1、2015-2016 学年天津市耀华中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题的 4 个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上1 （5 分）已知集合 A=x|x=2n，n N*，B=x|x=2n，nN *，则下列不正确的是（ ）AA B BA B=A CB（ zA）= DA B=B2 （5 分）函数 的最大值和最小值分别是（ ）A ， B ， 2 C2， D2，23 （5 分）函数 f（x）=lnx+ax 存在与直线 2xy=0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，2 B （ ，2） C0，+） D （
2、2，+ ）4 （5 分）要得到函数 y=3cosx 的图象，只需将函数 y=3sin（2x ）的图象上所有点的（ ）A横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变） ，所得图象再向左平移 个单位长度B横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变） ，所得图象再向右平移 个单位长度C横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图象再向左平移 个单位长度D横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图象再向右平移 个单位长度5 （5 分）在ABC 中，如果边 a，b，c 满足 a （b+c） ，则A （ ）A一定是锐角 B一定是钝角 C一定是直角 D以上都有可能6 （5 分）设 0x ，则“xsin 2x1”是“
3、xsinx1”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7 （5 分）设方程 3x=|lg（ x）|的两个根为 x1，x 2，则（ ）Ax 1x20 Bx 1x2=0 Cx 1x21 D0x 1x218 （5 分）若函数 f（x）=3x x3 在区间（a 212，a ）上有最小值，则实数 a 的取值范围是（ ）A B （1，4） C （ 1，2 D （1，2）二填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，将答案填写在答题纸上9 （5 分） = 10 （5 分）已知 ，则 = 11 （5 分）在三角形 ABC 中，已知 A=60，b=1 ，
4、其面积为 ，则 = 12 （5 分）若函数 ，则 f（2014）= 13 （5 分）当 y=2sin6x+cos6x 取得最小值时，cos2x= 14 （5 分）已知集合 A=x|x2ax+30，B= x|1log 2（x+1）2，若 AB，则实数 a 的取值范围是 三解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，将解题过程及答案填写在答题纸上15 （13 分）设函数 ，（）求函数 f（x）的最小正周期及单调增区间；（）当 时，f（ x）的最小值为 0，求实数 m 的值16 （13 分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和 ，且各株大树是否成活互不影
5、响求移栽的 4 株大树中：（1）两种大树各成活 1 株的概率；（2）成活的株数 的分布列与期望17 （13 分）如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，侧棱 AA1 的长为 3，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，E 是棱 BC 的中点（）求证：BD 1平面 C1DE；（）求二面角 C1DEC 的正切值；（）在侧棱 BB1 上是否存在点 P，使得 CP平面 C1DE？证明你的结论18 （13 分）已知函数 f（x） =x2+axlnx，a R（）若 a=0 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程；（）若函数 f（x）在1，2 上是减函数，求实数 a 的取值范围；
6、（）令 g（x）=f（x）x 2，是否存在实数 a，当 x（0，e（e 是自然常数）时，函数 g（x）的最小值是3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由19 （14 分）已知曲线 C 的方程为 y2=4x（x0） ，曲线 E 是以 F1（ 1，0） 、F 2（1，0）为焦点的椭圆，点P 为曲线 C 与曲线 E 在第一象限的交点，且 （1）求曲线 E 的标准方程；（2）直线 l 与椭圆 E 相交于 A，B 两点，若 AB 的中点 M 在曲线 C 上，求直线 l 的斜率 k 的取值范围20 （14 分）函数 （1）若 f（x）在 x=2 处取得极值，求 p 的值；（2）若 f（x）在其定义域
7、内为单调函数求 p 的取值范围；（3）若在1，e上至少存在一点 x0，使得 f（x 0）g（ x0）成立，求 p 的取值范围2015-2016 学年天津市耀华中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题的 4 个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上1 （5 分） （2015 秋 天津校级月考）已知集合 A=x|x=2n，nN *，B=x|x=2n ，nN *，则下列不正确的是（ ）AA B BA B=A CB（ zA）= DA B=B【分析】由已知得 AB，AB=A，A B=B，B（ zA）=6，
8、10，12，14，【解答】解：集合 A=x|x=2n，n N*=2，4，8，16， ，2 n，B=x|x=2n，nN *=2，4，6，8，2n，AB，AB=A，AB=B，B（ zA）=6，10，12，14，故 A，B，D 均正确，C 错误故选：C【点评】本题考查集合的性质的应用，是基础题，解题时要认真审题2 （5 分） （2015 秋 天津校级月考）函数 的最大值和最小值分别是（ ）A ， B ， 2 C2， D2，2【分析】由题意可得 y=（cosx1） 2+2，且 cosx1， ，再利用二次函数的性质求得 y 的最大值和最小值【解答】解：函数 =1cos2x+2cosx=（cosx 1）
