1、2015-2016 学年吉林省吉林大学附中高三（上）第一次摸底数学试卷（理科）一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设 U=R，已知集合 A=x|x1，B=x|xa，且（ UA）B=R，则 a 的范围是（ ）A （，1） B （1，+） C （ ，1 D1，+ ）2 （5 分）已知 O、A、B、C 为同一平面内的四个点，若 2 + = ，则向量 等于（ ）A B + C2 D 23 （5 分）已知 a，b 是实数，则“ ”是“log 3alog 3b”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也
2、不必要条件4 （5 分）若命题“x 0R，使得 x02+mx0+2m30” 为假命题，则实数 m 的取值范围是（ ）A2，6 B 6，2 C （2，6） D （6，2）5 （5 分）若 sin（ ）= ，则 2cos2（ + ）1=（ ）A B C D6 （5 分）已知命题 p：函数 y=2ax+1 的图象恒过定点（1 ，2） ；命题 q：若函数 y=f（x 1）为偶函数，则函数 y=f（x）的图象关于直线 x=1 对称，则下列命题为真命题的是（ ）Apq Bpq Cpq Dpq7 （5 分）已知 R 上的偶函数 f（x）满足 f（1x）=f（1+x） ，若 0x1 时，f（x）=2 x，则
3、f（log 26）=（ ）A6 B3 C D8 （5 分）已知函数 f（x）=x n+an1xn1+an2xn2+a1x+a0（ n2 且 nN*）设 x0 是函数f（x）的零点的最大值，则下述论断一定错误的是（ ）Af（x 0）0 Bf（x 0）=0 Cf（x 0）0 Df （x 0）09 （5 分）设函数 f（x）=sinxcos2x 图象的一个对称轴是（ ）A Bx=0 C D10 （5 分）已知函数 ，则关于 a 的不等式 f（a 2）+f （a 24）0 的解集是（ ）A B （3，2） C （1，2） D11 （5 分）曲线 y=ln（2x 1）上的点到直线 2xy+8=0 的最短
4、距离是（ ）A B2 C3 D012 （5 分）已知函数 f（x） =exax 有两个零点 x1x 2，则下列说法错误的是（ ）Aae Bx 1+x22Cx 1x21 D有极小值点 x0，且 x1+x22x 0二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分） （2|1 x|）dx= 14 （5 分）函数 f（x）=2sin（x+） （ 0， ）的部分图象如图所示，则函数 f（x）解析式 15 （5 分）若函数 f（x）=e x2xa 在 R 上有两个零点，则实数 a 的取值范围是 16 （5 分）符号x表示不超过 x 的最大整数，如=3，10.3=11，定义函数x=x x，那么下列
5、结论中正确的序号是 函数x的定义域为 R，值域为0，1；方程 有无数解；函数x是周期函数；函数x在n，n+1（nZ）是增函数三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，S 为ABC 的面积，若a+b=2，且 2S=c2（a b） 2；（1）求 的值； （2）求 S 的最大值18 （12 分）已知 a0 且 a1，函数 f（x）=log a（x+1） ，g（x）=log a ，记 F（x）=2f（x）+g（x） （1）求函数 F（x）的定义域 D 及其零点；（2）若关于 x 的方程 F（x）m=0 在区间0，1）内仅有
6、一解，求实数 m 的取值范围19 （12 分）如图，在多面体 ABCDE 中，DB平面 ABC，AEDB，且ABC 是边长为2 的等边三角形，AE=1，CD 与平面 ABDE 所成角的正弦值为 （1）若 F 是线段 CD 的中点，证明：EF面 DBC；（2）求二面角 DECB 的平面角的余弦值20 （12 分）已知椭圆 C： =1（ab0）的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 xy+ =0 相切A、B 是椭圆 C 的右顶点与上顶点，直线y=kx（k0）与椭圆相交于 E、F 两点（1）求椭圆 C 的方程；（2）当四边形 AEBF 面积取最大值时，求 k 的值21 （12 分
7、）若 f（x）= 其中 aR（1）当 a=2 时，求函数 y（ x）在区间e ，e 2上的最大值；（2）当 a0，时，若 x1，+） ，f （x） a 恒成立，求 a 的取值范围请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图，过点 P 作圆 O 的割线 PBA 与切线 PE，E 为切点，连接AE，BE，APE 的平分线与 AE，BE 分别交于 C，D，其中APE=30（1）求证： = ；（2）求PCE 的大小选修 4-4：坐标系与参数方程 23在平面直角坐标系 xOy 中
