，求 X 的分布列及数学期望17 （12 分）已知函数 f（x） =cos4x2sinxcosxsin4x（1）若 x 是某三角形的一个内角，且 f（x）= ，求角 x 的大小；（2）当 x0， 时，求 f（x）的最小值及取得最小值时 x 的集合18 （12 分）已知二次函数 f（x）=x
7、 2+4x+m（m R，m 为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆 C（I）求 m 的取值范围；（）试证明圆 C 过定点（与 m 的取值无关） ，并求出该定点的坐标19 （12 分）已知等差数列a n的前 n 项和 Sn 满足：S 5=30，S 10=110，数列b n的前 n 项和 Tn 满足：b 1=1，b n+12Tn=1（1）求 Sn 与 bn；（2）比较 Snbn 与 2Tnan 的大小，并说明理由20 （12 分）在平面直角坐标系中，动点 M 到定点 F（1，0）的距离和它到直线 l：x=2的距离之比是常数 ，记动点 M 的轨迹为 T（1）求轨迹 T 的方程；（2
8、）过点 F 且不与 x 轴重合的直线 m，与轨迹 T 交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 P，与轨迹 T 是否存在点 Q，使得四边形 APBQ 为菱形？若存在，请求出直线 m 的方程；若不存在，请说明理由21 （15 分）已知函数 f（x） =lnxmx（mR） （）讨论函数 f（x）的单调区间；（）当 m 时，设 g（x）=2f（x）+x 2 的两个极值点 x1，x 2（x 1x 2）恰为 h（x）=lnxcx2bx 的零点，求 y=（x 1x2）h（ ）的最小值2015-2016 学年四川省南充高中高三（上）1 月诊断数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：
9、本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分） （2016 绵阳模拟）若集合 A=x|y=2x，集合 ，则 AB=（ ）A （0，+） B （1，+ ） C0，+） D （，+）【分析】求出集合 A 中函数的定义域确定出 A，求出集合 B 中函数的定义域确定出 B，求出 A 与 B 的交集即可【解答】解：集合 A 中的函数 y=2x，xR，即 A=R，集合 B 中的函数 y= ，x0，即 B=0，+） ，则 AB=0，+） 故选 C【点评】此题属于以函数的定义域为平台，考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键
10、2 （5 分） （2016 绵阳模拟）为了得到函数 y=3sin（2x+ ） ，xR 的图象，只需把函数y=3sin（x+ ） ，xR 的图象上所有的点的（ ）A横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变B横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变C纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变D纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变【分析】得到函数 的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标变为原来的一半【解答】解：由函数图象变换的规则函数 的图象，可以由函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变得到故选 B【点评】本题考查函数 y=Asin（x+）的图象变换，解题的关键是掌握住图象变换的规则，属于基本题
11、型3 （5 分） （2016 绵阳模拟）双曲线 =1（a0，b 0）的一条渐近线方程是y= x，则该双曲线的离心率是（ ）A B C D【分析】根据双曲线 =1（a0，b0）的渐近线的方程，得出 = ，再利用离心率 e= = 计算【解答】解：双曲线 =1（a0，b0）的渐近线的方程为：y= x，双曲线的一条渐近线方程是 y= x， = ，则离心率 e= = = = = 故选：B【点评】本题考查了双曲线的简单性质，渐近线，离心率根据渐近线方程建立方程关系，求出 a，c 的关系是解决本题的关键属于基本知识的考查4 （5 分） （2016 绵阳模拟）在复平面内，复数 z=（|a |1）+（a+1）i
12、（aR ，i 为虚数单位）对应的点位于第四象限的充要条件是（ ）Aa1 Ba 1 Ca 1 Da1【分析】由复数 z 的实部大于 0，且虚部小于 0 联立不等式组求得答案【解答】解：由 z=（|a |1）+（a+1）i 对应的点位于第四象限，得 ，即 a1复数 z=（|a |1）+（a+1）i 对应的点位于第四象限的充要条件是 a 1故选：D【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的代数表示法及其几何意义，充要条件的应用，考查各个象限的点的坐标特点，是基础题5 （5 分） （2016 绵阳模拟）已知直线 2x+y3=0 的倾斜角为 ，则 的值是（ ）A3 B2 C D3【分析】由直线的倾