9、2+2，cosx 1， ，故当 cosx=1 时，即 x= 时，函数 y 取得最小值为4+2= 2，当 cosx= 时，即 x= 时，函数 y 取得最大值为 +2= ，故选：B【点评】本题主要考查余弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于中档题3 （5 分） （2016 张掖模拟）函数 f（x）=lnx+ax 存在与直线 2xy=0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，2 B （ ，2） C0，+） D （2，+ ）【分析】问题等价于 f（x）=2 在（0，+）上有解，分离出参数 a，转化为求函数值域问题即可【解答】解：函数 f（x）=lnx+ax 存在与直线 2xy=0 平行
10、的切线，即 f（x）=2 在（0，+）上有解，而 f（x）= +a，即 +a=2 在（0，+）上有解，a=2 ，因为 x0，所以 2 2，所以 a 的取值范围是（，2） 故选 B【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程问题，注意体会转化思想在本题中的应用4 （5 分） （2010 武清区一模）要得到函数 y=3cosx 的图象，只需将函数 y=3sin（2x ）的图象上所有点的（ ）A横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变） ，所得图象再向左平移 个单位长度B横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变） ，所得图象再向右平移 个单位长度C横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图象再向左平移 个
11、单位长度D横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图象再向右平移 个单位长度【分析】利用诱导公式将 y=3cosx 转化为：y=3sin（ +x） ，再利用函数 y=Asin（ x+）的图象的伸缩变换与平移变换即可得到答案【解答】解：y=3cosx=3sin（ +x） ，令 y=f（x）=3sin（ +x） ，要得到 y=f（x）=3sin（ +x）的图象，需将函数 y=3sin（2x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到 g（x）=3sin（x ） ；g（x+ ）=3sin（x+ ） =3sin（ +x）=f（x） ，即：将 g（x）=3sin（x ）的
12、图象再向左平移 个单位长度，可得到 y=f（x）=3sin（ +x）的图象故选 C【点评】本题考查函数 y=Asin（x+）的图象的伸缩变换与平移变换，考查诱导公式的应用，属于中档题5 （5 分） （2015 秋 天津校级月考）在ABC 中，如果边 a，b，c 满足 a （b+c） ，则A （ ）A一定是锐角 B一定是钝角 C一定是直角 D以上都有可能【分析】已知不等式两边平方，利用余弦定理表示出 cosA，变形后利用基本不等式求出 cosA 的范围，利用余弦函数性质求出 A 的范围，即可做出判断【解答】解：已知不等式两边平方得：a 2 ，利用余弦定理得：cosA= = = ，A 为三角形的内
13、角，0A60，即A 一定是锐角故选 A【点评】此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键6 （5 分） （2010 浙江）设 0x ，则“xsin 2x1”是 “xsinx1”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】由 x 的范围得到 sinx 的范围，则由 xsinx1 能得到 xsin2x1，反之不成立答案可求【解答】解：0x ，0sinx1，故 xsin2xxsinx，若“xsinx1”，则“xsin 2x1”若“xsin 2x1”，则 xsinx ， 1此时 xsinx1 可能不成立例如x ， sinx1
14、，xsinx1由此可知， “xsin2x1”是“xsinx1”的必要而不充分条故选 B【点评】本题考查了充分条件、必要条件的判定方法，判断充要条件的方法是：若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件；若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件；若 pq 为真命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件；若 pq 为假命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系是基础题7 （
15、5 分） （2015 秋 天津校级月考）设方程 3x=|lg（x） |的两个根为 x1，x 2，则（ ）Ax 1x20 Bx 1x2=0 Cx 1x21 D0x 1x21【分析】分别作出函数 y=3x 和 y=|lg（x）|的图象，由图象先确定两个根的取值范围，然后根据指数函数和对数函数的性质进行判断【解答】解：分别作出函数 y=3x 和 y=|lg（x）|的图象如图：由图象可知程 3x=|lg（ x）|的两个根为 x1，x 2，不妨设 x1x 2，则两根满足2 x1 1，1x 20，3 x1=|lg（x 1）|=lg（ x1） ，3x2=|lg（x 2）|=lg （x 2） ，且 3x13
