1、2015-2016 学年云南省玉溪一中高三（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知全集 U=1，2，3，4，5，集合 A=xZ|x3|2，则集合 uA 等于（ ）A1，2，3，4 B2，3， 4 C1，5 D5Z2 （5 分）欧拉公式 eix=cosx+isinx（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在
2、复平面中位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分） “直线 l：y=kx+2k1 在坐标轴上截距相等”是“k=1” 的（ ）条件A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）在等差数列a n中，a 9= a12+6，则数列a n的前 11 项和 S11=（ ）A24 B48 C66 D1325 （5 分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）A B C D6 （5 分）已知 等于（ ）A B C D7 （5 分）已知向量 ， 满足| |=1，| |= ，|2 + |= ，则 与 的夹角为（ ）
3、A30 B60 C120 D1508 （5 分）已知函数 ，则函数 y=f（x）的大致图象为（ ）A B C D9 （5 分）已知 的值域为m ，+） ，当正数 a，b 满足 时，则7a+4b 的最小值为（ ）A B5 C D910 （5 分）已知圆 C：x 2+y22x1=0，直线 l：3x 4y+12=0，圆 C 上任意一点 P 到直线 l 的距离小于 2 的概率为（ ）A B C D11 （5 分）抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足AFB=120过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则 的最大值为（ ）A B1
4、C D212 （5 分）已知函数 g（x）=ax 2（ xe ，e 为自然对数的底数）与 h（x）=2lnx 的图象上存在关于 x轴对称的点，则实数 a 的取值范围是（ ）A1， +2 B1，e 22 C +2，e 22 De 22，+）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）如图是一个算法流程图，则输出 S 的值是 14 （5 分）若抛物线 的焦点 F 与双曲线 x2y2=a 的一个焦点重合，则 a 的值为 15 （5 分）半径为 1 的球面上有四个点 A，B，C，D，球心为点 O，AB 过点O，CA=CB，DA=DB ，DC=1，则三棱锥 ABCD 的
5、体积为 16 （5 分）已知函数 ，若关于 x 的方程 f2（x）bf（x）+c=0（b，cR）有 8 个不同的实数根，则 的取值范围为 三、解答题（本大题共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2（b c） 2=（2 ）bc，sinAsinB=cos 2 ，（1）求角 B 的大小；（2）若等差数列a n的公差不为零，且 a1cos2B=1，且 a2、a 4、a 8 成等比数列，求 的前 n 项和Sn18 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知 AB侧面 BB1C1C，AB=BC=
6、1，BB 1=2，（1）求证：C 1B平面 ABC；（2）求点 B1 到平面 ACC1A1 的距离19 （12 分）某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度） ，以160，180） ，180，200） ，200，220） ，220.240） ，240，260） ，260，280） ，280，300）分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中 x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，220，240） ，240，260） ，260，280） ，280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在220，240）的用户中应抽取多少户？2
7、0 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为 ，右焦点F（1，0） （）求椭圆 C 的方程；（）点 P 在椭圆 C 上，且在第一象限内，直线 PQ 与圆 O：x 2+y2=b2 相切于点 M，且 OPOQ ，求点 Q的纵坐标 t 的值21 （12 分）已知函数 f（x） =（2 a）lnx + +2ax（1）若函数 f（x）有极小值，且极小值为 4，试求 a 的值；（2）当 a0 时，讨论 f（x）的单调性；（3）若对a（3，2） ，x 1，x 21，3恒有（m+ln3）a21n3|f（x 1）f（x 2）|成立，求实数 m 的取值范围请考生在第 22
8、、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.作答时请写清题号.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 ，半径 r=3（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）若点 Q 在圆 C 上运动，P 在 OQ 的延长线上，且|OQ|：|QP|=3：2，求动点 P 的轨迹方程选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x）=|2x 1|，x R，（1）解不等式 f（x）x+1；（2）若对于 x，yR，有 求证：f （x）12015-2016 学年云南省玉溪一中高三（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分
9、，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分） （2007 陕西）已知全集 U=1，2，3，4，5，集合 A=xZ|x3|2，则集合 uA 等于（ ）A1，2，3，4 B2，3， 4 C1，5 D5Z【分析】由题意 U=1，2，3，4，5，集合 A=xZ|x3|2，解出集合 A，然后根据交集的定义和运算法则进行计算【解答】解：U=1，2，3，4，5，集合 A=xZ|x3|2，A=2 ，3，4，C uA=1，5，故选 C【点评】此题主要考查一元二次不等式的解法及集合的交集及补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确
10、保得分2 （5 分） （2016 春 玉溪校级月考）欧拉公式 eix=cosx+isinx（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】e 2i 表示的复数为：cos（2）+isin（ 2） ，根据2 ，即可得出结论【解答】解：e 2i 表示的复数为：cos（2）+isin（ 2） ，2 ，cos （ 2）0，sin（2）0因此在复平面中位于第三象限故选：C【
11、点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分） （2016 春 玉溪校级月考） “直线 l：y=kx +2k1 在坐标轴上截距相等”是“ k=1”的（ ）条件A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据直线截距的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：当 k=1 时，直线 l：y=kx +2k1=x3，即 + =1，满足在坐标轴上截距相等，即必要性成立，当 2k1=0，即 k= 时，直线方程为 y= x，在坐标轴上截距都为 0，满足相等，但 k=1 不成立，即充分性不成立，故直线