8、，直线 l 经过点 A（1，0） ，其倾斜角是 ，以原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系设曲线 C 的极坐标方程是 2=6cos5（）若直线 l 和曲线 C 有公共点，求倾斜角 的取值范围；（）设 B（x，y）为曲线 C 任意一点，求 的取值范围选修 4-5：不等式选讲24设 f（x）=|x 3|+|x4|（）求函数 g（x）= 的定义域；（）若存在实数，满足 f（ x）mx+1试求实数 m 的取值范围2015-2016 学年吉林省吉林大学附中高三（上）第一次摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共 12 小题，每小
9、题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2016 上饶二模）设 U=R，已知集合 A=x|x1，B=x|xa，且（ UA）B=R，则 a 的范围是（ ）A （，1） B （1，+） C （ ，1 D1，+ ）【分析】先求出 UA，再根据（ UA）B=R，求出 a【解答】解：集合 A=x|x1， UA=x|x1，B=x|xa，若（ UA）B=R，则 a1，即 a（，1故选 C【点评】本题考查集合的基本运算，属于基础题2 （5 分） （2016 河南模拟）已知 O、A 、B 、C 为同一平面内的四个点，若 2 + = ，则向量 等于（ ）A B + C2 D
10、 2【分析】如图，计算即可【解答】解：2 + = ，点 A、B 、C 共线，且 A 为 BC 中点，则点 O 的位置有 5 种情况，如图：（1） ， ；（2） = +2（ ）= ；（3） = +2（ ）= ；（4） = +2（ ）= ；（5） = +2（ ）= ；故选：C【点评】本题考查平面向量的加、减运算，属于基础题3 （5 分） （2016 河南模拟）已知 a，b 是实数，则“ ”是“log 3alog 3b”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：若“ ”，则
11、ab，若“log 3alog 3b”，则 ab0所以“ ”是“log 3alog 3b”的必要不充分条件故选 B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用指数函数和对数函数的单调性进行判断，注意对数函数定义域的要求4 （5 分） （2013 唐山二模）若命题“x 0R，使得 x02+mx0+2m30”为假命题，则实数 m的取值范围是（ ）A2，6 B 6，2 C （2，6） D （6，2）【分析】先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数 m 的取值范围【解答】解：命题“x 0R，使得 ”的否定为
12、：“x0R，都有 ”，由于命题“x 0R，使得 ”为假命题，则其否定为：“x 0R，都有 ”，为真命题，=m 24（2m3）0，解得 2m 6则实数 m 的取值范围是2， 6故选 A【点评】本题考查二次不等式恒成立，解决此类问题要结合二次函数的图象与性质处理5 （5 分） （2016 河南模拟）若 sin（ ）= ，则 2cos2（ + ）1=（ ）A B C D【分析】由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式，求得要求式子的值【解答】解：若 ，则 =cos（ +）=sin （+）=sin（ ）= ，故选：A【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，属于基础题6 （5 分） （2016
13、 安徽校级模拟）已知命题 p：函数 y=2ax+1 的图象恒过定点（1，2） ；命题 q：若函数 y=f（x1）为偶函数，则函数 y=f（x）的图象关于直线 x=1 对称，则下列命题为真命题的是（ ）Apq Bpq Cpq Dpq【分析】由函数的翻折和平移，得到命题 p 假，则p 真；由函数的奇偶性，对轴称和平移得到命题 q 假，则命题q 真，由此能求出结果【解答】解：函数 y=2ax+1 的图象可看作把 y=ax 的图象先沿轴反折，再左移 1 各单位，最后向上平移 2 各单位得到，而 y=ax 的图象恒过（0，1） ，所以函数 y=2ax+1 恒过（ 1， 1）点，所以命题 p 假，则p真函
14、数 f（x 1）为偶函数，则其对称轴为 x=0，而函数 f（x）的图象是把 y=f（x1）向左平移了 1 各单位，所以 f（x）的图象关于直线 x=1 对称，所以命题 q 假，则命题q 真综上可知，命题 pq 为真命题故选：D【点评】本题考查命题的真假判断，是中档题，解题时要认真审题，注意得复合命题的性质的合理运用7 （5 分） （2015 秋 吉林校级月考）已知 R 上的偶函数 f（x）满足 f（1x）=f（1+x） ，若0x1 时，f（x）=2 x，则 f（log 26）= （ ）A6 B3 C D【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可【解答】解：R 上的偶函数 f（x）满足 f（1