16、x2，得3x13x2=lg（ x1）+lg（x 2）=lg（x 1x2）3 x13 x2，lg（x 1x2）=3 x13x20，即 0x 1x21 故选：D【点评】本题主要考查方程根的应用，将方程转化为函数，利用函数图象交点的问题是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的突破点8 （5 分） （2014 春 南阳期末）若函数 f（x）=3xx 3 在区间（a 212，a）上有最小值，则实数 a 的取值范围是（ ）A B （1，4） C （ 1，2 D （1，2）【分析】求函数 f（x）=3x x3 导数，研究其最小值取到位置，由于函数在区间（a 212，a）上有最小值，故最小值点的横坐标是集合
17、（a 212，a）的元素，由此可以得到关于参数 a 的等式，解之求得实数 a 的取值范围【解答】解：由题 f（x）=33x 2，令 f（x）0 解得1x1；令 f（x）0 解得 x 1 或 x1由此得函数在（， 1）上是减函数，在（ 1，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数故函数在 x=1 处取到极小值2，判断知此极小值必是区间（a 212，a）上的最小值a 212 1a，解得1a 又当 x=2 时，f（2）= 2，故有 a2综上知 a（1，2故选 C【点评】本题考查用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的最值是导数作为数学中工具的一个重要运用，要注意把握其作题步骤，求导，确定单调性，得出最
18、值二填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，将答案填写在答题纸上9 （5 分） （2014 春 龙井市校级期中） = 【分析】求出被积函数 2x 的原函数，将积分的上限、下限代入求值即可【解答】解： =（ x2+x1）| 13=32+31（ 12+11）= ，故答案为【点评】本题主要考查了定积分的计算，解决该类问题的关键是求出被积函数的原函数，属于计算题、基础题10 （5 分） （2015 秋 天津校级月考）已知 ，则 = 3 【分析】先求出 a= ，由此能求出 的值【解答】解： ， = ，a= ， = =3故答案为：3【点评】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题
19、，注意指数、对数性质、运算法则的合理运用11 （5 分） （2015 秋 甘谷县校级期中）在三角形 ABC 中，已知 A=60，b=1，其面积为 ，则= 【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将 sinA，b，以及已知面积相等求出 c 的值，利用余弦定理求出 a 的值，利用正弦定理求出所求式子的值即可【解答】解：ABC 中，A=60，b=1 ，其面积为 ， bcsinA= ，即 c = ，解得：c=4，由余弦定理得：a 2=b2+c22bccosA=1+164=13，即 a= ，则由正弦定理 = = 得： = = = 故答案为：【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握
20、定理及公式是解本题的关键12 （5 分） （2015 秋 天津校级月考）若函数 ，则 f（2014）= 1007 【分析】根据分段函数，直接代入进行求解即可【解答】解：当 x0 时，f（ x）=f（x2）+1，即此时函数的周期是 2，则 f（2014）=f（2012）+1=f（0）+1007=f（ 2）+1008=1 2+1008=1007，故答案为：1007【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的表达式是解决本题的关键，比较基础13 （5 分） （2015 秋 天津校级月考）当 y=2sin6x+cos6x 取得最小值时，cos2x= 32 【分析】先根据同角的三角函数的关系得到 y=s
21、in6x+13sin2x+3sin4x，再设 sin2x=t，则 t0，1，构造函数 f（t）=t 3+3t23t+1，t0， 1，利用导数和最值的关系求出sin2x= 1，再根据二倍角公式即可求出答案【解答】解：y=2sin 6x+cos6x=2sin6x+（cos 2x） 3=2sin6x+（ 1sin2x）3=2sin6x+13sin2x+3sin4xsin6x=sin6x+13sin2x+3sin4x，设 sin2x=t，则 t0，1，则 f（t）=t 3+3t23t+1，t0， 1，f（t ） =3t2+6t3，令 f（t）=3t 2+6t3=0，解得 t= 1，当 f（t）0 时，
22、即 t（ 1，1，函数 f（t ）单调递增，当 f（t）0 时，即 t0， 1，函数 f（t ）单调递减，当 t= 1 时，函数 f（t）有最小值，sin 2x= 1 时，函数 y=2sin6x+cos6x 取得最小值，cos2x=12sin 2x=12（ 1）=32 ，故答案为： 【点评】本题考查了同角的三角的关系和二倍角公式和导数和函数的最值的关系，换元是关键，属于中档题14 （5 分） （2015 秋 天津校级月考）已知集合 A=x|x2ax+30，B= x|1log 2（x+1）2，若 AB，则实数 a 的取值范围是 【分析】先化简集合 B，再利用 AB，可得 A=或 ，即可求出实数
23、a 的取值范围【解答】解：集合 B=x|1log 2（x+1）2= x|log22log 2（x+1）log 24=x|2x+14= x|1x3，AB，A=或 ，2 a2 或 2 a4，实数 a 的取值范围是 故答案为 【点评】本题主要考查集合的包含关系及应用，同时考查二次不等式和对数不等式的解法，注意运用对数函数的单调性，以及分类讨论的思想方法，准确分类是解题的关键三解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，将解题过程及答案填写在答题纸上15 （13 分） （2015 秋 天津校级月考）设函数 ，（）求函数 f（x）的最小正周期及单调增区间；（）当 时，f（ x）的最小值为 0，求实数 m 的值【分析】 （）利用两角和的余弦公式、正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式求出 f（x）的最小正周期，由正弦函数的增区间求出 f（x）的增区间；（）由 x 的范围求出 2x+ 的范围，由正弦函数的图象、性质和条件列出方程，求出 m 的值【解答】解：（）= ，由 得，