12、 l：y=kx +2k1 在坐标轴上截距相等 ”是“k=1”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线截距的定义是解决本题的关键4 （5 分） （2014 张掖三模）在等差数列a n中，a 9= a12+6，则数列a n的前 11 项和 S11=（ ）A24 B48 C66 D132【分析】根据数列a n为等差数列，a 9= ，可求得 a6，利用等差数列的性质即可求得数列a n的前11 项和 S11【解答】解：列a n为等差数列，设其公差为 d，a 9= ，a 1+8d= （a 1+11d）+6，a 1+5d=12，即 a6=12数列a n的前 11 项和
13、 S11=a1+a2+a11=（a 1+a11）+（ a2+a10）+（a 5+a7）+a 6=11a6=132故选 D【点评】本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式，求得 a6 的值是关键，考查综合应用等差数列的性质解决问题的能力，属于中档题5 （5 分） （2016 贵阳二模）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）A B C D【分析】根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角都右上角的线，得到结果【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投
14、影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有 D 符合故选 D【点评】本题考查空间图形的三视图，考查侧视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错6 （5 分） （2015 秋 南安市校级期中）已知 等于（ ）A B C D【分析】利用平方关系化弦为切，代入 tan=2 求值【解答】解：tan=2， = = = 故选：A【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的应用，关键是化弦为切，是基础题7 （5 分） （2016 春 玉溪校级月考）已知向量 ， 满足| |=1，| |= ，|2 + |=
15、，则 与 的夹角为（ ）A30 B60 C120 D150【分析】设 与 的夹角为 ，由题意求得 =0，| |= =2，再利用 cos= ，求得 的值【解答】解：设 与 的夹角为 ，（0，180） ，向量 ， 满足| |=1，| |= ，|2 + |= ，4 +4 + =7，即 4+41 cos ， +3=7，cos ， =0， ， =0，| |= =2cos= = = = ，=150，故选：D【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，两个向量垂直的判定，属于中档题8 （5 分） （2013 枣庄二模）已知函数 ，则函数 y=f（x）的大致图象为（ ）A B C D【分析】写出分
16、段函数，分段求导后利用导函数的符号或导函数的零点判断函数 f（x）的图象的形状【解答】解： = ，当 x0 时， = 令 g（x）=2x 31+ln（x） ，由 ，得 ，当 x（， ）时，g（x）0，当 x（ ， 0）时，g （x）0所以 g（x）有极大值为 = 又 x20，所以 f（x）的极大值小于 0所以函数 f（x）在（，0）上为减函数当 x0 时， = 令 h（x）=2x 31+lnx， 所以 h（x）在（0，+）上为增函数，而 h（1）=10，h（ ）= 又 x20，所以函数 f（x）在（0，+）上有一个零点，则原函数有一个极值点综上函数 f（x）的图象为 B 中的形状故选 B【点评
17、】本题考查了对数函数的图象和性质，考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题9 （5 分） （2016 春 玉溪校级月考）已知 的值域为m，+） ，当正数 a，b 满足时，则 7a+4b 的最小值为（ ）A B5 C D9【分析】利用 的值域为m ，+ ） ，求出 m，再变形，利用 1 的代换，即可求出7a+4b 的最小值【解答】解： = 的值域为m，+） ，m=4， + =4，7a+4b= （6a +2b）+（a +2b）（ + ）= 5+ + = ，当且仅当 = 时取等号，7a+4b 的最小值为 故选：A【点评】本题考查函数的值域，考查基本不等式的运用
18、，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题10 （5 分） （2016 春 玉溪校级月考）已知圆 C：x 2+y22x1=0，直线 l：3x 4y+12=0，圆 C 上任意一点 P 到直线 l 的距离小于 2 的概率为（ ）A B C D【分析】根据几何概型，求出圆心到直线的距离，利用几何概型的概率公式分别求出对应的测度即可得到结论【解答】解：由题意知圆的标准方程为（x1） 2+y2=2 的圆心是（1，0） ，圆心到直线 3x4y+12=0 的距离是 d= =3，当与 3x4y+12=0 平行，且在直线下方距离为 2 的平行直线为 3x4y+b=0，则 d= =2，则|b12|=10，即 b=2
19、2（舍）或 b=2，此时直线为 3x4y+2=0，则此时圆心到直线 3x4y+2=0 的距离 d=1，即三角形 ACB 为直角三角形，当 P 位于弧 ADB 时，此时 P 到直线 l 的距离小于 2，则根据几何概型的概率公式得到 P= =故选：D【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用条件确定圆 C 上的点 A 到直线 l 的距离小于 2 对应区域是解决本题的关键11 （5 分） （2016 商丘二模）抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足AFB=120过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则 的最大值为（ ）A B1
20、 C D2【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接 AF、BF由抛物线定义得 2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b） 2ab，进而根据基本不等式，求得|AB |的取值范围，从而得到本题答案【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接 AF、BF由抛物线定义，得|AF|= |AQ|，|BF|=|BP|在梯形 ABPQ 中，2|MN|=|AQ|+|BP |=a+b由余弦定理得，|AB|2=a2+b22abcos120=a2+b2+ab配方得，|AB| 2=（a+b） 2ab，又ab（ ） 2，（a+b） 2ab（a+b） 2 （ a+b） 2= （a +b） 2得到|AB| （a+b） 所以 = ，即 的最大值为 故选：A【点评】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求 的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题