15、x）=f（1+x） ，f（1 x）=f（1+x）=f（x 1） ，即 f（x+2）=f（x） ，则函数 f（x）是周期为 2 的周期函数，2log 263，0log 2621，0x1 时，f（x）=2 x，f（log 26）=f（log 262）= = = ，故选：C【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的性质求出函数的周期，以及利用函数的周期进行转化是解决本题的关键8 （5 分） （2011 福建模拟）已知函数 f（x）=x n+an1xn1+an2xn2+a1x+a0（n2 且nN*）设 x0 是函数 f（x）的零点的最大值，则下述论断一定错误的是（ ）Af（x 0）0
16、Bf（x 0）=0 Cf（x 0）0 Df （x 0）0【分析】根据函数 f（x）=x n+an1xn1+an2xn2+a1x+a0 可知，函数最终变化趋势是单调递增的，因此，当函数与 x 轴的最大的交点时，函数是成递增趋势，因此得到答案【解答】解：因为 xn 是决定函数值的最重要因素，当 x 趋近无穷时 Xn 也趋近无穷，导致函数值趋近无穷，所以最终 f（x ）0，若 f（x 0）0 ，说明在 x0 后有函数值小于 0 值但最终函数值大于 0，说明 x0 后还有零点，这与 x0 是函数 f（x）的零点的最大值矛盾，故选 D【点评】此题是个基础题考查函数的零点与函数图象的变化与导数之间的关系，
17、以及极限思想和反证法在解题中的应用9 （5 分） （2015 杭州校级模拟）设函数 f（x）=sinxcos2x 图象的一个对称轴是（ ）A Bx=0 C D【分析】利用函数的对称性对 A、B、C、D 四个选项逐一判断即可【解答】解：f（x）=sinxcos2x，f（ ）=sin（ ）cos2（ ）=1f（0）=0，函数 f（x）=sinxcos2x 图象不关于 x= 对称，排除 A；f（ x）=sin（x）cos2（x）= sinxcos2x=f（x） ，f（x）=sinxcos2x 为奇函数，不是偶函数，故不关于直线 x=0 对称，排除 B；又 f（ ）=sin cos（2 ）= 1f （
18、0）=0，故函数 f（x）=sinxcos2x 图象不关于 x=对称，排除 C；又 f（x）=sin（x）cos2（ x）=sinxcos2x=f （x）f（x）关于直线 x= 对称，故 D 正确故选 D【点评】本题考查三角函数的对称性，考查排除法在选择题中的应用，属于中档题10 （5 分） （2016 陕西校级模拟）已知函数 ，则关于 a 的不等式f（a 2） +f（a 24）0 的解集是（ ）A B （3，2） C （1，2） D【分析】根据已知中的函数解析式，先分析函数的单调性和奇偶性，进而根据函数的性质及定义域，可将不等式 f（a2）+f（a 24）0 化为 1a 24a 2 1，解不
19、等式组可得答案【解答】解：函数的定义域为（1，1）f（ x）= sinx=f（x）函数 f（x）为奇函数又f（x）= +cosx0，函数 在区间（1，1）上为减函数，则不等式 f（a2）+f （a 24）0 可化为：f（a 2）f （a 24）即 f（a2）f（4 a2） ，即 1a24 a21解得 a2故关于 a 的不等式 f（a2）+f（a 24）0 的解集是（ ， 2） 故选：A【点评】本题考查的知识点是函数的单调性和奇偶性的性质，解不等式，是函数图象和性质与不等式的综合应用，属于中档题11 （5 分） （2016 贵阳二模）曲线 y=ln（2x1）上的点到直线 2xy+8=0 的最短距
20、离是（ ）A B2 C3 D0【分析】在曲线 y=ln（2x 1）上设出一点，然后求出该点处的导数值，由该导数值等于直线 2xy+8=0 的斜率求出点的坐标，然后由点到直线的距离公式求解【解答】解：设曲线 y=ln（2x 1）上的一点是 P（ m，n） ，则过 P 的切线必与直线 2xy+8=0 平行由 ，所以切线的斜率 解得 m=1，n=ln（21）=0 即 P（1，0）到直线的最短距离是 d= 故选 B【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了数学转化思想方法，关键是理解与直线平行且与曲线相切的直线和曲线的切点到直线的距离最小，是中档题12 （5 分） （2016 河南模拟）已知函数 f（x）=e xax 有两个零点 x1x 2，则下列说法错误的是（ ）Aae Bx 1+x22Cx 1x21 D有极小值点 x0，且 x1+x22x 0【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：f（x）=e xax，f（x）=e xa，令 f（x）=e xa0，当 a0 时， f（x）=e xa0 在 xR 上恒成立，f（x）在 R 上单调递增当 a0 时， f （x）=e xa0，e xa0，解得 xlna，f（x）在（ ，lna）单调递减，在（lna，+）单调递增函数 f（x）=e xax 有两个零点 x1x 2，f（lna）0，a0，e lnaalna0，