13、斜角和斜率的关系可得 tan=2，要求的式子可化为 ，代入计算可得【解答】解：直线 2x+y3=0 的倾斜角为 ，tan=2， = = = 故选：C【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率，涉及三角函数的公式，属基础题6 （5 分） （2016 绵阳模拟）在闭区间 4，6上随机取出 个数 x，执行如右图所示的程序框图，则输出的 x 不小于 39 的概率为（ ）A B C D【分析】根据程序框图求出 x 的取值范围，结合几何概型的概率公式进行求解即可【解答】解：由程序框图知，第一次循环，n=1，满足条件 n3，y=2x+1，n=2，第二次循环，n=2，满足条件 n3，y=2（2x+1）+1=4x +3
14、，n=3，第三次循环，n=3，满足条件 n3，y=2（4x+3）+1=8x +7，n=4，此时不满足条件 n3 输出 y=8x+7，由 8x+739 得 x4，即 4x6，则对应的概率 P= = ，故选：A【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据程序框图求出 x 的取值范围是解决本题的关键7 （5 分） （2016 绵阳模拟）已知点 M 是边长为 2 的正方形 ABCD 的内切圆内（含边界）一动点，则 的取值范围是（ ）A1， 0 B 1，2 C 1，3 D1，4【分析】如图所示，由题意可得：点 M 所在的圆的方程为：（x1） 2+（y 1）21（0x2，0y2） 可设点 M（x，y）可
15、得 =（x 1） 2+y21，由0，2，即可得出【解答】解：如图所示，由题意可得：点 M 所在的圆的方程为：（x1） 2+（y 1） 21（0x2，0y2） 可设点 M（x，y）A（0，0） ，B（2，0） =（x，y） （2x，y）=x（2 x）+y 2=（x1） 2+y21，由 0，2， 1， 3，故选：C【点评】本题考查了圆的标准方程、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8 （5 分） （2016 绵阳模拟）已知正项等比数列a n满足 a5+a4a3a2=5，则 a6+a7 的最小值为（ ）A32 B10+10 C20 D28【分析】设正项等比数列a n的公比为 q1
16、，由于 a5+a4a3a2=5，可得（q 21） （a 3+a2）=5因此 a6+a7=q4（a 3+a2）= = ，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：设正项等比数列a n的公比为 q1，a 5+a4a3a2=5，（q 21） （a 3+a2）=5 则 a6+a7=q4（a 3+a2）= = = +10=20，当且仅当 q2=2，即 q= 时取等号故选：C【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9 （5 分） （2016 绵阳模拟）已知 f（x）= x2+ +c（b，c 为常数）和 g（x）= x+ 是定义在 M=x|1 x4
17、上的函数，对任意的 xM，存在 x0M 使得 f（x）f（x 0） ，g（x）g（x 0） ，且 f（x 0）=g（x 0） ，则 f（x）在集合 M 上的最大值为（ ）A B5 C6 D8【分析】由基本不等式可得 g（x）1（当且仅当 x= ，即 x=2 时，等号成立） ，从而可得 c=1 ，求导 f（x）=x = ，从而可得 b=8， c=5，从而解得【解答】解：g（x）= x+ 2 =1，（当且仅当 x= ，即 x=2 时，等号成立） ，f（2）=2 + +c=g（2）=1，c=1 ，f（x）= x2+ = x2+ 1 ，f（x）=x = ，f（x）在 x=2 处有最小值，f（2）=0，
18、即 b=8，故 c=5，故 f（x）= x2+ 5，f（x）= ，故 f（x）在1，2上是减函数，在 2，4上是增函数，而 f（1）= +85= ，f（4） =8+25=5，故 f（x）的最大值为 5，故选：B【点评】本题考查了基本不等式的应用及导数的综合应用10 （5 分） （2016 绵阳模拟）已知抛物线 x2=4py（p0）的焦点 F，直线 y=x+2 与该抛物线交于 A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，若 +（+ ） =15p2，则 p 的值为（ ）A B C1 D2【分析】设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，把 y=x+2 代
19、入 x2=4py 得 x24px8p=0利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可得出结论【解答】解：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，把 y=x+2 代入 x2=4py 得 x24px8p=0由韦达定理得 x1+x2=4p，x 1x2=8p，所以 M（2p，2p+2） ，所以 N 点（2p，0） 同理 y1+y2=4p+4，y 1y2=4 +（ + ） =15p2，（x 1，p y1） （ x2，py 2）+（x 1x2，2p y1y2）（2p， p）=1 5p2，代入整理可得 4p2+4p3=0，p= 故选：B【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
